известия ран. теория и системы управления, 2014, № 1, с. 3-21
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
удк 517.977
ПОЛНОЕ УСПОКОЕНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ЧЕРЕЗ СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРИВЕДЕНИЕ
© 2014 г. А. В. Метельский
Белоруссия, Минск, Белорусский национальный технический ун-т Поступила в редакцию 18.12.12 г., после доработки 25.06.13 г.
Спектрально управляемая линейная автономная система с соизмеримыми запаздываниями приводится к системе с конечным спектром. Для спектрально приведенной системы строится обратная связь по состоянию, обеспечивающая полное успокоение исходной системы и асимптотическую устойчивость замкнутой системы. В замкнутой системе распределенное запаздывание может присутствовать только по одной переменной. Результаты проиллюстрированы примером.
DOI: 10.7868/S0002338814010090
0. Введение. Пусть объект управления описывается линейной автономной дифференциально-разностной системой
m
X(t) = ^ AfX(t - ih) + bu(t), t > 0, x(t) = t e [-mh, 0]. (0.1)
i = 0
Здесь x — n-вектор-столбец решения системы (0.1) (n > 2); 0 < h — постоянное запаздывание; Aj —
постоянные n x n -матрицы (i = 0, m); b — постоянный n-вектор; n — начальное кусочно непрерывное состояние; u — скалярное управление. Векторные величины полагаем записанными в столбец, штрих ' далее обозначает операцию транспонирования.
Считаем, что в уравнении (0.1) b = en = [0;...; 0; 1]'. Этого всегда можно достичь невырожденным преобразованием переменных ¡X = Tx.
Пусть A(X) = Ao + A1X + ... + AmXm (X e С — множеству комплексных чисел), En — единичная матрица n-го порядка, W(p, e~ph) = pEn - A(e~ph) — характеристическая матрица (p e С), w(p, e-ph) =
= | W(p, e ~ph)| — характеристический квазиполином системы (0.1). Здесь и далее | W | — определитель произвольной квадратной матрицы W.
Множество корней а = {p е С W(P, e-h) = 0} характеристического уравнения называют спектром
системы (0.1). Поскольку коэффициенты характеристического квазиполинома w(p,e-h) действительны, то комплексные числа входят в ст сопряженными парами: ст — самосопряженный спектр.
Поток исследований по замыканию системы (0.1) регулятором по типу обратной связи инициирован [1], где поставлена FSA задача — задача назначения конечного спектра (finite spectrum assignment) замкнутой системы. Эта задача возникла в связи с задачей стабилизации [2, 3] системы с запаздыванием.
Спектр замкнутой системы может содержать [4—6] инвариантные значения p* е С, которые входят в конечный спектр при любом выборе коэффициентов дифференциально-разностного регулятора. Чтобы убрать из спектра такие значения, скажем, для обеспечения асимптотической устойчивости замкнутой системы, нужно ввести в регулятор распределенные запаздывания. В [1] доказано, что для разрешимости задачи FSA в классе регуляторов с распределенными запаздываниями необходимо, чтобы система (0.1) была спектрально управляема [7]:
rank[pEn - A(e~ph), b] = n Vp e С. (0.2)
Условие (0.2) и достаточно [8] для разрешимости задачи FSA в классе регуляторов с распределенными запаздываниями.
Вопросы спектрального приведения системы (0.1) (приведения к системе конечного спектра) в классе дифференциально-разностных регуляторов изучались в [4], где показано, что условие (0.2) достаточно для спектральной приводимости. В [9] построен дифференциально-разностный регулятор запаздывающего типа, приводящий замкнутую систему (0.1) к системе с конечным спектром, но включащим инвариантные значения.
Управление u(t), t > 0, называют успокаивающим для начального состояния r(t),t е [-mh, 0], если в силу системы (0.1)
x(t) = 0, u(t) = 0, t > th (0.3)
где ti > 0 — некоторый момент времени. Если успокаивающее управление существует для произвольного начального состояния п, то систему (0.1) называют полностью управляемой. Условие спектральной управляемости (0.2) обеспечивает [10] системе (0.1) также и полную управляемость. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли одним регулятором обеспечить полное успокоение исходной системы (см. тождества (0.3)) и асимптотическую устойчивость замкнутой системы сразу для всех начальных состояний п? Ниже предлагается схема построения такого регулятора для спектрально управляемой системы (0.1).
