МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 536.2(075)
© 2014 г. И. В. КУДИНОВ, В. А. КУДИНОВ
ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИОННЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
На основе учета конечной скорости распространения натяжения и деформации в формуле закона Гука, получено дифференциальное уравнение затухающих колебаний струны, содержащее, по сравнению с известным уравнением, первую и третью производные от перемещения по времени, и смешанную производную по пространственной и временной переменным. Методом разделения переменных найдено его точное аналитическое решение, исследование которого показало, что возврат струны в исходное состояние после ее выведения из положения равновесия при большом значении коэффициента релаксации сопровождается возникновением высокочастотных низкоамплитудных затухающих колебаний, протекающих на начальном временном участке лишь в области положительных значений перемещения. И в пределе, при каких-то больших значениях коэффициента релаксации возврат струны в исходное положение происходит при практическом отсутствии колебательного процесса.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, колебания струны, конечная скорость распространения возмущений, коэффициент релаксации, аналитическое решение, релаксация напряжений и деформаций.
1. Введение. Периодические возмущения, вызывающие упругие деформации среды, распространяются в ней с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. Процесс колебательного движения, при котором возмущение, вызвавшее деформацию, не сопровождается поступательным перемещением вещества, называется волновым. Необходимыми условиями распространения волн в среде являются ее упругость (отсутствие пластического течения) и инертность (противодействие деформациям). При этом различают продольные и поперечные волны. В случае продольных волн в твердом теле упругость характеризуется модулем упругости (модуль Юнга), а поперечных, например в струне, — ее натяжением. Во всех волновых процессах в формулу скорости распространения волны входят плотность среды и модуль Юнга (для струны — натяжение), характеризующие соответственно ее инертность и упругость.
Уравнения, описывающие волновые процессы, являются гиперболическими. Получение их точных аналитических решений в случаях незатухающих (вынужденных) колебаний, происходящих под действием некоторой возмущающей силы, представляет значительные трудности. Решения подобных задач получены лишь в отдельных частных случаях при конкретно заданных законах изменения возмущающей нагрузки [1—6]. При этом рассмотрение вопросов, связанных с решением проблемы бесконечной скорости распространения потенциалов исследуемых полей, в известной литературе авторами не обнаружено. Однако, как показали выполненные в настоящей работе исследования, учет релаксационных свойств среды приводит к существенному от-
u
T
<x\ Tx
Ax
0 Xj Х2 x
Фиг. 1
личию колебательного процесса по сравнению со случаем их неучета. Учет этих свойств позволяет устранить проблему скачкообразного изменения натяжения во времени, возникающую ввиду заложенной в формуле закона Гука (2.6) бесконечной скорости распространения возмущений. В самом деле, вертикальная составляющая Tu произвольного натяжения T и деформация s = du/dx здесь не разделены во времени (в формуле закона Гука отсутствует время). Устранение проблемы бесконечной скорости приводит к существенному изменению не только формы колебаний, но и времени затухания колебательного процесса.
2. Постановка задачи. Для вывода гиперболического уравнения затухающих колебаний струны с учетом ее релаксационных свойств рассмотрим сначала последовательность вывода гиперболического уравнения незатухающих колебаний, а затем на основе этого вывода получим искомое уравнение затухающих колебаний.
Рассматривая задачу о поперечных колебаниях струны, будем полагать, что смещения лежат в плоскости u, x (см. фиг. 1. Схема к объяснению вывода уравнения колебаний струны) и что вектор смещения в любой момент времени перпендикулярен к оси x. В этом случае колебательный процесс можно описать одной функцией u(x, t), характеризующей вертикальное перемещение струны во времени. Полагаем, что натяжения, возникающие в струне, направлены по касательной к ее профилю, то есть струна является гибкой (не сопротивляется изгибу).
Возникающая в струне величина натяжения (вследствие ее упругости) может быть найдена по закону Гука. Рассматривая бесконечно малые колебания, длина дуги участка xh x2 находится по соотношению (фиг. 1. Схема к объяснению вывода уравнения колебаний струны)
ds2 = du2 + dx2 (2.1)
Разделяя на dx2, получаем
ds = д/1 + (du/dx)2dx (2.2)
Ввиду малости колебаний величина du/dx настолько мала, что можно пренебречь ее квадратом. Тогда из (2.2) находим ds = dx. Таким образом, удлинения участков струны в процессе колебания не происходит и, следовательно, величина натяжения T согласно закону Гука не изменяется во времени [3, 4, 6].
Найдем проекции натяжения на оси u и x, обозначив их Tu(x) и Tx(x)
Tx(x) = T(x) cos a = T(x)dx/ds « T(x) (2.3)
Tu(x) = T(x) sin а (2.4)
где а — угол между касательной к кривой u(x, t) и осью x.
