ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ .ЕКЖтШШ. Ш АН
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА ^
Том 145, № 3 декабрь,2005
© 2005 г. В. П. Карасев*
ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ КВАНТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД
Даны теоретические основы квантовой томографии поляризационных состояний световых полей как метода измерения их поляризационного оператора плотности Я, характеризующего только поляризационные степени свободы излучения. Главное внимание уделяется методу, где томографические наблюдаемые ("измерители" В) имеют собственно поляризационную природу. Показало, что его квантовая сущность адекватно выражается с помощью квазиспектральных томографических разложений Я по специальным операторным базисам - конечным суммам частично-ортогональных проекторов , определяющих вероятностные распределения томографических наблюдаемых как коэффициентов разложения. Получены матричные версии таких "томографических" представлений /£, в частности путем их проектирования на квазиклассические операторные базисы, определяющие поляризацонные функции квазивероятностей. Кратко обсуждаются информационные аспекты представленных схем.
Ключевые слова: квантовая томография, поляризационный оператор плотности излучения, измерение, томографические наблюдаемые, квазиспектральные разложения операторов, частично-ортогональные проекторы, вероятностные распределения, функции квазивероятностей.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние два десятилетия большое внимание уделяется квантовой томографии состояний световых полей - методам реконструкции оператора плотности р излучения по экспериментально зарегистрированным вероятностным распределениям "томографических наблюдаемых" (ТН) [1]-[9]. Это обусловлено как повышенным интересом к фундаментальной (восходящей к фон Нейману [10] и существенно разработанной Холе-во [11]) физической проблеме - измеримости квантовых состояний, так и интенсивной разработкой прикладных аспектов квантовой информатики, где измерение состояний играет одну из ключевых ролей [12]—[17].
Первоначально метод квантовой томографии был разработан и экспериментально реализован для одномодового излучения [1]-[3]. В его основе лежит представление Г* йф
Wp(a)= — с1хрр(х,ф)К\у(х,ф-,а), / йхрр(х,ф) = 1, (1) J О Я J-oo J-OO
* Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия. E-mail: vkaras@sci.lebedev.ru
функции квазивероятностей (ФКВ) Вигнера \¥р{а): задающей квазиклассическое описание оператора плотности р поля [18], [19], через получаемые в гомодинных измерениях [3] распределения вероятностей
ЛЯ
рр(х,ф) = Тг [Пх (ф)р] = {хф\р\хф) И
V
"повернутых" полевых квадратур т
■й «I
- 1 Г°° -
Хф = -[а*е* + ае-1+]= / хП Х(ф)вх
^ J — оо
в качестве ТН. При этом коэффициенты Куу(х, Ф\а) были получены как ядра обратного преобразования Радона для ФКВ И/р(а) [1], [2], [8], что и дало (маскирующее его квантово-статистическую суть) название самому методу.
Затем томографическая схема (1) была обобщена в разных направлениях [5]-[8]. Среди них необходимо отметить получение ее операторной формы - разложения [8] 0
Г7* Лб Г00 ~ - 1 Г00 1 ~ р= Л <ЬРр(х,ф)К(х-,ф), К(х;ф) = -- V—-^Пх,(ф)ёх',
Jo К J-оо ^У-оо ^ ~х)
(2)
оператора р по сверхполному (за счет наличия "классического" параметра ф) базису сингулярных "томографических ядер" К(х; ф). Исходная версия (1) получается из (2) путем проектирования р —> \¥р(а) = Тт[рШ(а)\ на квазиклассический базис операторов Вигнера [18]
Ща) = тг"1 / В(р)=е^~0'&=е2тЯФ-'/', /? = Ще*,!
Ш
нумеруемых координатами а фазового пространства С1.
Формула (2) наиболее адекватно выражает квантовую сущность метода как специфического (косвенного) измерения состояния р ввиду очевидного сходства (2) и спектрального разложения фон Неймана [10] для самосопряженных операторов, отвечающих наблюдаемым (см., например, выражение для Хф)- Главное различие этих двух разложений обусловлено особой ролью оператора р (как носителя полной квантовой информации [11]) и заключается в использовании в формуле (2) двух сверхполных дуальных базисных систем: задающих "разложение единицы" проекторов Пх (ф) и "томографических ядер" К(х;ф), как это имеет место при введении С}- и Р-представлений в квантовой оптике - фактических прототипов квантовой томографии [7]. Принимая также во внимание вероятностную природу используемых экспериментальных данных и отсутствие каких-либо априорных сведений о квантовом состоянии объекта (кроме фиксации определяющего гильбертова пространства), метод квантовой томографии излучения можно отнести в рамках современной статистической теории квантового измерения [11] к классу непараметрических (в отличие от используемых, например, в работах [7], [20]) процедур квантово-статистической оценки состояния квантового объекта при отсутствии априорной информации. Существенной чертой, отличающей его от других
346
оюеотн, в.П. КАРАСЕВ
квантово-статистических процедур и обеспечивающей высокую практическую эффективность в указанных условиях (см. по этому поводу, например, [20]), является использование семейства однотипных (унитарно-эквивалентных) "измерителей", нумеруемых классическим (!) параметром.
