МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.376
© 2014 г. А. М. ЛОКОЩЕНКО, А. В. СОКОЛОВ
ПОЛЗУЧЕСТЬ И ДЛИТЕЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ В ПРИСУТСТВИИ АГРЕССИВНОЙ
СРЕДЫ
Рассматривается процесс деформирования и разрушения овального кольца, моделирующего поведение длинной цилиндрической оболочки под воздействием внешнего распределенного давления. Исследуется деформирование оболочки как в отсутствии, так и в присутствии агрессивной окружающей среды. В качестве определяющего соотношения для оценки характеристик материала принимается гипотеза о нелинейной вязкости с сингулярной составляющей. В этом соотношении учитывается разносо-противляемость материала при растяжении и сжатии. Сингулярность позволяет наряду с нелинейной вязкостью учитывать характеристики мгновенного разрушения. Показано, что агрессивная среда приводит к существенному уменьшению времени работоспособности оболочки.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, кольцо, внешнее распределенное давление, агрессивная среда, ползучесть, разрушение, овальность, двухслойная модель.
1. Введение. Цилиндрическая оболочка является конструктивным элементом, широко применяемым в машиностроении. В монографии Ю.Н. Работнова [1] приведены различные методы исследования поведения оболочек в условиях ползучести. В ряде отраслей промышленности большое применение находят цилиндрические оболочки, нагруженные внешним равномерно распределенным давлением при высоких температурах. Если такая оболочка находится под нагрузкой длительное время с интенсивным развитием деформаций ползучести, то основная задача заключается в определении изменения напряжений и деформаций во времени, а также в вычислении времени работоспособности оболочки. Эта задача осложняется, если нагруженная внешним давлением оболочка дополнительно находится в агрессивной окружающей среде. Отношение длины цилиндрических оболочек к размерам поперечного сечения обычно достаточно велико, поэтому влиянием краевых закреплений при исследовании сплющивания оболочек можно пренебречь. В этих условиях рассматривается деформирование колец единичной ширины, толщины Н и среднего радиуса Я0 при действии внешнего гидростатического давления q, при этом обычно мгновенными деформациями пренебрегают вследствие их малости по сравнению с деформациями ползучести.
Во всякой реальной оболочке срединная линия поперечного сечения в исходном состоянии в той или иной мере отличается от идеальной окружности. В большинстве работ при учете влияния начального несовершенства поперечного сечения на деформирование оболочки обычно предполагается, что исходное поперечное сечение имеет слегка овальную форму, характеризуемую двумя осями симметрии. В качестве количественной характеристики исходной овальности А0 принимается отношение разности максимального и минимального диаметров поперечного сечения кольца к их сумме. В данной работе рас-
3 Механика твердого тела, № 1
65
Фиг. 1
сматривается процесс деформирования при ползучести и разрушения овального кольца, основное внимание уделяется исследованию зависимости времени работоспособности кольца t* от его геометрических параметров, величины давления q и механических характеристик материала. Дополнительно учитывается влияние агрессивной окружающей среды на время t*.
При аналитическом описании деформирования кольца под действием внешнего давления можно использовать различные гипотезы. Во многих работах ([2, 3]) форма кольца в полярных координатах аппроксимируется уравнением, в котором радиальное отклонение срединной линии кольца от идеальной окружности при произвольном времени t пропорционально косинусу двойного полярного угла. Такой подход позволяет рассматривать только малые перемещения кольца. Для обеспечения возможности учета больших перемещений кольца в данной статье форма его срединной линии аппроксимируется сопряженными дугами двух окружностей (этот подход С.А. Шестерикова ранее использовался в цикле работ ([4—7]).
2. Постановка задачи. Геометрия срединной линии четверти кольца A1A3A2 (фиг. 1) определяется с помощью трех параметров: радиусов R и R2 и угла ф, который соответствует точке сопряжения дуг A1A3 и A2A3. Для простоты принимается, что длины дуг A1A3 и A2A3 в процессе деформирования кольца остаются неизменными. Назовем c отношение длины дуги AA3 к A1A3A2. В этом случае из условия неизменности длины дуги A1A3A2 Ri (я/2 - ф) + R2^ = nR /2
легко определяются радиусы R1 и R2:
Ri = Roc / (1 - 2ф / я), R2 =nRo(1 - c) / 2ф (2.1)
В каждом сечении принимается выполнение гипотезы плоских сечений:
dpi/dt = dpi0 /dt + zd%j /dt (2.2)
Здесь г — координата по нормали к срединной линии, направленная от центра кольца, р1 — деформация ползучести кольца в произвольной точке, ро0 — деформация ползучести срединной линии, йх/йг — скорость изменения кривизны, индекс I здесь и всюду ниже принимает значения 1 или 2 (в зависимости от того, к дуге какого радиуса — К или ^ — относится соответствующая величина). Кривизна х дуги А1А3 при увеличении времени возрастает, кривизна дуги А2А3 убывает, поэтому изгибающие моменты Ыу и имеют противоположные знаки. Изгибающий момент в точке сопряжения дуг окружностей А3 принимается равным нулю. В качестве критического значения ?* выбирается время, при котором либо наступает разрушение, либо радиус Щ стремится к бесконечности.