Так как рассматриваются малые колебания, то угол а мал. В этом случае sin а = а = tga. Тогда соотношение (2.4) можно записать в виде [3, 4, 6]:
Tu(x) = tga = T(x)du/dx (2.5)
Соотношение (2.5) представляет закон Гука для вертикального перемещения струны. Рассматривая только поперечные колебания (по оси u), составим сумму проекций всех сил на ось x и приравняем ее к нулю. На участок xi,x2 действуют внешние силы, силы инерции и силы натяжения. Так как внешние силы и силы инерции (по предположению) направлены по оси u, то для суммы проекций на ось x можно записать следующее соотношение Tx(x2) - Tx(x1) = 0 или, учитывая (2.3), Tix^) = T(x{). Отсюда следует, что натяжение T не зависит от величины x.
Таким образом, для любых x и t сила натяжения T является постоянной величиной. Отсюда формула закона Гука (2.5) принимает вид
Tu(x) = Tdu/dx (2.6)
Следуя второму закону Ньютона, для поперечного колебания струны можно записать следующее соотношение [3, 4, 6]:
F = ma = рЛ xd 9/ dt = pAxd 2u/dt2 (2.7)
где F — сила; m — масса; p — линейная плотность; a = dB/dt — ускорение; 9 = du/dt — скорость; A x — длина элементарного участка.
Величина натяжения Tu через силу F может быть представлена в виде соотношения Tu = Fdx, которое для элементарного участка будет
F = AxdTu/dx (2.8)
Подставляя (2.8) в (2.7), находим
pd 2u/dt2 = dTu /dx (2.9) Подставляя (2.6) в (2.9), получаем
d 2u(x, t)/dt2 = e 2д 2u(x, t)/dx2 (2.10)
где e = T / p — скорость распространения упругой волны в продольном направлении.
Уравнение (2.10) представляет классическое гиперболическое волновое уравнение, описывающее свободные (незатухающие) колебания струны. Исследования его решений представлены во многих литературных источниках [2—6].
Таким образом, уравнение (2.10) описывает незатухающие колебания упругих тел. Для того чтобы учесть затухание колебаний, волновое уравнение должно содержать слагаемые, учитывающие силы внутреннего трения. Согласно формуле (2.6) закона Гука, натяжение, вызванное некоторой силой, мгновенно (скачком) достигает соответствующих этой силе величин, то есть в этом законе заложена бесконечная скорость распространения возмущений. Однако скорости распространения любых физических величин не могут принимать бесконечных значений, и, следовательно, как натяжение, так и величина du/dx не могут мгновенно достигать любых конкретных величин. В реальной физической среде их изменения происходят с некоторым запаздыванием во времени согласно релаксационным свойствам материала, учитываемым некоторым коэффициентом т (коэффициентом релаксации).
3 Механика твердого тела, № 5
65
3. Учет релаксационных свойств материалов. Для учета релаксационных свойств материала скорости изменения во времени натяжения Ти(х) и производной от перемещения йи/йх в формуле (2.6) будем представлять в виде следующих соотношений [7—10]
Ти + тг дТи/дг, ди/дх + тгд 2и/дхЙ (3.1)
где частные производные применены по той причине, что как натяжение Ти, так и перемещение и являются функциями координаты х и времени
Вторые слагаемые соотношений (3.1) представляют скорости изменения натяжения Ти и производной от перемещения йи/йх во времени, где коэффициент релаксации тг учитывает реакцию вещества на изменение этих величин, то есть он учитывает время, необходимое для рассеивания (выравнивания) упругой энергии, возникающей в деформируемом теле.
Формула (2.6) с учетом (3.1) будет
Ти = Тх (ди + тг ^У-т. ^ (3.2)
Удх дхдг) дг
Формула (3.2) по форме записи полностью совпадает с формулой для касательного напряжения
2
ди дт , д и
Т = И — -тр ТГ+^р-^ (3.3)
дх дг дх дг
полученной А.В. Лыковым [11, 12] из предложенной им обобщенной системы дифференциальных уравнений Онзагера, найденной, исходя из гипотезы о конечной скорости распространения теплоты и массы
Т1 = ЬР -Т- + X I Ь'кХк + Ь1к дг к=1 ^ дг '
где т — касательное напряжение; т р — коэффициент релаксации; ц — динамическая вязкость; ди/дх — градиент скорости; 1( — поток субстанции (теплоты, массы и т.д.);
X — движущие силы (градиенты скорости, температуры, массы и др.); Ь{], , ¿¡к постоянные феноменологические коэффициенты. Применительно к формуле (3.3):
(г)
Ь = -тр, Ь = ц, Ь' = цтр, X = ди/дх, Т = т
Отметим, что формула вида (3.3) теоретическим путем получена также Олдройдом [11]. Подставляя (3.2) в (2.9), находим
Рд2и _ т д2и + т дЗи _ д (дТи
Р 2 _ Тх 2 + Т хТ г 2 X . I
д г дх2 дх дг дг Удх Заменяя в последнем соотношении величину дТи/дх ее значением из (2.9), получаем
дЗи , д2и 2 д2и , 2 дЗи ,ч
Тг-З + ~ = е -2 + е Тг---(3.4)
д г д г дх дх д г
Уравнение (3.4) описывает изменение перемещения с учетом релаксационных свойств материалов. Однако в нем отсутствуют члены, учитывающие внутреннее сопротивление среды при воздействии на нее нагрузки, вызывающей упругие переме-
щения ее участков. Для учета сопротивления среды примем, что сила сопротивления пропор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.