ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 7, с. 1306-1321
ЯДРА
ПОЛНЫЕ СЕЧЕНИЯ ЯДРО-ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ В ПОДХОДЕ ГЛАУБЕРА-СИТЕНКО ДЛЯ РЕАЛИСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ
© 2004 г. В. К. Лукьянов^*, Е. В. Земляная1), Б. Словинский2)-3)
Поступила в редакцию 17.10.2003 г.
На основе полученного ранее явного выражения функции профиля (толщины) реалистического распределения нуклонов в виде симметризованной ферми-функции рассчитаны микроскопические эйкональные фазы ядро-ядерных столкновений и полные сечения реакций. При этом если плотность падающего ядра аппроксимировать гауссовой функцией, а для ядра-мишени брать любого вида профиль плотности, то фаза сводится к одномерному интегралу. Рассмотрены вопросы, связанные с получением параметров плотности "точечных" нуклонов в ядрах, возможностью замены реалистических плотностей их гауссовыми аппроксимантами в области поверхности ядер, зависимостью сечения от радиуса нуклон-нуклонного взаимодействия и плотности ядерной среды, ролью искажения траектории. Сделаны выводы о физике процесса. Приведено сравнение сечений, рассчитанных в данном подходе без использования свободных параметров, с имеющимися экспериментальными данными.
1. ВВЕДЕНИЕ
В ядерной физике подход Глаубера—Ситен-ко [1, 2] используется с учетом ряда модификаций для изучения процессов ядро-ядерных столкновений при энергиях порядка 10—100 МэВ на нуклон падающего ядра. При этом эйкональную фазу можно находить как задавая феноменологический оптический потенциал, так и вычисляя ее в рамках микроскопического подхода, где она выражается через распределения плотности ядер и амплитуду нуклон-нуклонного рассеяния.
Обычно параметры феноменологического потенциала ^opt(r) = V(r) + iW(r) подгоняют, сравнивая расчеты с экспериментальными сечениями упругого рассеяния и полными сечениями реакций. При этом остаются вопросы неоднозначности получаемых параметров [3]. Так, в работе [4] на примере полного сечения реакции, полученного аналитически для потенциала Вудса—Саксона, было показано, что оно определяется в основном двумя комбинациями RW0 и R/a из трех параметров потенциала — радиуса R, диффузности a и глубины Wo, и это позволяет задавать последние в широких пределах их возможных значений. Что же касается микроскопического подхода, то он, в принципе, не включает свободных параметров,
''Объединенный институт ядерных исследований, Дубна,
Россия.
2'Варшавский технологический университет, Польша.
3'Институт атомной энергии, Отвоцк-Сверк, Польша.
E-mail: lukyanov@thsun1.jinr.ru
и в нем вычисляются не потенциалы рассеяния, а сами эйкональные фазы. Это позволяет делать предсказательные расчеты, в том числе и полных сечений реакций с участием радиоактивных ядер, что важно, например, для решения задач трансмутации радиоактивных отходов [5, 6].
Начиная с ранней работы [7], микроподход использовался для расчета протон-ядерных сечений, а позднее в [8, 9] он был обобщен на случай ядро-ядерного рассеяния на основе теории многократного рассеяния нуклонов ядрами [1, 2]. Его активно применяли в анализе полных сечений взаимодействия пучков легких ядер с ядрами, что позволило, в частности, открыть у 6Не, 9Ь1 нейтронное гало, а у 11 Ве — протонное, установить ядра, переобогащенные нейтронами или протонами (см., например, [10], а также обзоры [11, 12]). Большое внимание уделялось и изучению механизма рассеяния ядер, а именно учету отклонения истинной траектории от прямолинейной [13, 14], роли высших поправок к эйкональной фазе [15], проявлению кластеризации ядер [16] и другим эффектам.
Для большинства таких работ характерно использование гауссовых функций (О-функций) для ядерных плотностей, так как с ними можно провести разделение переменных в многомерных интегралах для эйкональных фаз и получить ответ в аналитической форме. Это главное, почему они и их модификации используются в расчетах сечений даже для рассеяния тяжелых ионов, хотя, конечно, физические соображения требуют в этом случае
брать за основу функции протяженной формы. В ядерной физике чаще всего используются ферми-функции ^-функции) пр(т) = [1 + + ехр(г — К/а)]-1, которые являются наиболее реалистическими для описания распределений плотностей и потенциалов ядер среднего и тяжелого веса. К сожалению, с F-функциями затруднены аналитические расчеты, например невозможно разделить переменные в тех же многомерных интегралах для фаз. И тем не менее они все больше входят в обиход не только численных, но и аналитических расчетов. В отличие от гауссовых эти функции имеют правильное экспоненциальное поведение на периферии столкновения ядер, области, которая в процессах ядро-ядерных столкновений в основном и формирует дифференциальные сечения рассеяния и полные сечения реакций. Поэтому насущной задачей является развитие аналитических методов расчета сечений в рамках микроподхода с использованием реалистических форм ядерных плотностей. Параметры таких плотностей можно брать из табличных данных, полученных на основе анализа, например, данных электрон-ядерного рассеяния. Таким образом, можно быть уверенным в правильном учете основных структурных характеристик, участвующих в рассеянии ядер, изучать истинный механизм их взаимодействия, делать надежные предсказательные расчеты сечений. Это и является целью настоящей работы.
