ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 4, с. 39-44
УДК 539.12
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
© 2004 г. Г. М. Филиппов, Л. В. Елизарова
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, Чебоксары, Россия
Поступила в редакцию 10.10.2003 г.
Решается задача вычисления поляризационных полей, возникающих при движении заряженных частиц вблизи поверхности тела сферической формы.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования поляризационных полей электромагнитного типа, возникающих в твердом теле при движении заряженных частиц либо в его объеме, либо вблизи от его поверхности, позволили получить ясное представление как о свойствах этих полей, так и об их влиянии на сопутствующие явления. Однако основная масса работ, в которых исследуются поля поверхностного типа, выполнена для случая плоской поверхности. Те немногочисленные из них, в которых поверхность предполагается сферической [1], несмотря на определенные положительные результаты, еще не привели к детальному описанию свойств поляризационных полей. В настоящей работе мы пытаемся восполнить этот пробел. Рассматривается генерация электрического поля заряженной частицей, движущейся вблизи поверхности однородного металлического шара. Считается, что скорость частицы много меньше скорости света и справедливо приближение классической электродинамики. В рамках данного предположения поляризационные свойства шара определяются электронным газом металла. Пренебрегая пространственной дисперсией, диэлектрическую проницаемость металла будем описывать простейшим выражением вида:
е(ю) = 1-
2
Ю>
22'
(1)
ю
электрических колебаний шара, которые совпадают с вычисленными ранее в работе [1]:
ю, =
I
21 + 1
Юо.
(2)
Элементарными решениями уравнений Максвелла являются в данном случае поля, описываемые потенциалами вида:
Ф,т = У1т(в,уУ
Я0
1' г < Яо,
я0
Т+1' г > Яо
(3)
где I = 1, 2, ... - номер парциальной волны, Я0 - радиус шара, У1т(б, ф) - сферические гармоники (при этом, как следует из (2), I > 1). Общий вид потенциала поля дается суперпозицией парциальных волн:
Ф
= XX
I = 1»
Я
I + 1'
г < Яо,
Я0
Т+1' г > Яо
(4)
где ю0 - плазменная частота электронного газа.
Для решения задачи нам потребуется определить спектр собственных элементарных электрических колебаний шара. Поляризационное поле, которое возникает благодаря движению внешней частицы, является суперпозицией собственных полей. При малых по сравнению со скоростью света скоростях частиц можно пренебречь вихревыми полями и ограничиться рассмотрением потенциальных полей. Используя уравнения Максвелла, легко определяем собственные частоты
Х ( С1т У 1т
(б,ф) + С*»У*т(б,ф))'
где С,т - произвольные коэффициенты.
Вычислим полную энергию поля (4). Она представляет собой сумму энергий полей вне и внутри шара. Энергия поля вне шара вычисляется по формуле
Е
■=1.
2
(УФ)
--— йУ, где интегрирование ведется
8 п
по внешней по отношению к шару области прост-
ранства и равна:
En.
— - У
8 п^
( C C* + C* C
l + 1 I ^lm^lm^ ^lm^lm'
Ro
l, m
X Сю + C* Г, m = 0.
проводящего шара уравнением:
H = У 1 ( PL + fflfeL).
m * 0,
(5)
Здесь и ниже суммирование по l, m предполагает, что l изменяется от 1 до -l < m < l. Внутри шара
Ein = J^)2 dV,
l, m
что дает:
Ein=^y( 3l +1) R0
C C* + C* C
lm lm lm
lm lm
m * 0, (6)
l, m
-(Clm + C*m) , m = 0.
E = Eo
+ Ein = У
2l +1 I ClmChn + ChnClm,
4п R0
l, m
.(Cl0 + C* r, m = 0.
m * 0, (7)
E
— У
2l + 1 „2l + 1
4п R0
R
( Clm Clm + Clm Clm ).
(8)
ölm - Gl( Clm + Cfm) , Plm - —®lGl( Clm - Cl»j) .
