МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.517.013.4:537.2
© 2008 г. А. А. ШУТОВ
ПОЛУЧЕНИЕ УЛЬТРАТОНКИХ ВОЛОКОН МЕТОДОМ ЭЛЕКТРОПРЯДЕНИЯ
Выполнены теоретическое и экспериментальное исследования течений слабопроводящих жидкостей в электрическом поле при наличии межфазных границ. Объект исследования - осе-симметричная струя. Рассмотрение проведено в рамках электрогидродинамики (ЭГД) с учетом переноса поверхностного заряда на подвижных границах. Рассчитана форма струи при больших расстояниях от точки истечения. Проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных для ньютоновских и полимерных жидкостей.
Ключевые слова: форма струи, электропрядение, ньютоновские жидкости, полимерные растворы.
Процесс электростатического получения волокон (процесс электропрядения) есть метод формования волокон из растворов (расплавов) полимеров под действием электрического поля. Этот процесс используется в производстве фильтрующих материалов и электрораспылении жидкостей [1]. Методом электропрядения получают волокна для композиционных материалов и полимерные волокна с металлической проводимостью [2]. В последнее время интенсивно исследуется применение волокнистых материалов в качестве шаблонов для выращивания искусственных биологических тканей [3].
Простейшая техническая реализация этого процесса выглядит следующим образом. Через капилляр диаметром ~1 мм подается жидкость, которая в отсутствие поля вытекает из капилляра в виде отдельных капель. К жидкости и противоэлектроду прикладывается разность потенциалов, с увеличением которой увеличивается частота прокапывания жидкости. При некотором потенциале течение становится стационарным в виде полукапли, из вершины которой вытекает тонкая струйка (фиг. 1). После испарения растворителя струйка фиксирует свою форму в виде полимерного волокна, диаметр которого может достигать нанометрового диапазона 0.01 мкм.
Характерная особенность подобных струй и волокон - их униполярная заряженность с объемным зарядом в сотни Кл/м3. Достаточно широк диапазон проводимости жидкостей, способных к образованию струй этим методом. Наибольшим значением проводимости X ~ 10-2-10-3 Ом-1 м-1 обладают водные растворы полимеров [4]. В экспериментах по распылению жидкостей найдено, что жидкости с проводимостью X < 10-11 Ом-1 м-1 (эфир) струй не образуют [5]. Однако при специальных методах инжекции заряда могут быть получены струйки изолирующих жидкостей - фреона (X ~ 10-14 Ом-1 м-1) и жидкого водорода [6]. Важную роль в электропрядении играет вязкость. Жидкости малой вязкости с ц ~ 1 сП образуют короткие струйки лишь в слабых полях вследствие быстрого развития капиллярных неустойчивостей. Для вязких жидкостей существует механизм подавления этих неустойчивостей, и струйки микронного диаметра имеют длину сплошной части метрового масштаба [4].
Отличительной особенностью рассматриваемой здесь проблемы является наличие межфазной границы. В задачах протекания электрического тока в многофазных системах это обстоятельство с необходимостью вызывает зарядку поверхностей раздела. Поскольку в гидродинамике такие границы как правило подвижны, т.е. заранее неизвестны, то поверхностные зарядовые плотности наряду с неизвестной границей являются
Фиг. 1. Фотография начального участка струи, диаметр капилляра 1 мм
искомыми величинами. Введение в рассмотрение этих двух неизвестных функций требует дополнения уравнений ЭГД двумя соответствующими скалярными соотношениями. Для описания поведения межфазной поверхности здесь будет использовано стандартное для этого случая уравнение непроницаемости границы. Уравнение переноса поверхностного заряда может быть получено из балансовых потоковых соотношений на основе упрощающих физических соображений [7]. Более общим методом является процедура усреднения уравнения сохранения объемного заряда вблизи границы [8]. Полученные этим методом уравнения приведены в [9] для двойного слоя, а в [10] - для простого слоя зарядов.
Важная роль межфазной поверхности в генерации течений отмечалась рядом исследователей [11, 12]. Истечение жидкости из капилляра в поле сопровождается зарядкой поверхности раздела. Взаимодействие этого заряда с полем в значительной степени определяет движение струи, ускорение которой достигало в отдельных экспериментах величины ~ 1000 g, где g - ускорение свободного падения [13].
