ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ ПОПРАВКА В ТЕОРИИ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Д. Н. Макаров* В. И. Матвеев
Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова 163002, Архангельск, Россия
Поступила в редакцию 27 сентября 2014 г.
Предложен метод нахождения поляризационной поправки (поправки Баркаса) в теории потерь энергии заряженными частицами при столкновениях с многоэлектронными атомами. Поправка Баркаса представлена в простом аналитическом виде. Проведены сравнения с экспериментальными данными, показано, что учет поправки Баркаса улучшает согласие теории и эксперимента.
ЕЮ1: 10.7868/80044451015050031
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время ионизационные потери энергии при столкновениях тяжелых ионов с атомами вещества достаточно хорошо изучены для области скоростей иона V иа [1], где г<а ~ 1 характерная скорость электрона в атоме. В этой области скоростей столкновений обычно используют формулу Бете Блоха со стандартными поправками к ней [1] (здесь и везде далее, если не будет оговорено, используются атомные единицы):
72 /
5 = 4к—гЛТа ЬВс,Ьс + ¿\ЬВ1осЬ + А/.4"" +
V1 \
- д/,»'"•'• . (1)
где ^ и V заряд и скорость снаряда, ЛГа число электронов в мишени, величина £Вс4Лс = 1п(2г»2//) рассчитана Бете [2] в низшем порядке теории возмущений, / средний потенциал ионизации мишени, А1в,ос/> = -Вг4<(1 + <2/*') + ф(1) поправка Блоха [3], ф(х) логарифмическая производная Г-функции, АЬ8кс!! оболочечная поправка (см., например, [4]), АЬВагказ поправка Баркаса (Вагкая) [5]. Именно исследованию поправки Баркаса посвящена данная статья. Необходимость введения в теорию Бете Блоха поправки Баркаса (ее часто называют поляризационной поправкой) появилась в результате экспериментального обнаруже-
Е-таП: такагоусЮбОб'йуат^ех.ш
ния [6] разницы в несколько процентов между пробегами тг+- и -мезонов одинаковой энергии в фотоэмульсии. Физическая суть возникновения этой поправки заключается в том, что при взаимодействии заряженной частицы с атомом электронные оболочки атома вытягиваются в направлении заряженной частицы, если заряд частицы положительный, но вытягиваются в противоположную сторону, если заряд частицы отрицательный, таким образом электронные оболочки вытягиваются по-разному в зависимости от знака заряда частицы. Существует квантовое решение этой проблемы во втором порядке теории возмущений [7] в области ее применимости, т. е. при Z/v -С 1, где Z заряд иона, v скорость иона, и эта поправка вносит небольшой вклад в формулу (1). Но если рассматривать потери энергии не легких заряженных частиц, а тяжелых, эта поправка, как выяснилось позже, может давать большие значения [1,8 11] и становится необходимым непер-турбативное рассмотрение. Квантовомеханпческого, точного решения этой проблемы нет и в настоящее время. Действительно, чтобы найти такое решение, нужно знать волновые функции электрона в поле двух движущихся заряженных центров, кроме того, если атом сложный, то необходимо учитывать экранировку атомного заряда и множество других проблем. Поэтому прибегают к различным моделям, чтобы обойти все эти трудности. Например, в работах [10, 11] рассматривалось классическое решение этой проблемы для одноэлектронного атома и показано численно, что поправка Баркаса может достигать около 100 % к результатам теории Бете Блоха
в области скоростей, сравнимых с атомными. При этом для такой области скоростей поправка Баркаса [6, 8] там, где она существенна, обычно рассчитывается с использованием классической физики с различными подгоночными параметрами и малообоснованными приближениями. Таким образом, к строгим и общепринятым результатам следует отнести лишь кваитовомехапические расчеты во втором порядке теории возмущений. Для расчетов поправки Баркаса при рассмотрении потерь энергии тяжелыми высокозарядными ионами, когда часто нарушено условие применимости теории возмущений (Z/v <С 1), до настоящего времени [1] по причине сложности непертурбативного рассмотрения нет не только точных, но и приближенных общепринятых иепертурбативных подходов и находят применение разнообразные полуколичественные формулы с подгоночными параметрами, определяемыми экспериментально. При ЭТОМ поправка АЬвагкая вводится в теорию [12 14] не в рамках единого метода, а в качестве дополнительных поправок, которые необходимы при использовании других подходов, например, [1, 8]. Таким образом, о поправке -Л Л , .s в областях скоростей столкновения и зарядов налетающих ионов, в которых Z/v > 1, мы можем говорить только качественно, а теории по ее расчету основаны на подгоночных параметрах и грубых приближениях [1]. Поэтому вопрос о разработке теории, которая бы включала в себя поправку Баркаса и охватывала область Z/v > 1 без использования подгоночных параметров, достаточно актуален.
В данной работе предложен и разработан подход к такой теории, в которой поправка Баркаса входит в теорию Бете Блоха естественным способом, причем с учетом недавно полученной иепертур-бативной оболочечпой поправки [12 14]. Предложен метод нахождения поляризационной поправки (поправки Баркаса) в теории потерь энергии заряженными частицами при столкновениях с многоэлектронными атомами. Поправка Баркаса представлена в простом аналитическом виде. Проведены сравнения с экспериментальными данными, показано, что учет поправки Баркаса улучшает согласие результатов теории и эксперимента.
2. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В ОБЛАСТИ КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА
Рассмотрим потери энергии при столкновениях частиц, взаимодействующих посредством короткодействующего потенциала, радиус действия которо-
го будем обозначать а. Следует сказать, что такой метод нахождения потерь энергии и поправки Баркаса известен [10], но в нем остается неопределенным параметр а:, ограничивающий область короткодействующего потенциала. Чаще всего используют потенциал Юкавы, в котором параметр а:, известный лишь по порядку величины, называют адиабатическим радиусом. Например, в работах [10, 15] считают просто, что а = V/и), где и; характерная частота атома, V скорость нона. Такой выбор а = г'/и) неточен и дает лишь качественное поведение поправки Баркаса [16], поскольку, строго говоря, можно считать, что а лишь порядка г'/и). Действительно, выбор а основан на приравнивании потерь энергии на короткодействующем потенциале с параметром а и потерь энергии по классической формуле Бора при условии Z|v'2^ -С 1 и и!/г' -С 1, при этом очевидно, что игнорируется далыюдействую-щая часть кулоновского потенциала, вносящая заметный вклад в потери энергии. Это приводит к разным функциональным зависимостям для эффективного торможения для короткодействующего и кулоновского потенциалов и к невозможности корректной процедуры сшивки. Поэтому существует необходимость в более точном поиске параметра а:, с использованием аппарата квантовой физики при более точных приближениях.
Рассмотрим рассеяние электрона в области короткодействующего потенциала, более простого, чем потенциал Юкавы, что в итоге приведет к аналитическим выражениям, кроме того, точность нашего метода будет в большей степени зависеть не от выбора потенциала, а от правильного нахождения параметра а. Выберем короткодействующий потенциал в часто используемом виде (см., например, [10,17 19]):
0, г > а,
где параметр а граница короткодействующего потенциала. Далее рассмотрим потери энергии на таком потенциале в квантовом случае. Соответствующее эффективное торможение будем обозначать К\, оно связано с тормозным числом L\ соотношением К\ = 4vtj/2Li. Используя известное [20] соотношение между эффективным торможением и транспортным сечением, легко представить тормозное число Li в виде [21]
1 иу ' 1=0
1) БШ2 (6[ — 6[+1 ) .
(3)
где '// = 2/ю кулоновский параметр, а ¿>/ фазовый сдвиг. Также известно, что фазовый сдвиг на обрезанном потенциале с границей о. можно представить так ([22] и [23], формула (3.44)):
_ ./Х''") ~ (//Г)]', (Гп)
//|(С'|) — (//г^п'^го.)
(4)
где ¿¡(х) сферические функции Бесселя, щ(х) сферические функции Неймана, .¡¡(х) = ф'/(.(;)ДЬ; и п[(х) = (1'щ(х)/(1х, а
/ =
2_ (Щ
Д/ (1г
логарифмическая производная по координате г от радиальной волновой функции Д/(г) электрона на границе области действия потенциала, т.е. при г = а, / орбитальный момент импульса. Для того чтобы найти Д/(г), не обязательно решать радиальное уравнение Шредингера, а достаточно воспользоваться известным результатом для кулонов-ского поля с той лишь разницей, что скорость V следует заменить на <'\/1 — 2А, где А = У./г2п. Такая замена становится очевидной, если увидеть, что V = —2 ¡г + 2 ¡а, так что в нашем случае уравнение Шредингера не будет отличаться от уравнения для кулоновского потенциала, если энергию Е = V2 /2 заменить на V2/2 — 2/а. В итоге радиальная волновая функция имеет вид
#■/(''") = (-1 (2ГГ^2Х) ехр Г—кту7! - 2А) х
х Е 1 + / + <
- 2А
21 + 2; 2пт\/1 ^ 2А^ , (5)
где с/ нормировочная константа, которая исчезает во входящей в формулу (4) функции /, а F(u; Ъ\ у) вырожденная гипергеометрическая функция. Используя формулы (3) (5), можно представить тормозное число Ь\ в виде довольно громоздкого ряда, суммирование которого можно выполнить лишь численно. Отметим, что Ь\ является функцией от 2 (т.е. Ь\ = 1,1 содержащей как четные, так
и нечетные степени 2. Поправка Баркаса, имеющая смысл поляризационной поправки, очевидно, содержит лишь нечетные степени 2 и выражается через Ь\{2) следующим образом:
АЬ
Вагказ —
ь^-ь^-г)
(6)
АЬвагкав
0.4
0.3
0.2
0.1
П \ \ N.4
V? = ю
Г \ \ \ 0.7
1 \ \0.5 \
- . 0.3 \ \ \
По.Л \
11111
0.5
1.0
1.5
2.0 Л
Рис.1. Поправка Баркаса ДЬВагкаи. рассчитанная по формуле (б) в квантовом случае для одного электрона, как функция от безразмерного параметра А = г/и'-а при ¡1 = (0.1,0.3,0.5,0.7,1,10). Сплошная жирная линия показывает сливающиеся при всех значениях ;/ > 10 зависимости ДЬвагкаа, соответствующие классическому случаю
В принципе, точный квантовый расчет можно представить в виде суммы, где под знаком суммы стоит аналитическое выражение, но оно слишком громоздкое, поэтому тут его не приводим. Таким образом, рассчитав численно Ь\{2) и м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.