Здесь коэффициент пропорциональности
(9)
G —
( 21 + 1) R0 l + 1 4пю2
1/2
в котором каждый член имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора.
Перейдем к квантованию свободного поля элементарных возбуждений электрического типа. Мы должны рассматривать канонические переменные (обобщенные координаты и обобщенные импульсы) как операторы с правилами коммутации (здесь и ниже используются атомные единицы Бете):
Р 1т(° 1т 0,1тР 1т —
В результате для гамильтониана получаем выражение:
Полная энергия собственного поля сферического тела во всем пространстве оказывается равной:
#0 - У 1 (P2lm + CÖL) .
Учитывая, что коэффициенты разложения (4) изменяются с течением времени пропорционально ехр(-г'юД и проводя усреднение по времени, приведем данное выражение к более простому виду:
I, т
Выполняя стандартные преобразования, выразим коэффициенты-операторы Сы, С* через
УЧ УЧ +
операторы уничтожения а 1т и рождения а 1т квазичастиц поляризационного поля
1 , 1
Clm —
GlJlCl
lm
Clm —
GlV2ffll
lm
Гамильтониан поля квазичастиц может быть выражен и через операторы чисел квазичастиц
n lm = a ma
lm lm
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ПОЛЯ
Заданием коэффициентов Ст полностью определяется поле. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических "переменных поля". Для выяснения способа перехода к квантовой теории следует провести преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид уравнений Гамильтона классической механики. Канонические переменные поля определяются как
#0 — У®( пlm +
l, m
(10)
Подставляя новые операторные выражения в формулу (4), получаем оператор потенциала поляризационного поля в виде:
ф — У
l, m
2 п colR0 ( 2 l + 1)
[ a lmY lm
R
l + 1'
R
0
l + ^
r < R0,
r > Rn
(11)
и при этом, используя выражение для энергии в форме (8), определим функцию Гамильтона системы независимых элементарных возбуждений
Гамильтониан взаимодействия заряженной частицы с электрическими полями сферического тела записывается в виде:
нй — |ре*Ф ЛV, где рех1 = Ъ5(г - г0(0), Ъ - заряд частицы. Подстав-
+
x
ляя сюда (11) и интегрируя, получим:
ф0 = 0. Проводя интегрирование в (15), получаем:
h/int — z i
i, m
2 nfflR ( 2 / 1 )
i +1'
R
о
i + i'
0
*
Го < Ro'
Го £ Ro
Qim — - Z
2 ng>iRo *
(2 i + 1) bl + 1
Y*m(о, 0)e
(16)
x
(12)
Х [а 1тУ ,т (А), ф0) + а/тТГт(^0, фо)] '
где Г0 = |Г0(Г)|, А) = А/г), ф0 = ф0(0 - текущие значения сферических координат частицы.
РАСЧЕТЫ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
Вектор состояния системы квазичастиц сферического проводника подчиняется уравнению Шредингера:
Используя правило сложения сферических функций:
Pi (cos у) — ^ ¿ ^($,ф) )'
m — -i
где cos у = cos $ cos $' + sin $ sin $'cos^ - ф'), и подставляя в (14) полученные средние значения операторов рождения и уничтожения, получаем во всем пространстве вне области шара потенциал поляризационного поля в виде:
R
2i + 1
Ф — I -Z) °-"777 Pi( cos $).
