ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 4, с. 112-119
УДК 550.837
ПОЛЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ, ПОГРУЖЕННОГО В НЕОДНОРОДНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
© 2014 г. П. О. Барсуков, Э. Б. Файнберг
Центр геоэлектромагнитных исследований Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН,
г. Троицк E-mail: fain@igemi.troitsk.ru Поступила в редакцию 15.07.2013 г.
Во временной области анализируется поле вертикального электрического диполя (ВЭД), погруженного в неоднородное проводящее полупространство (море). В ближней зоне источника амплитуды электрических компонент поля пропорциональны проводимости среды в степени 3/2, а амплитуда магнитной компоненты — в степени 5/2. Все компоненты поля ВЭД после импульсного выключения тока источника убывают во времени как ~ 1/t5/2. Продемонстрирована возможность применения поля для оценок электрических свойств морского разреза.
Ключевые слова: электромагнитные поля, погруженный вертикальный электрический диполь, асимптотика, свойства, зондирование.
DOI: 10.7868/S0002333714040012
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические основы и технологии выполнения методов электроразведки на суше разработаны и во всех деталях описаны в статьях, монографиях, учебниках и справочниках: [Wait, 1960; Жданов, 1986; Электроразведка, 1989; Кауфман, 2000; Светов, 2008]. В последние годы резко возрос интерес к морской электроразведке на шельфе. Особенностью морских зондирований является возможность свободно размещать зондирующие установки в толще морской воды и на дне моря. В терминах электроразведки это означает, что к хорошо уже изученным и применяемым на суше поверхностным источникам — горизонтальным электрическим и вертикальным магнитным диполям добавляются погруженные вертикальные электрические диполи, которые могут применяться в качестве источников и приемников.
В литературе [Chave and Cox, 1982; Светов, 2008; Key, 2009] изложены общие выражения для полей вертикального электрического диполя в слоистой среде, однако некоторые особенности поведения поля, в частности, в ближней зоне источника во временной области, исследованы недостаточно полно. Между тем, именно в этой нише можно ожидать максимальной чувствительности и разрешающей способности электроразведочных методов к исследуемым объектам. Восполнению этого пробела посвящена настоящая статья.
АСИМПТОТИКА ПОЛЕЙ В ОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Модель изучаемой установки представлена на рис. 1. Источник поля — вертикальный электрический диполь — ВЭД погружен в проводящую среду на глубину Н и отстоит от подошвы первого слоя на расстоянии й. Мощности слоев в разрезе — Н1, Н2, ..., НМ+1, проводимость — а1, а2, ..., <5М+1 (сопротивления — р1, р2, ..., рМ+1). На горизонтальном
Воздух ст = 0
Нф
■ j Т
ВЭД
■f
■Er
E
h1
ст1 = 1/P1
h2 CT2 = 1/P2
hN CTN = 1/PN
НМ + 1 ^ + 1 = 1/Рм + 1
Рис. 1. Вертикальный электрический диполь в слоистой среде.
r
z
h
d
расстоянии г от источника на глубине г установлен приемник, измеряющий три компоненты поля; в цилиндрической системе координат это электрические вертикальная Ег и радиальная Ег и азимутальная магнитная Нф компоненты.
Вследствие осевой симметрии задачи компоненты поля могут быть выражены через единственную компоненту Нф магнитного поля:
Ez = p(rotH) г
г, dHф
Er = -р-•
dz
pf i d<rH±)'
l r dr
H ф + дНф r dr
(1)
(2)
В квазистационарном приближении \йВ/&\ < < |а£], когда токи смещения малы по сравнению с токами проводимости, магнитное поле подчиняется уравнению
rot rotH + ц 0ст
5H dt
= 0.
(3)
Здесь — магнитная проницаемость вакуума, а — проводимость среды, р = 1/а — сопротивление, Б — электрическая индукция.
Векторное уравнение (3) для компоненты Нф имеет вид:
5 2HA
+ i H +
r dr
д 2H,
г + и = о.
дг г дг дz
В частотной области Н(1) = Нфехр(,'ю?) уравнение (4) имеет вид:
д2 Hф
dr2
д2 Hф
+ i H + ^
r dr dz
■ + /юц 0aH = 0.