Пусть q(X) = [^(А,),..., qn(k)]', g(X) = [g^A),..., gn(X)]' — векторные полиномы с действительными коэффициентами; qki(X) = [qkii(k), qkin(X)]' — векторные полиномы, возможно, с комплексными
коэффициентами (k = 1,L, i = 0,L1,L,Li — натуральные числа); P* = {pk e C,k = i,L} — самосопряженный набор различных комплексных чисел, в частности, действительных; Хв — оператор
сдвига: X'D^(t) = q(t - ih) (ф — функция, i = 0,1,...).
Рассмотрим динамический регулятор по типу обратной связи
L L h
< u(t) = -a(Xd,x(t)) + q'(XD)x(t) + ZZ Jq'ki(Xd)x(t - s)ePkSs /i!ds + ai(Xd)Xn+i(t), (0 4)
k = 1 i = 0 0
Xn+i(t) = g'(XD)x(t) + a2(XD)Xn+i(t), t > 0, где а (к D, x(t)) = e'„A(kd)x(t); ai(X), a2(K) — полиномы с действительными коэффициентами; x„+i(t) —
вспомогательная переменная. Для отрицательных значений аргумента переменные xj (t), i = i, n + i, если они не заданы, считаем произвольными кусочно-непрерывными функциями.
Согласно формуле Эйлера, ePkS = eakS(cos(3ks) + i sin(3ks)), где pk = ak + ipk e C (i — мнимая единица). Параметры регулятора (0.4) предполагаются такими, что после применения формулы Эйлера и приведения выражения
L L h
ZZ J^i(XD)x(t - s)ePkSsi/i!ds
k = i i = 0 0
к виду
Ni h
Z JRj(s)XJBx(t - s)ds,
J = 0 0
где
L
Rj(s) = Z eas(cos&sWj,(s) + sin(pls)V]l(s))
i = i
(L e N, al,pl e [R — некоторые числа, Uj1 (s), Vj1 (s) — некоторые n-векторные полиномы), все числовые коэффициенты регулятора (0.4) — действительные числа.
В настоящей работе решается задача: при выполнении условия (0.2) подобрать множество P* и коэффициенты динамического регулятора (0.4), обеспечивающие замкнутой системе (0.1), (0.4) не только конечный отрицательный спектр, но и полное успокоение системы (0.1). Такой регулятор назовем FSC-регулятором (F = finite spectrum, S = stabilization, C = calming). Для си-
стемы без запаздывания аналогичная задача рассмотрена в [11], для системы (0.1) второго порядка поставленная задача решена в [5].
Поясним содержание настоящей статьи. В разд. 1 изучается структура (см. лемму 1) предпоследней строки характеристической матрицы замкнутой системы, соответствующей БВС-регу-лятору, и доказываются достаточные условия Б8С-регулятора (см. теорему 1). В разд. 2—4 предлагается схема вычисления коэффициентов Б8С-регулятора. В разд. 5 доказывается, что для спектрально управляемой системы предложенная схема вычисления коэффициентов Б8С-регу-лятора всегда реализуема (см. теорему 2) через приведение системы (0.1) к системе конечного спектра. В системе, замкнутой Б8С-регулятором, распределенное запаздывание может присутствовать только по одной вспомогательной переменной. В заключении приводится пример построения Б8С-регулятора.
Ключевая идея данного исследования — использование вспомогательной функции К (р,Х) (см. (1.14)), благодаря которой удается алгоритмизировать построение Б8С-регулятора (см. теорему 1).
1. Предварительные результаты. В записи регулятора (0.4) присутствуют слагаемые с сосредоточенным запаздыванием: X]вх(), г = 1, п + 1, и с распределенным запаздыванием:
|Х^хЦ - з)еРк3зг /Ийз.
Будем говорить, что регулятор (0.4) имеет ^-структуру (запаздывающую структуру). Получим достаточные условия, которым удовлетворяют коэффициенты БВС-регулятора, имеющего ^-структуру.