1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарную задачу движения несжимаемой свободной струи слабопроводящей жидкости в однородном электрическом поле напряженности Е0. Параметры среды вне струи нулевые. Осесимметричное течение происходит в области, определяемой межфазной границей г = f(z), где г, г - цилиндрические координаты, ось г направлена вдоль вектора Е0. Система уравнений движения имеет вид
рУ УУ = - Ур + цДУ + О, Шу V = 0, Дф =0 (1.1)
на свободной поверхности
r = f (z): и = f u
(1.2)
40
A.A. Шутов
¿(оufj 1+ f -2) - XEnifJ 1+ f -2 = 0 ' f (1'3)
E = -Уф, u = V., и = Vr, f = df
z r dz
r = f (z): П = - TKn + Fel (1.4)
Фе = Ф1, Dne - Dni = О (1Д>
r = 0: и = 0
n , z7 (1.6)
z = 0: f = r0; z ф^ -E0z
Здесь p и , - плотность и вязкость жидкости, V и р - скорость и давление, G - плотность объемных сил, ф - электрический потенциал, о - поверхностная плотность заряда, П - вектор гидродинамических натяжений, T - коэффициент поверхностного натяжения, K - кривизна границы, r0 - начальный радиус струи, D = ee0E, е0 - диэлектрическая постоянная, е - диэлектрическая проницаемость. Уравнение (1.2) выражает условие того, что граница струи является поверхностью тока, а (1.3) является уравнением переноса поверхностного заряда. Индексы i и е относятся к средам внутри и вне струи соответственно ei = е, ее = 1, Xi = X, вектор нормали n направлен во внешнюю область по отношению к объему струи. Компоненты вектора П в нормальном n и касательном t направлениях, кривизна и электрическая сила Fel равны соответственно
т-г 1 f ~ Эи „ fdu dvJ ,,2f ~ du
nn = 77f2f- р + ц d-f ,fdu +dzJ + f l- р + 2,dz = ,, wi l du + du J + 2,, -f— f dU-du)
(1.7)
na = ^ |- + — I + 2^
1 _r
1+ f '2 V.3 r dz) 1+ f '2\dr dz
K =
Ыi+f,2 (i+f,2)3/2
Fel = DneEe - ОтЕ -1(DeEe - DE)n
Струя вытекает с объемным расходом Q из круглого отверстия радиусом r0, расположенного в заземленной плоскости z = 0. Эта плоскость имеет электрический контакт с жидкостью, которая униполярно заряжается. Положим, что объемный заряд в жидкости отсутствует, тогда электрический ток внутри струи является омическим с плотностью j = XE. Величина переносимого струей электрического тока I определяется интегрированием потоков заряда по замкнутой поверхности струи, ограниченной перпендикулярными оси сечениями от точки истечения z = 0 до точки наблюдения z
r0 d f(z) z
I = 2nXj-jg(r, 0)rdr = 2nX J -ig(r, z)rdr + 2nXjEnifJ 1 + f,2dz (1.8)
0 0 0
Это соотношение выражает условие равенства входного омического тока I = const через сечение z = 0 сумме выходного омического тока в сечении z и тока на боковую поверхность струи. Подставляя (1.3) в (1.8), получим
f ( z )
I = 2nouf J1 + f,2 + 2nX J dP(r, z)rdr (1.9)
Равенство (1.9) показывает, что полный электрический ток, переносимый струей, равен сумме конвективного и омического тока в любом сечении струи.
2. Струйное течение в асимптотической области. Квазиодномерное приближение.
В качестве объемной силы рассмотрим силу тяжести О = рg, причем вектор ускорения свободного падения g и Е0 параллельны. В асимптотической области форма струи медленно изменяется вдоль оси г, движение жидкости совершается преимущественно по оси г, а изменение гидродинамических параметров в поперечном направлении малы. Положим, что р и и являются функциями только продольной координаты г. Интегрирование гидродинамических уравнений в (1.1) по объему струи, заключенному между двумя близкими поперечными сечениями, дает следующие соотношения [14]:
£(Б(ри2 + р - 2ци')) - 2п/(Сгг - f 'Сгг) = рgБ (2.1)
fdVk д УЛ
°k = - p5k + Ч ЛГ + д7к), j'k = r'z
иБ = е
,ГдЛ + д!А (2.2)
х} дхк,
где Б = п/2 - площадь поперечного сечения струи, е - объемный расход жидкости. При получении соотношений (2.1), (2.2) опущены слагаемые '2 и использовано уравнение (1.2). При отбрасывании слагаемых '2 исключаются из рассмотрения детали течения вблизи г = 0. Ниже будут указаны условия, при которых вклад начального участка в асимптотику мал. В уравнении движения (2.1) наряду с силой тяжести учтем электрическую и капиллярную силы. Нормальную и касательную составляющие электрической силы на поверхности раздела определяем из (1.7). В [13] показано, что вклад внешнего электрического поля в нормальную составляющую силы мал. С точностью до слагаемых ~/'2 напряженность касательного поля совпадает с Е0. Используя граничное условие (1.5) для скачка электрической индукции, находим
о2 е0 (е -1) 2
(¥е')» = 2е~ + Е0, (?е1\ = о Ео (2.3)
Для цилиндра последние соотношения точны. Составим баланс сил на нормальное к поверхности направление и ось г, принимая во внимание капиллярные и электрические силы (2.3):
йи Т 02 е0 (е -1) Е20
р+^Нег-0^-0 (2.4)
f '°zz = о Ео- f'
^Q2 £ 0 ( £ - 1) Е0
2е0 + 2"
0
+ f' T (2.5)
Подставив давление из (2.4), а также (2.2), (2.5) в (2.1), получим
|(р^-з ц^-)+з£1Т-2ео)-2п/оЕо = рgБ (2.6)
Из (1.9) и (2.2) находим связь между током и плотностью заряда
I = ш+х еб
/
где Ег - среднее по сечению значение продольной составляющей напряженности поля. Омическое слагаемое, пропорциональное площади поперечного сечения струи, являет-
(rz
(2.9)
ся убывающей функцией г. Опуская омический вклад, находим выражение для поверхностной плотности заряда
о = //2е (2.7)
Выражение (2.7) описывает известный в электрогидродинамике эффект вмораживания заряда в среду. В данном случае теряется омическая связь с источником тока и униполярный заряд конвективно переносится вдоль поверхности раздела. Введем безразмерные переменные
2 2 4
г - / ип г0 рп г0
г = Г' / = г' и = V' р = —Г (2.8)
го го е р а1
Подставляя (2.7) в (2.6), получим уравнение для продольной скорости
±г _з_ «л + (Р^ 1 + _ЗЛ = 0
йг\ Яе и) 2 udг\We и) 2 и I. я йу
2 2 6,2 3 2
Яе = Ж, We = в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.