(5)
P
Ev =
4лст
jX J^X r) dA(X, z)d X, (6)
J dz
Ez = p- jX2J0(Xr)A(k,z)dX,
H ф —
P ¡X J2(X r)A(X, z)dX, 4n J
(7)
(8)
A(X, z) =
X
G
m11 - x1 exp[-2m^h + d)]
G = x1(e-2mih - 1)e-mi(2d+h-z) + + x1(em - 1)e-mi(2d-h+z) + e-m|A-z|, используя рекуррентные соотношения:
■v _ mN+ipN+1 - mNpN xN = ,
mN+1p N+1 + mNp N
x _ a-i- mi-iPi-A-i
x¿-i --;—,
a-i + m-ipz-A-i
a¡_1 = p,m,[i + x ¡ exp(-2mh)], b¡_i = [i - x¡ exp(-2m¡h¡)],
Jk.
m
2 - k2, k2 = /йц0a,.
Для однородного полупространства с проводимостью а = а1 (Н1 ^ да, d ^ да) компоненты полей в частотной области можно выразить через элементарные функции:
Е'(ю)=
i - 3
(h - z)
2Л
LV
Ф
+ (kRi)2
Er (ю) = -Pz-4na
i -
Ri2 (h - z)
(kRi)
i - 3
(h -z) R2
2
2
Ri2
exp(-kRi)
Ri3 ,
r (h - z) 3 + 3kRi + (kRi)2
(4) x exp(-kRi) -
Ri2 Ri3
r (h + z)3 + 3kR2 + (kR2)2
i - 3
R22 (h + z)
R
2Л
LV
R
На границах слоев с разными сопротивлениями соблюдаются условия непрерывности полей Нф и Ег и плотности тока ] = аЕг.
В разрезе из N + 1 слоев, где 1-й слой имеет сопротивление р, и мощность к,, поля в любой точке первого слоя можно вычислить по формулам:
+ (kR2) Hф(ю) =
2 (
i -
V
Pl 4п
У
(kR2)
2
i - 3
(h + z) R
exp(-kR2)
2
■2 У
(h + z) R2
yj
exp(-kR2)l
- i + kRi
LRi Ri2
R3
exp(-Á:Ri) -
_r_ i + kR2
R, r2
exp(-kR2)
2
Временные /(?), I > 0 и частотные Е(р) отклики связаны преобразованием Лапласа:
ад
Р(р) = |/(t)exp(-pt)dt, р = ш
о
Некоторые пары функций Е(р) ^ /(?), необходимые для расчетов временных откликов, заимствованы из справочника [Диткин, Прудников, 1961]:
i e -kfp о 1 - erf I
Хe-^p ^-Xexpí-^
yfp 4ñt y 4t
0
0
0
е-Ыр ехр(_к_ ,
24П? I 4t 1
dH _ (t)
= P
(i + WP)
л/я
к 11 Г- 1 1 k2 1 L 2t3/2 4t5/2 J
4)
1 к3 Г к2 ^
4л/ПtV2 expI-4t J
/on(t) о
F (p)
= A- IX f1 - 3(h - z)
Ez (t)
2Л
erf
1
^ - 3Ф-А2'
-11 -
R12 (h - z)
R12
2Л
R12
exp(-V47j)
RljnT,
exp(-1/471) 2R13VnT13
1
1 -
3(h + z)
2\
R3.
+(1-
f
R
erf
■2 У
3(h + z)
2Л
R
2
+
1 -
(h + z)
2
R
f _x_4 2JT2,
exp(-1/472)
R23VnT2
exp(-V4T2)
2
E, (t) = ^ fc) 4na[ R5
_ exp(_i/47i)f3 + j_'
(h + z)
R5
3erf
л/ПТ1 ^ 2T1 _ exp(-V4T2)/
J -JkT2
' 1 ^
3 +-!-2T2
2
dt z 16тсл/яр 0ст
exp(- 1/4T1) - exp(-V4T2)
rT'2
R^2
T1 =
T2 =•
Отклик на ступенчатое включение поля Рх(0 = = Рх1(0, где 1(/) — единичная функция Хэвисайда, находится из соответствующей пары преобразований Лапласа после деления частотного отклика на частоту р:
P0CTR1
x
erf(x) = - [exp(-t2)dt — функция ошибок. П J
На ранних временах I ^ 0 при условии г > ^//(р0о), т.е. в дальней зоне источника, электрические Ег, Ег и магнитное Нф поля стремятся к своим установившимся значениям, которые можно определить из частотных характеристик при ю ^ 0,
а отклик на ступенчатое выключение поля вычисляется как
/off(t) = F(0) - /on(t),
где F(0) — значение частотного отклика на нулевой частоте p ^ 0.