В замкнутой системе (0.1), (0.4) предпоследнее уравнение имеет вид
Ц Ц к
ХпО = Ч'(Кл)х(0 + XX 1(Ко)х( - з)ел¥/г\йз + ах(квК-и(0,
к = 1 г = 0 о
соответственно предпоследняя строка характеристической матрицы такова (X = е - рЬ):
Ц Ц к
реп - Ч
'(Х) - XX &/(Х) | еЧр-Рк)У/Мз-а(Х)
к = 1 г = 0
Вычисляя, получаем (Xк = е Ркк)
Ге -Р-й)зйз = -(Х-Х к)
Хк(Р - РкУ
\е ЧР-Рк)У/Мз =
Х к
X-
Хк'
(Х-Х к)
(Р - Рк),+1 '(Р - Рк)'
г-I+1
(1.1)
г > 1.
Замечание 1. Легко проверить, что при X =
- Рк
-1 Х к
X-
х к
(х-х к) 1 _
(Р - Рк)'+1 ' = 1 '!(Р - Рк)'-+1
(-1)г й
1 ^ -(Х-Х к)
И йР \Хк(Р - РкX
, г = 1,2,...
Это также следует из свойств преобразования Лапласа (теорема о дифференцировании изображения).
Обозначим = -ЧдД)/"к, ! = П г = 0, Ц,
/]к(Р,К) =
Ч>0(Х)(Х - Хк)
¿1
Р - Рк
X Ч1кг(Х)
г = 1
X-
Хк'
(Х-Х к) 1 _
(Р - Рк)'+1 ' = 1 '!(Р - Рк)'-+1
(1.2)
0
к
0
получим Д (р,Х) =,,„/, где
ь
/(р, X) = д](X) + X ¿к(р, X), у = й (1.3)
к = 1
Таким образом, если регулятор (0.4) имеет ^-структуру, то предпоследняя строка характеристической матрицы замкнутой системы имеет вид \-/1{р,Х),..., р - /п(р,Х), - ^(Х)]. Про функции /(р,Х) вида (1.3) также будем говорить, что они имеют ^-структуру.
Пусть (р,Х) — произвольная функция вида (1.3) (/ = /0). Приведя ее к общему знаменателю,
0 О( рЛ-) йх(р)
ь
^(р) = П (р - рк )'к
к = 1
— общий знаменатель всех слагаемых
ь
X /0к (р,ху,
к = 1
О(р, X) — полином, степень которого относительно переменнойр не больше степени d1(p). Функции }п(р, е~р\ к = 1, Ь, — целые, согласно (1.1). Ввиду (1.2), (1.3) функция р' ) — также целая,
а1(р)
поэтому справедливы равенства
О(1)(рк, е-рф) = 0, г = 0,1к - 1, к = 1, Ь. (1.4)
Верно и обратное утверждение.
Лемма 1. Если степень переменной р в полиноме 0(р, X) не больше степени р в полиноме d1(p) и производные функции 0(р,е—н) по переменной р удовлетворяют равенствам (1.4), то
дробно-рациональная функция °(р' имеет ^-структуру.
р)
Доказательство. Так как степень числителя относительно р не больше степени знаменателя, то выполнив деление, получим
ОШ = до(Х) + ОШ, (1.5)
а1(р) ах(р)
где д0(Х) — полином. Покажем, что правильная рациональная дробь О((относительно пере-
а1( р)
менной р) представима в виде
Орр) - X У (ад (1.6)
О( рЛ)
где /^к(р,Х) — функции вида (1.2) (у = ]0). Разложим ' на сумму простейших дробей 0 а1( р)
(1к, к = 1, Ь — натуральные числа, Ик1 (А), 1 = 1,1к, — полиномы)
- ь к ь _ лч
О(р,х) = х у нш(Х) = х нк(р,х) (17)
а1(р)~ к £(р-рк)!~ £ (р-рк)1к' ' Здесь
1к ь ь
нк (р, X) = X Нь (X) (р - рк )1к -, О(р, X) = X Н (р, Х)гк (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.