i—1
(rb)
(17)
i d-\t) — ( #0 + Hint )| t)'
(13)
котором операторы lío и Hint даются соответ-
Нетрудно показать, что (17) совпадает с формулой классической электродинамики, где при нахождении поля точечного заряда вблизи шарового проводника используется метод изображений. По-
ственно равенствами (10) и (12). Хорошо известно тенциал поляризационного поля в некоторой точ-
[2-4], что эволюция систем рассматриваемого типа описывается когерентными состояниями. Решая уравнение (13) и усредняя (11), получаем:
л/ а ч 2 nfflRo
Ф(г'$'ф) — IJ^ x
x [aimYim($, Ф) + aimy*m($, ф)]
R
i +1'
R
о
i + 1'
r < Ro'
r > Ro
(14)
ке, находящейся на расстоянии г от центра незаряженного шара под углом А по отношению к линии, соединяющей точечный заряд с центром шара, дается равенством Ф1ш = -д'/г' + д'/г. Здесь г' равно расстоянию от фиктивного заряда д', сдвинутого
на й = Я0 /Ь от центра проводника, д' = ТЯ0/Ь. Но поскольку
1
г'
Jr2 + d2 - 2 dr cos $
— ^ I pi( cos$)
i — о
d)i ■
где a im = Qime i и a i
= Q*me
, причем
Qim — -iZ,
pKCOi^ r ifflif
л/ ( 2 i + 1 - J e
[гО( f) ]i (fl)<-—T+T' го(f)<Ro Ro
R0
1^(0 ]
ГЗЛ' ro(0 > R
x
(15)
то Ф^ совпадает с (17).
Частица движется по окружности. Пусть текущие
координаты частицы равны А(г) = 2, ф = юг, |г0(г)| =
= Ь. В данном случае частица движется по окружности, лежащей в экваториальной плоскости шара. Выражение для потенциала среднего поляризационного поля имеет вид:
Х у*»[Ао (г'), фо (г')] йг' .
Здесь г0(г), А0(г), ф0(г) представляют собой сферические координаты частицы.
Рассмотрим два частных случая.
Частица не движется. Положим у = 0, г0(г) = Ь > > Я0. Частица находится в вакууме на расстоянии
Ф — (-iZ)Igi(r)|je'ffliY*m(n/2, fflf)df
i, m ^Vq
- (Je 'ffli'Yim(n/2, fflf)df
^(аф^1-(18)
Y*m($, ф) e\
,2i + 1
2nffli R0
где gi(r) = --- - --—. При выводе данной форму-
2i + 1
(br)
Ь от центра сферического тела. Положим А0 = 0, лы мы полагаем, что частица начинает свое движе-
ние с момента времени г=0, перемещаясь по окружности с постоянной угловой скоростью ю. Тогда
Ф = (- Z
Ю/ (l - \m\)! +1 Dw
/ -Ti-ГТ-Г-nPl (0)P/ (cos Ь) X
^Ю/ - тю(1 + |m|)! (rb)1 + 1 1 KJ 1 ({9)
x [cos(m(ф - ф')) - cos(тф - Ю^)],
где (cos Ь) - присоединенные полиномы Лежан-
дра, радиус r, углы Ь, ф представляют собой координаты точки наблюдения. Если вычислить производные по координатам от (19) в точке расположения самой частицы, то, взятые с обратным знаком, они представляют собой компоненты средней силы, действующей на частицу. Сила притяжения, действующая со стороны сферического тела, дается выражением:
F = - Э
ЭФ r
= - z 2I
Ю/ (i+1)(1 - mi)!
X
R
2l + 1
0
21 + 3
Ю/ - тю (l + |m|)! l-m (20)
(Plrl(0))2( 1 - cos((Ю/ - mю)t))),
малым, суммирование по I можно с большой точностью заменить интегрированием, а суммирование по т - интегрированием по ¡г:
Ф
= (-Z)J dl J dh -
Ю/
Г(l - |lz| + 1)
R
1 -/ 2l + 1
- lz ЮГ( l + |lz| + 1)
X
(22)
x ^-/-fP\Z(0)P\z(cosb)X (rb)1 + 1
X [cos(lz(ф - Юt)) - cos(Ю^ - lzф)],
где под Р^ (cos Ф) следует понимать аналитические продолжения присоединенных полиномов Лежандра по верхнему и нижнему индексам, Г(^) - гамма-функция. Рассмотрим потенциал на небольшом по сравнению с радиусом сферы расстоянии от поверхности. В данном случае более удобным оказывается другое представление потенциала, вытекающее из формулы (18). Используя правило суммирования шаровых функций, находим:
а сила торможения
F
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.