Временные отклики на выключение поля в ВЭДе при t > 0 выражаются через специальные функции:
Ez(t) ^ Pz-±-4п-
/
х
LR13
1 -
3(h - z) R1
2\
1 R2
1 -
3(h + z)
2\
R2
yj
Er (t) ^ Pz
4ko
h - z h + z
R15
R
2
dHf ^ 0, H+(t) ^ Pz r
dt 4n
J___
R13 R.
2 j
Амплитуды электрических компонент поля пропорциональны сопротивлению полупространства р = 1/а, а магнитное поле Нф не зависит от сопротивления и определяется лишь геометрическими параметрами установки.
В ближней зоне источника г < //(р0о) на поздних временах I ^ да и Н > z > 0 имеем:
Ez (t) ^
Er (t) ^
D 5/2 3/2
-Pz M 0 g 20пл/П t5/2
D V2 3/2
-Pz M 0 g 40пл/П t5/2
p M5/2g 5/2
hz,
rh,
(9)
H*(t) rhz,
40пл/П t5/2
HO v -P. M0 g
5/2 5/2
dt
1бп4П t7/2
-rhz.
Таким образом, в ближней зоне источника электрические поля пропорциональны проводимости в степени 3/2, а магнитное поле — проводимости в степени 5/2. Вертикальная компонента поля Ег не зависит от разноса г и равна нулю на поверхности z = 0 полупространства. Радиальная компонента Ег пропорциональна разносу г и глу-
0
1000 Р
1
0.01 0.1 1 10 0.1 1 10 0.1 1 10 Время, с Время, с Время, с
Рис. 2. Зависимости кажущегося сопротивления от разноса для Ег, Ег, Еф компонент ЭМ поля. Индексы кривых соответствуют разносу г (км). Пунктирными линиями обозначены отрицательные значения. Модель полупространства: к-1 = 50 м, р1 = 0.3 Ом м, Р2 = 2 Ом м.
бине погружения ВЭД к и не зависит от глубины точки приема поля г, т.е. одинаково как на поверхности полупространства г = 0, так и на любой глубине г < к. Компоненты Е и Нполя убывают во времени как 1/?5/2 .
В методах зондирований во временной области результаты удобно представлять в виде кажущихся сопротивлений. Для всех компонент поля кажущееся сопротивление в нормировке ближней зоны зондирований можно вычислить по формулам, вытекающим из (9):
1000
е
й 100 <ч
В
о
р
С
о
с
« 10 с е е
св
Ег(0
к = 400 м
........I ........I ........I
1
0.01 0.1 1 Время, с
"|2/3
Ег(0
к1 = 400 м
_1..........I..........■.........
1бпл/Л г7/2 dHф(0/dt Нф(о
100
......... ......... .........
10 0.1 1 10 0.1 1 Время, с Время, с
10
(10)
Рис. 3. Зависимости кажущегося сопротивления от мощности первого слоя для Ег, Ег, Еф компонент ЭМ поля для фиксированного разноса г = 1 км. Индексы кривых соответствуют мощности к1 (м). Пунктирными линиями обозначены отрицательные значения. Модель полупространства: р^ = 0.3 Ом м, р2 = 2 Ом м.
100 Г
<0 S
я о
4 <ч
5
о 10
л
С
о
о «
о о о
св
а
1
0.01 0.1 1 Время, с
т
......... ......... .........
#ф(0
......... ......... .........
10
0.1 1 Время, с
10
0.1 1 Время, с
10
Рис. 4. Зависимости кажущегося сопротивления от глубины залегания 20 Ом м 100-метрового слоя. Индексы кривых соответствуют мощности к2 в километрах. Пунктирными линиями обозначены кривые, соответствующие полупространству в отсутствие слоя. Модель полупространства: р^ = 0.3 Ом м, р2 = 2 Ом м, рз = 20 Ом м, Р4 = 2 Ом м, к^ = 100 м, кз = 100 м. Разнос г = 250 м.
СЛОИСТОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
В слоистой среде поля вычисляются через квадратуры (6)—(8) численными методами ^оЪапзеп, Sorensen, 1979]. Для анализа свойств ЭМ полей, возбуждаемых ВЭД, рассмотрим упрощенную модель в виде двуслойного полупространства к2 ^ да при положении ВЭД и приемников поля
на подошве пер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.