ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. Р. Конт*, М. Музетте*, К. Верховен*
ПОЛНОТА ГАМИЛЬТОНИАНОВ ЭНО-ЭЙЛЕСА ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНЕЙ
Гамильтониан Эно-Эйлеса четвертой степени удовлетворяет тесту Пенлеве только для четырех наборов значений констант. Только для одного из этих наборов, когда данная система тождественна редукции бегущей волны системы Манакова, она была явно проинтегрирована Войцеховским, тогда как система при остальных трех наборах до сих пор не была проинтегрирована в общем случае (а, /3, -у) ф (0,0, 0). Нами проинтегрирована система в этих трех случаях с помощью построения бирациональ-ного преобразования к двум уравнениям четвертого порядка первой степени в классификации Косгроува таких полиномиальных уравнений, которые обладают свойством Пенлеве. Это преобразование включает стационарную редукцию различных дифференциальных уравнений в частных производных. Результат таков же, как и для трех кубичных гамильтонианов Эно-Эйлеса, а именно, во всех четырех случаях четвертой степени общее решение является мероморфным и гиперэллиптическим рода два. Отсюда следует, что нельзя добавить никакого дополнительного автономного члена ни к кубичному гамильтониану, ни к гамильтониану четвертой степени без разрушения интегрируемости Пенлеве (свойства полноты).
Ключевые слова: гамильтониан Эно-Эйлеса, свойство Пенлеве, гиперэллиптическое разделение переменных.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемый гамильтониан используется в небесной механике для описания движения звезды в аксиально-симметричном потенциале галактики. Если <71 обозначает радиус, а - высоту, то этот "гамильтониан Эно-Эйлеса" (ЭЭ) [1] является суммой кинетической и потенциальной энергий, причем потенциал является кубичным многочленом по координатным переменным 91, 92,
н = \(Р\+Р1 + Ч1 + Ч1) + 91 - , (1)
* Service de physique de l'état condensé (URA 2464), CEA-Saclay, F 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France. E-mail: Conte@drecam.saclay.cea.fr
* Dienst Theoretische Natuurkunde, Vrije Universiteit Brüssel, International Solvay Institutes for Physics and Chemistry, Pleinlaan 2, B-1050 Brussels, Belgium. E-mail: MMusette@vub.ac.be, CVerhoev@vub.ac.be
♦
АВИЛЕСА НЕЙ
ст— ГТенлеве толь-^а-ооров, когда к за. она была трех набо--'■0). Нами гграциональ-> -т-з! в класси-ь--: т свойством диффе-л для трех четвертой два. От-•-- члена ни к 7 •пения ин-
|жтттгатическое разде-
описания дви--'71 обозначает лется суммой ■ ^Гятчным много-
(1)
-У\-е«е Cedex,
•■•ау Institut.es " "vub.ac.be,
ве интегрируем и демонстрирует свойство странного аттрактора. Однако если изменить численные коэффициенты в потенциале, то система можеть стать интегрируемой, и этот вопрос (о нахождении всех интегрируемых случаев и об их интегрировании) был предметом значительной активности в течение последних трех десятилетий.
Предварительно необходимо определить слово интегрируемость, и в разделе 2 мы кратко напомним три его основных значения в контексте гамильтоновых систем.
В разделе 3 мы напомним все случаи (три "кубичных" и четыре "четвертой степени" ), в которых наиболее общий классический не зависящий от времени гамильтониан с двумя степенями свободы может иметь однозначное общее решение.
Далее, оставляя в стороне проинтегрированные случаи (см. [2] по поводу обзора текущего состояния этой задачи), мы сконцентрируем внимание на трех случаях (все -"четвертой степени") с целью нахождения их общего решения, которого до сих пор не было.
В разделе 4 мы построим эквивалентное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) четвертого порядка для <71 (<), в надежде найти его в списке одной из классических таблиц явно интегрируемых ОДУ. Однако эта надежда призрачна, поскольку эти таблицы пока не закончены.
