ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 539.376
© 2013 г. Локощенко А.М., Агахи К.А., Фомин Л.В.
ПОЛЗУЧЕСТЬ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ В АГРЕССИВНЫХ СРЕДАХ
Рассматривается влияние агрессивной среды на характеристики высокотемпературной ползучести и длительной прочности балок при чистом изгибе. Моделирование ползучести основывается на кинетической теории Ю.Н. Работнова с двумя структурными параметрами — поврежденностью и концентрацией химических элементов окружающей среды в балке. В задаче об изгибе балки учитывается различие процессов ползучести материала при растяжении и сжатии. Новизной рассматриваемой задачи является использование определяющих и кинетических уравнений в виде сингулярных дробно-степенных зависимостей скорости ползучести и скорости накопления поврежденности от напряжения, при этом мгновенными упруго-пластическими деформациями пренебрегается в силу их малости по сравнению с деформациями ползучести. Сингулярность позволяет наряду с нелинейной вязкостью учитывать характеристики мгновенного разрушения.
Оценка качества и надежности конструкций, находящихся в условиях длительного высокотемпературного нагружения, являясь актуальной задачей, приводит к необходимости проводить прогнозирование долговечности их работы с учетом специфических факторов, одним из которых может быть агрессивная рабочая среда. Агрессивная окружающая среда оказывает существенное влияние на характеристики высокотемпературной ползучести и длительной прочности конструкционных материалов. При этом учет влияния агрессивной среды может приводить к изменению времени до разрушения материалов и конструкций в несколько раз.
В настоящей статье процесс ползучести материала в агрессивной среде моделируется на основе кинетической теории Ю.Н. Работнова [1] с двумя структурными параметрами — поврежденностью ю и концентрацией c элементов окружающей среды.
Полученные уравнения используются при исследовании чистого изгиба балки при ползучести с учетом влияния агрессивной среды. Материал балки обладает различными характеристиками ползучести при растяжении и сжатии, при этом ползучесть балки при растяжении сопровождается постепенным накоплением поврежденности.
Задача об изгибе балки при ползучести с учетом диффузии среды и разносопротивляе-мости материала. Рассматривается чистый изгиб при ползучести балки, имеющей форму поперечного сечения в виде тонкой полосы шириной b, высотой H (H < b) с учетом влияния диффузии окружающей среды. Длина балки l значительно превосходит поперечные размеры балки (H < b < l), поэтому влияние длины на особенности решения не рассматриваются. Изгибающий момент, действующий на балку в плоскости, перпендикулярной ее ширине, равен M. В качестве начального условия примем равенство нулю концентрации c агрессивной среды в материале балки, а в качестве граничного условия на поверхности балки примем c(t) = c0 = const. Балка изготовлена из материала с разными значениями пределов прочности при растяжении и сжатии (ab1 > 0 и ab2 < 0 соответственно).
Систему определяющих и кинетических соотношений ползучести с учетом дробно-степенной функции [2, 3] примем в виде
d-P = A
dt
л/(аЬ1 - а)(а - аЬ2)( 1 - ю>
1 + -cm(t)l, где ю = 0 при а< 0;
(1)
d ю dt
B
^J(ab 1 - а)(а - аЬ2)(1 - ю>
0 при а < 0.
1 + -cm(t)l при а > 0,
(2)
Здесь р — деформация ползучести; а — напряжение; ст(?) — интегрально средний уровень концентрации по поперечному сечению балки [4, 5]; коэффициенты у1 и у2 характеризуют степень влияния агрессивной среды на скорость деформации ползучести и скорость накопления поврежденности соответственно; п, т, А, В — материальные константы; ( — время.
Для решения уравнения диффузии используем приближенный метод решения, предложенный в работах [4, 5]. В этом методе начальное и граничные условия для уравнения диффузии удовлетворяются точно, а само уравнение — интегрально в объеме балки. В этом случае выражение для интегрально среднего уровня концентрации по поперечному сечению балки ст(?) имеет вид
Cm(t)
1 48D
H
t при 0 < t <
1 - н (4 (1 -не
H
48D,
t при t >
(3)
H_
48 D,
где D = const — коэффициент диффузии.