Впоследствии соотношение (2) послужило основой для распространения обсуждаемого метода на другие квантовые системы [9], [21]. Так, в квантовой оптике для анализа многомодовых полей была разработана многомодовая версия [4] гомодинной полевой томографии. Однако во многих случаях, кроме полного описания состояний поля с помощью р, представляют интерес его частичная характеризация (редуцированное состояние) в терминах некоторых коллективных переменных и соответствующая частичная томография [9], [22]-[24]. Очевидный пример такой редукции дает поляризационный анализ излучения в терминах компонент Р-квазиспина Р = (Pi, Р2, Р3) ~ коллективных наблюдаемых, ассоциированы^ с (описывающими поляризацию света в классической оптике) векторными параметрами Стокса [22], [25]. Отметим, что анализ поляризационных состояний света играет важную роль в обсуждении фундаментальных проблем квантовой теории, начиная с известной работы Эйнштейна-Подольского -Розена [26] и по настоящее время (см., например, [12]—[15] и приведенную в них литературу), а поляризационные ФКВ оказались эффективным средством изучения неклассических состояний и явлений поляризационной оптики [27]. Поэтому актуальна задача построения адекватного теоретического аппарата квантовой томографии поляризационного состо-
и > lía i
яния световых полей.
Эту задачу можно решать на основе многомодового обобщения [4] одномодовой полевой томографии путем выделения поляризационных и неполяризационных переменных и редукции последних [22], [23]. Такой способ страдает информативной избыточностью, а также сложностью вычислений и экспериментальной реализации (многомо-довое гомодинирование). Эти недостатки устраняются в альтернативном подходе [22], который можно назвать собственно методом поляризационной томографии излучения (ПТИ). В его рамках осуществляется реконструкция поляризационного оператора плотности (ПОП) R, характеризующего только поляризационные степени свободы световых полей, на основе данных измерений ТН, имеющих собственно поляризационную природу. "Каноническая" версия метода ПТИ была сформулирована в работах [9], [22] и экспериментально реализована в работе [24]. В качестве таких ТН использовались прямые аналоги Хф - Р-квазиспиновые наблюдаемые
5(0, ф) = 2Т(п)Р3Гt (n) = 2n-P = 2(Рг sin 0 cos ф + Р2 sin 0 sin ф + Р3 cos 0), (3)
где вектор n = (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0) определяет положение (Р) на сфере Пуанкаре 5£ = {(Р): Ег=1,2,з(-Р/) = const}, а оператор
f (n) = exp^-<Le-i+P+ + = exp[-i0(-Pi sinф + Р2 cos0)]
описывает вращения на этой сфере.
[26] И поля-осто-етроения ' состо-
Однако главное внимание в указанных работах уделялось операциональным аспектам, тогда как теоретический анализ не был достаточно полон (и ограничивался только канонической версией метода ПТИ). В данной работе, восполняющей этот пробел, анализируются общие структурные свойства поляризационной томографии, выводятся аналоги соотношений (1), (2) в "канонической" и неканонической версиях метода ПТИ и кратко обсуждается их теоретико-информационный смысл.
2. ПОП ИЗЛУЧЕНИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ *
И ГРУППОВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
2.1. Определение ПОП. Исходный пункт в разработке теоретических схем поляризационной томографии - определение ПОП Л квантового излучения - осуществляется в рамках формализма Р-квазиспина, чьи компоненты Рг=1,2,з суть генераторы группы Яи(2)р = {и(и), п) = ехр(—гшп-Р)} поляризационной динамической симметрии световых полей. Этот формализм дает адекватное описание поляризации квантового излучения, поскольку обычный спин теряет свое физическое значение для безмассовых полей, а операторные аналоги £г векторных параметров Стокса определены корректно лишь для плосковолнового излучения [9], [22], [25]. '* '
В рамках Р-квазиспинового формализма многообразие поляризационных квантовых состояний излучения описывается с помощью базиса {|Р; д)} собственных состояний операторов Р2 = Рх2 + Щ + Щ и Ру-
рг\р-,и} = р(р+1)\р-,г), ъ\р;/*) = р\р;р), 2Р = 0,1,...,оо, Н<СР. (4)
В случае монохроматического плосковолнового излучения, когда имеются только две поляризационные моды с одинаковыми волновыми векторами к, операторы Рг пропорциональны операторам Стокса £г (а 2Рз совпадает с оператором спиральности) и определяются через разности операторов па = а^ааа чисел фотонов в стандартных парах (двух линейных и циркулярной) ортогональных поляризационных мод:
(3)
2Р\ = тгх — пу = а+й_+а]1а+, 2Рг = пх< —пу = г(а^а+—а]|_а_), 2Рз = п+—п_.
(5)
Задание базиса {|Р;д)} в гильбертовом пространстве £р(1) = 8рап{|п+,п_)} поля излучения сводится к перенумерации фоковских состояний с круговой поляризацией:
Л
1л. л
|Р; /х) = |п+=Р + /х>|п_ = Р-ц) = -^-
[(Р + /х)!(Р-/х)!]
1/2
|0), а±|0> = 0, (6)
что соответствует разложению
1Р(1) = ^ ЦР), Ь{Р) = 8рап{|Р;/х> : Р = const}
2р=0
пи
ли щ
ми
(7)
348
йни^ Г >
" -ЯГ
В. П. КАРАСЕВ
' »«ЮНОП
пространства Ьр(1) на 5[/(2)р-неприводимые подпространства -мены" Ь(Р) [9], [25]. При этом справедливо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.