Поэтому в двух последних разделах мы примем иной план действий. Перед лицом сложности, связанной с разделением переменных в смысле Арнольда и Лиувилля, мы установим бирациональное преобразование между двумя гамиль тоновыми уравнениями второго порядка и неким ОДУ четвертого порядка, приведенным в классической таблице, составленной Косгроувом [3], общее решение которого однозначно.
2. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Для гамильтоновой системы с конечным числом N степеней свободы известны три основных определения интегрируемости:
1) в смысле Лиувилля, т.е. как существование N независимых инвариантов К^, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль, {КК¡} = 0,
2) в смысле Арнольда-Лиувилля ([4], гл. 9), состоящем в том, чтобы явно найти некоторые канонические переменные в^-, г^,] — 1, /V, которые "разделяют" уравнение Га-милътона-Якоби для действия 5, для двух степеней свободы записываемое в виде
Ш \ Г п дБ
Н{д1,<12,Р1,Р2) ~ Е = 0, р! - —, р2 = —,
(2)
3) в смысле Пенлеве [5], т.е. как представление общего решения в явном замкнутом виде однозначной функцией времени t.
3. СЕМЬ ГАМИЛЬТОНИАНОВ ЭНО-ЭЙЛЕСА
Для заданного наиболее общего классического не зависящего от времени гамильто-ниана с двумя степенями свободы
Н=1(р21+р22) + У(Ч1,д2) = Е
(3)
требование, чтобы система из двух уравнений Гамильтона удовлетворяла тесту Пенле-ве [5] (по крайней мере для некоторых целых степеней , ), выделяет семь и только семь потенциалов V, зависящих от конечного числа постоянных, а именно: 1) три "кубичных" потенциала (случай ЭЭЗ) [б]—[8],
Н = \{р\ + р\ + + + я1 ~ + Q Ф О, (4)
в которых постоянные а, (3, u>i, и>2, сз могут принимать только три набора значений -
Р/а = -1, (SK), (5)
/?/а = -6 (KdV5), (6)
(З/а = -16, wi = 16w2 (КК), (7)
2) четыре потенциала "четвертой степени" (случай ЭЭ4) [9], [10],
Я = -(Pf + Pi + + il2Ql) + CQ\ + BQlQl +
вф о,
(8)
в которых постоянные А, В, С, а, /3,7, П1, П2 могут принимать только четыре значения (запись А : В : С = р : д : г означает, что А/р = Б/д = С/г) -
А:В:С= 1:2:1, 7 = 0,
А:В:С=1:6:1, 7 = 0,
Л : В : С = 1 : 6 : 8, а = 0,
Л : Б : С = 1 : 12 : 16, 7 = 0,
i)i = fi2, fli = 4П2, fil = 4 П2.
(9)
Все семь случаев интегрируемы в смысле Лиувилля, причем второй интеграл движения К [11]-[15] или квадратичен, или четвертой степени по импульсам р\, Р2-
Разделение переменных в смысле Арнольда-Лиувилля было выполнено в [11], [16]-[20], за исключением трех случаев: 1) ЭЭ4 1 : 6 : 1, а ф /3; 2) ЭЭ4 1 : б : 8, /З7 ф 0;
. 3) ЭЭ4 1 : 12 : 16, а/3 ф 0.
Замечательным является тот факт, что во всех случаях, когда удается достичь разделения переменных, уравнения Гамильтона обладают свойством Пенлеве, причем общее решение дается гиперэллиптической функцией рода два. Цель данной работы - доказать свойство Пенлеве в трех оставшихся случаях, где разделение переменных до сих пор не было проведено.