В разд. 2 приведен ряд модификаций исходной формулы микроподхода для фазы рассеяния, что важно как для понимания механизма ядро-ядерного рассеяния, так и для расчетов без допущений, имеющих место в ряде работ. В разд. 3 даны явные выражения для так называемых функций профиля ядерных плотностей, задаваемых в виде гауссовой, однородной и симметризованной ферми (SF)-функций. Показано, как 4-мерный интеграл свертки для фазы сводится к одномерному, если плотность падающего (легкого) ядра задана в виде О-функции, а ядра-мишени — в виде SF-функции. В случае произвольного вида плотностей его можно представить в виде одномерного интеграла от фурье-бесселевых образов их профилей. Дан явный вид такого образа для профиля ядерной SF-плотности. Сделаны выводы о применимости так называемых модифицированных гауссовых функций плотности. В разд. 4 исследуются вопросы использования ядерных плотностей, полученных из формфакторов ядер в электрон -ядерном рассеянии, влияние выбора радиуса ЫЫ-сил и искажения траектории рассеяния, роль ядерной среды. В разд. 5 дано сравнение с
экспериментальными данными и сделаны выводы.
2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ МИКРОПОДХОДА
В рамках эйконального приближения и микроподхода [1,2] полное сечение реакции есть
ая = 2^Ш (1 — , (2.1)
где фаза
Х(Ь) = <?мм1(Ъ)
(2.2)
определяется через среднее по изоспинам полное сечение нуклон-нуклонного (ЫЫ) рассеяния
ZpZtаpp + ЫрЩапп + N + ЫрЕг) апр
=
ЛрЛг
(2.3)
и интеграл конволюции, который в случае ядро-ядерного рассеяния имеет вид [8]
1(Ь) = ! й2врй28Рр(зр)р0(зМ(£), (2.4) £ = Ь — 8р + st.
Здесь лежат в плоскости прицельного параметра Ь, перпендикулярной оси OZ вдоль импульса к падающего ядра4), а р°(в) есть так называемые толщины (профили) функций распределения плотностей р°(т) центров масс нуклонов ("точечных нуклонов") налетающего ядра (с атомным весом Лр) и ядра-мишени Л45). Сами толщины определяются как
р(в) = I
йгр
'в2 + X2
(2.5)
Точечные плотности р°(т) отличаются от р(г) — распределений плотности материи в ядрах, состоящих из реальных, "одетых", нуклонов. Именно для р(г) имеется большой набор табличных данных, полученных из анализа формфакторов
4)В работе [17] аналогичное выражение получено в модели взаимодействующих трубок потоков нуклонов сталкивающихся ядер.
5)Через 8 и г обозначены координаты в 2- и 3-мерных пространствах, причем в нашем случае г2 = в2 + г2. Соответственно р(г) и р0(г) есть распределения плотности, а р(в) и р0(в) — их профили.
электрон-ядерного рассеяния6), и наша цель — развить подход таким образом, чтобы при расчете сечений не вводить свободных параметров. При этом одним из неудобств является необходимость каждый раз находить точечные плотности р0(т) на базе известных "экспериментальных" ядерных плотностей р(т).
Функция / (£) определяет форму амплитуды ЖЖ-взаимодействия:
№ = ам)~2е
-2р-е/а
2 /„2 N
а%
2
Здесь тМ гт5 — среднеквадратичный радиус ЖЖ-взаимодействия. Его можно определить, если учесть, что параметр ау выражается с помощью соотношения а2м = 2в через параметр наклона в амплитуды ЖЖ-рассеяния7), заданной в форме вхр(-д2в/2). Значения в при энергии порядка 1 ГэВ находятся согласно [18] в пределах 0.21—0.23 Фм-2, чему соответствует т2гт5 = = 0.63—0.69 Фм2. В нашем случае ЖЖ-силы действуют в ядерной среде. Чтобы учесть ее влияние, под интеграл в (2.4) обычно вводят дополнительный фактор ¡т. Позднее мы рассмотрим это более подробно.
Ингеграл конволюции (2.4) близок по виду к 6-мерному интегралу "двойного фолдинга" в расчетах ядро-ядерного потенциала [19]. В обоих случаях приходится искать способы разделения переменных в подынтегральных функциях. В разд. 3 будет показано, что этот интеграл можно вычислить явно, если обе плотности заданы в виде О-функций, либо свести его к одномерному, когда одна из плотностей является гауссовой. Вместе с тем существует стандартный прием приведения таких интегралов к одномерным за счет перехода к импульсному представлению. Для этого в (2.4) делаем двумерные
преобразования Фурье—Бесселя подынтегральных функций:
и(в) =
1
е-гк'*и(к)й2 к =
(2п)
2
1
2тг
<10(кв)и(к)кйк,
(2.7)
где
г"мгт$. (2.6)
и(к) = J е и(в)й2 в =2п у ^(кв)и(в)8й8.
о
(2.8)
Тогда (2.4) принимает вид
1
т = ^ / мкМкъуР»тт(к), (2.9)
где
¡(к) = вМ-к2г%гть/6). (2.10)
Далее, используя для профиля ядерной плотности свертку
Р1(в) = ! л28урм(вм)р0(\$ - |), (2.11)
где рм(вм) — толщина плотности нуклона, с помощью (2.7) получаем
рг(к) = рм (к)р0 (к). (2.12)
Для гауссовой плотности нуклона со среднеквадратичным радиусом т2гт5 имеем
/Ы*0=ех р(-^р). (2.13)
Тогда из (2.9) следует
6)Вообще говоря, фигурирующие здесь плотности р(г) зависят от координат в с.ц.м. соответствующего ядра. Однако при анализе экспериментальных формфакторов из них обычно не выделяют фактор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.