Рассмотрим процесс чистого изгиба тонкой полосы в случае воздействия на нее агрессивной среды. Гипотеза плоских сечений примет вид
Р = X (У - У 0),
(4)
где р — скорость деформации ползучести; % — скорость изменения кривизны балки; у — координата, отсчитываемая от срединной линии балки (—0,5Н< у < 0,5Н) в направлении растягиваемой области балки; у0(?) — координата нейтральной поверхности, на которой отсутствуют напряжения (а(у0) = 0).
Смещение нейтральной поверхности изгибаемой балки при ползучести происходит вследствие разносопротивляемости материала растяжению и сжатию, а также за счет ослабления материала вследствие накопления поврежденности в процессе ползучести. В кинетическом уравнении используется параметр сплошности у = 1 — ю, где ю — поврежденность.
Введем безразмерные переменные
а = - -
Ь2
41
а - 2y
-, У = тт,
>Ь1
H
t = tA, M
ЬН2аЪ1
M, N
ЬНа
- N,
Ь1
(5)
- H ъ B
Х = HХ, = B,
c„ = —,
где N — осевая сила.
n
m
0
Уравнения (1) и (2) при использовании безразмерных переменных (5) принимают следующий вид:
с1р
йг
йу йг
-л/( 1 - а)(а + а) у-
В
(1 + у1ст(г)) при а> 0, где у =1 при а< 0; (6) (1 + У2~ст(г)) при а> 0,
-л/( 1 - а)(а + а) у-0 при а < 0.
Концентрация ет(1), выражаемая формулой (3), с учетом (5) принимает следующий вид:
(7)
Ст(г)
1 г - АН
- — при г < г 0, г 0 = —, Зл ^ 48Б
1 - 2ехр( 1 -1-]] при г > г0.
Напряженно-деформированное состояние изогнутой балки в любой момент времени определяется осевыми напряжениями а = а(у) и осевыми деформациями ползучести р = р(у, г). Мгновенными упругопластическими деформациями пренебрегаем. Уравнения равновесия тонкой полосы в безразмерном виде имеют вид у0 1 у0 1 N = | (а_) йу + |(а+) йу = 0, М = | (а_ )уйу + |(а+ )уйу,
-1 у0 -1 у0 где а_, а+ — безразмерные напряжения в сжатой и растянутой зонах балки соответственно, эти напряжения зависят от Ст( г).
Используя уравнения (4) и (6), получим выражения для а_ и а+
2 I 2 4 2 2 2
_ _ - Су2(а - 1) ± д/С у4(а - 1)2 + 4(1 + Су2)аСу2
2 (1 + Су2)
-, у =1 для а_ < 0;
С (у, г)
йх . (у - У 0) I й 'г ( 1 + У 1 С т ( - ))]
2/п
Преобразуем формулу (7) к следующему виду:
л т + 1,
й( у ) йг
йу = 0
йг
-В (т + 1)
_2
_
_(1 - _)(_ + а)_
т/2 _
( 1 + У2Ст(г)) при а > 0, при а < 0.
Выпишем полную систему уравнений в безразмерных переменных
(С + С (а - 1)) _ К С2 - Су2 (а - 1))
N =- Г( С1 + С(а - 1 ) )йу + Г J 2 (1 + С) 1 }
2 (1 + С)
2 (1 + С у2)
йу = 0,
П
Таблица 1
Значения функций Уо(г), х(*), У = 1, Г)при нарастании поврежденности
г у0 (0 Х(П Ш( у = 1, г)
Ч = 0 -0,061 0 0
г" = 0,1 -0,144 0,023 0,312
г" = 0,15 -0,215 0,044 0,564
г" = 0,17 -0,290 0,060 0,744
г"4 = 0,18 -0,378 0,084 0,889
Г5 = 0,182 -0,425 0,099 0,958
Т6 = г~* = 0,1825 -0,486 0,121 1
Таблица 2
Значения функций Уо(Г), Х(Г), ш(У = Г) при движении фронта разрушения
£ г у0 (г_) Х(Г) Ю( у = Т)
1 Т6 = г~* = 0,1825 -0,486 0,121 1
0,95 г" = 0,182547 -0,486507 0,152 1
0,93 г"8 = г"** = 0,182548 -0,486508 0,159 1
Уо
- г
м = -
й у
!+ 1
йг
(С1 + С(а - 1)) 2 (1 + С)
-(да + 1) В
уйу +
_2
( С2 - Су 2 ( а - 1)) 2 (1 + С у2)
-.т/2
уйу,
.(1 - ст)(ст + а).