■пряна тесту Пенле-семь и только
„ а ф 0, (4)
>
■бора значений -
(5)
(6) (7)
(8)
-- гыре значения
(9)
—т.-рал движе-Р--Р2-слнено в [11], 6 : 8, /?7 ф 0;
дэстичь разде-гричем общее работы - дока-^з^гнных до сих
4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОДУ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
В кубичном случае два уравнения Гамильтона
ч" + - + = о>
42 + Ш2Ч2 + 1Щ10.2 ~ сзЯ23 = 0
(10) (И)
вместе с гамильтонианом (4) эквивалентны [7] одному ОДУ четвертого порядка для 91(0 =
20
<Ц» + (8а - - 2(а + 0)д[2 -
+ (ш! + 4ш2)я1 + (баш! - 4(Зш2)я1 + + 4аЕ = 0,
-2
(12)
которое не зависит от коэффициента сз при неполиномиальном члене , а зависит от постоянного значения Е гамильтониана Н. В трех случаях ЭЭЗ (5)-(7) это ОДУ содержится в списке [3] ("классификации") уравнений, обладающих свойством Пенлеве, общее решение которых является гиперэллиптическим рода два.
В случае четвертой степени аналогичное уравнение четвертого порядка строится путем исключения <5г из двух уравнений Гамильтона 1
Яг + ПхС?! + 4СЯ\ + 2£<21<2! - а<2"3 +7 = 0, <22 + п2<3г + 4А€}\ + 2ВЯ2Я1 ~ №3 = 0
и гамильтониана (8), что приводит к
(13)
(14)
.АС в
1
в) 31
"2 о^у/ |
01
+ 8(6^ - В - С \Q\Q4 + 4{В - 2С)Я^[2 + - В
+ +
+ 6
V в (Х+
(А АС \ 1 / А \
/-72 + 2Ва - В—а\ + / - 4илш2 - %ВЕЮ1 +
+ 48^7(3? + 4(12^ - В - 4С^хС?? = 0.
+
(15)
Это ОДУ зависит от Е, но не от /3 и, в противоположность кубичному случаю, не попадает в классификацию, потому что (£'[" не является многочленом по <51. п В трех оставшихся случаях, поскольку невозможно ни выполнить разделение переменных, ни установить прямую связь с классифицированными ОДУ, мы построим непрямую связь с неким ОДУ, входящим в классификацию. Эта связь, включающая в себя солитонные уравнения, такова. теса н
18
р. конт, м. музетте, к. верховен
В каждом из семи случаев два уравнения Гамильтона эквивалентны [7], [15], [21] редукции бегущей волны солитонной системы, состоящей или из одного дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) (ЭЭЗ), или из двух связанных ДУЧП (ЭЭ4), большинство из которых фигурирует в списках, построенных с помощью теории групп [22]. Среди различных солитонных уравнений, эквивалентных им посредством преобразования Веклунда, некоторые допускают редукцию бегущей волны к ОДУ, входящему в классификацию. Это свойство определяет способ действий [23], [24], состоящий в том, чтобы начать с одного из трех оставшихся случаев ЭЭ4, перейти к солитонной системе двух связанных (1 + 1)-мерных ДУЧП, допускающих редукцию к рассматриваемому случаю, и затем перейти к другой (1 + 1)-мерной системе ДУЧП, эквивалентной с точностью до преобразования Веклунда, и, наконец, осуществить редукцию к уже интегрируемым ОДУ или системе ОДУ.
5. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЕВ 1:6:1 И 1:6:8 ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Введем следующие обозначения для двух интегралов движения в случаях 1 : 6 : 1 и 1:6:8:
1:6:1
# = + Р1) + ^(<2? + С?!)-
1 I сл2л2 , /->4\ 1 ( , л2
к= [Р1Р2 + <Э1<Э2\-'*1+0<3* +
(16)
1:6:8-
- ¿(8д? + 6ЯЫ + 4) - 791 + = Е>
а2 в\2 1
К = ( Р2 - + 4?1 + + 4 - 792 (®Р1 - 2д1Р2)2+
+ 7 [ -2792 - 492Р1Р2 + ^9192 + Ч1Ч2 + 491Р2 - + 4?!
Имеется каноническое преобразование [15] между случаями 1 : 6 : 1 и 1 : 6 : 8, при котором постоянные отображаются как
#1:6:8 = #1:6:1, ^1:6:8=^1:6:1, Ш = П, 7 = ^ ^ ^ ' = ~ (К1 ~ К^)2,
(18)
и поэтому достаточно провести интегрирование только для одного из случаев.
1
полнота гамильтонианов э
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.