В подавляющем большинстве известных решений задачи о ползучести кольца под внешним давлением используется зависимость скоростей ползучести от напряжений в степенной форме. В данной статье, в отличие от почти всех известных решений, зависимость скорости деформации ползучести от напряжения принимается в виде дробно-степенной функции [8, 9]:
йр йг
= А
л/(аи Ь2 )
(2.3)
Здесь аЬ1 > 0 и аЬ2 < 0 — пределы кратковременной прочности материала при растяжении и сжатии соответственно, показатель п для простоты представляет собой отношение двух нечетных чисел. Определяющее уравнение (2.3) характеризует нелинейную вязкость материала с сингулярной составляющей. В соотношении (2.3) учитывается разносопротивляемость материала при растяжении и сжатии. Сингулярность позволяет наряду с нелинейной вязкостью учитывать характеристики мгновенного разрушения. При этом растягивающие напряжения рассматриваются как положительные, сжимающие напряжения как отрицательные.
3. Деформирование оболочки сплошного сечения. Введем параметр относительной толщины кольца X = Н/К0 и характеристику разносопротивляемости материала растяжению и сжатию а = -оЬ2/оЬ1. В дальнейшем рассмотрении будут использоваться только безразмерные переменные. В качестве таких переменных q, а,, Ы,, г, К, а, будут приниматься аналогичные реальные величины, отнесенные соответственно к
2 —1
си, 0.5<тиН, 0.25<тиН , А , Я0, Я0 N — продольное усилие в дуге А,А3 (см. фиг. 1), а1 и а2 — максимальный и минимальный полудиаметры). В безразмерных переменных зависимости геометрических параметров принимают следующий вид:
К =
п(1 - с)
К =
сК
2
2ф К - (1 - с)
Х3 = К281П ф, у3 = 008 ф 2
Ф =
П(1 - К)
(К - К)
а -ПС а1 - 2
■ + йзтф
а2 =ПС 2 2
(п - 2ф)
Скорость изменения кривизны X равна:
1—с - йоозф _ Сф
й =
1 —с
Сф
п - 2ф
(3.1)
(3.2)
(3.3)
X = К/К
Гипотеза плоских сечений (2.2) в безразмерных переменных принимает вид
(3.4)
. Д.
Р01+- и- =
.4 (1 -Ъ Ж-+ а)_
(3.5)
3*
67
Уравнения равновесия дуги А1А3А2 имеют следующий вид: 1 1
N = [ = - 2qai, М ( = [ с^Лг = — (а2 - х32 - у32) (3.6)
J J X
-1 -1
Четыре используемые в (3.6) величины N2, M1, M2 связаны соотношением
М1 - М2 = (#12 - Н22)1^Х) (3.7)
С помощью (3.3) при c = 0.5 определим связь заранее известной величины Д0 и начального значения угла ф0:
д = а1 - а2 = (п - 4фо)(8тфр + ео8фо - 1) а1 + а2 п- (п- 4ф0)(ео8ф0 - sinф0)
Во всех вычислениях в данной статье используются значения п = 3, а = 1.5 и c = 0.5. Рассмотрим итерационную схему решения системы уравнений (3.1)—(3.6). Для этого с по/ч оч /1 1\ /ч чч п(0) п(0) (0) (0) (0) (0)
мощью (3.8) вычисляем ф0, а затем с помощью (3.1)—(3.3) — А , А2 , а[ , а2 , х3 , у3 .
Задаем начальные значения скоростей деформации ползучести срединной линии Р01 и р02 и скорости изменения кривизны %20, затем с помощью (3.1) и (3.4) вычисляем X10. Рассмотрим 4 величины N и Mi (3.6). Из (3.7) следует, что из них только три независимы. Используя зависимость скоростей деформации ползучести от напряжений (3.5), находим распределение напряжений (г) как функций от z, р0,-, X {, задаем конкретные значения безразмерного давления q, для каждого из которых и находится решение системы уравнений (3.1)—(3.6).
Введем величины рассогласования правых и левых частей уравнений (3.6):
1 1
Б1 = [ Мг + е2 = [ ъ^Лг. - 2Т (а2 - х2 - у2) (3.9)
-1 -1
Подбираем значения р01, р02, % 2 таким образом, чтобы величины е1(- и е2(- стали меньше
заданной величины. Найденные таким образом величины р0ь р02,Х?"1, X 2^ считаются решением системы уравнений (3.1)—(3.6) на первом шаге по времени. Эти же значения принимаются в качестве начальных значений на следующем, втором шаге. Значение радиуса R2 вычисляется согласно следующему уравнению:
*2а) = а20) -X 21)(А20))2 а*
На втором шаге время t равно 2Дt. Для найденного значения радиуса на первом ша-
п(1) (1) (1) (1) (1)
ге находим соответствующие значения А , ф , а} , х3 , у3 , для которых вычисляем значения сил и моментов по формулам (3.6). Заново решаем систему уравнений (3.1)—(3.6)
(1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) уже с начальными значениями А2 , А , ф , а} , х3 , у3 , находим значения р0{,р02,х 1 ,х2
уже на втором шаге для времени 2Д^ Решаем систему уравнений (3.1)—(3.6), увеличивая время каждый раз на шаг Дt до тех пор, пока не будет исчерпана несущая способность кольца.
Анализ показывает, что при достаточно большом значении R2 напряжения (в момент времени * в крайних точках дуг приближаются к предельным величинам (в данном случае 1 и —1.5 соответственно), в результате этого следующая итерация уже невозможна из-за наличия сингулярности, что и означает исчерпание несущей способности. Типичное
1.0 а
0
-1.0
-1.5
-1.0 -0.5 0 0.5 г 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.