(1 + У2'ст(г)) при ст> 0,
(8)
йу = 0 при СТ< 0, С (у, 1) = йг
йх (у - У о)
,йг (1 + У 1 Ст(1))
2/п
С1 = л/С2(а - 1)2 + 4(1 + С)аС, С2 = ^С2у4(а - 1 )2 + 4(1 + Су2)аСу2.
Таким образом, решение задачи об изгибе балки сводится к решению системы ин-тегродифференциальных уравнений (8) относительно неизвестных функций у0(г),
Х(г), у(у , г) с начальными условиями х (0) = 0 и у(у , 0) = 1. Начальное значение у0 (0) совпадает со значением, полученным в аналогичной задаче при установившейся ползучести без учета поврежденности (например, [6]).
Система уравнений (8) решается до тех пор, пока на растянутом поверхностном слое сплошность достигнет нулевого значения у(у = 1, г * ) = 0 (т.е. поврежденность ю(у = 1, г * ) = 1). В этот момент времени г = г * появляется фронт разрушения, кото-
1 0,5 ] /1
1 ^--------
-0,8 -0,4 -0,5 -1,0 -1,5 0,4 0,8 --
0,02 0
0,05
0,15
0,25
Рис. 1
Рис. 2
-0,3
-0,5
0,05
0,15
0,25 -
Рис. 3
Рис. 4
рый с течением времени продвигается в глубь балки. Движение фронта разрушения характеризуется координатой t). Интегрирование уравнений равновесия в растянутой зоне балки проводится до этой координаты (у < t)). Расчеты проводятся до тех пор, пока напряжения на внешних сторонах растянутой и сжатой зон достигнут соответствующих значений пределов прочности. Это значение времени t = t ** определяет время разделения балки на две части, т.е. разрушение балки.
В качестве примера был проведен расчет балки с учетом следующих значений параметров: М = 0,5, В = 20, п = т = 3, а = 1,5, ^ = 0,2, у2 = 0,8, А = 0,00144 час-1. Результаты расчетов приведены в табл. 1 и 2.
На рис. 1 показаны эпюры распределения напряжений а по сечению балки при
различных значениях t (t16). На рис. 2 и 3 приведены зависимости от времени
кривизны балки х( t) и координаты нейтральной оси у 0 (t) соответственно (1 — с учетом диффузии, 2 — без учета диффузии). На рис. 4 показана зависимость поврежден-
0
ности на поверхностном растянутом слое ю(у = 1, г) от времени (0 < t < 1 - с учетом диффузии, 2 - без учета).
Сравнивая полученное безразмерное значение времени г ** с безразмерным значением соответствующего времени без учета действия агрессивной среды [7], можно наблюдать его снижение на 18%.
Выводы. Определение характеристик ползучести вплоть до разрушения балки в условиях чистого изгиба, находящейся в агрессивной окружающей среде проведено на основе кинетической теории Ю.Н. Работнова с двумя структурными параметрами: поврежденностью и концентрацией диффундирующих элементов окружающей среды в материале балки.
Решение задачи получено при использовании определяющего и кинетического уравнений в виде сингулярных дробно-степенных зависимостей. Сингулярность позволяет наряду с нелинейной вязкостью учитывать характеристики мгновенного
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.