МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.376
© 2008 г. К.И. РОМАНОВ ПОЛЗУЧЕСТЬ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ БАЛКИ
Определено критическое время в задаче выпучивания вращающейся вокруг оси, соответствующей недеформированному состоянию, балки. Установлена аналогия поперечного изгиба вращающейся балки с задачей продольного изгиба [1], актуальной в прикладной геомеханике.
Рассмотрим шарнирно закрепленную балку, вращающуюся с угловой скоростью ю. Расчетная схема продольного изгиба в начальный момент времени t = 0 изображена на фиг. 1, где z - ось, совпадающая по направлению с осью недеформированной балки; y -ось прогибов; A0 - малое начальное несовершенство оси, обусловленное, в частности, технологическими причинами; l - длина балки. Уравнение состояния материала примем в виде
\ = кс" (1)
где £ - скорость деформации; с - напряжение, к и n - постоянные материалы при определенной температуре.
Уравнение равновесия балки, находящейся в условиях поперечного изгиба, имеет вид (фиг. 2):
i i M = - Jq(Z)(Z- z)dz' + R(l - z), R = 2-¡q(z)dz, q(z) = pFa y(z) (2)
z 0
где M - изгибающий момент; R - вертикальные реакции в опорах; q - распределительная сила инерции; р - плотность материала; F - площадь поперечного сечения.
Предполагается, что балка имеет постоянное поперечное сечение. Зададимся функцией прогибов с учетом кинематических и силовых граничных условий в виде
y = A (t) sin (П z /1) (3)
где A - амплитуда прогибов в деформированном состоянии.
Подставляя эту функцию и распределенную силу в выражение (2), после интегрирования получим
M = р Fю2 l2/n2A sin (пz/l) (4)
На фиг. 3 показана эпюра изгибающего момента по длине балки, с точностью до масштаба повторяющая функцию прогибов.
Основное энергетическое уравнение [1] совместно с функциями (3) и (4) для материала, подчиняющегося уравнению состояния (1), приводит к дифференциальному уравнению для определения зависимости Л^):
Механика твердого тела, < 6, 2008
Фиг. 1
Фиг. 2
Фиг. 3
J q (г) Я г) dz = kn J Mn + 1 dz
n 0
где ]п - обобщенный момент инерции поперечного сечения, точка означает производную по времени. Следовательно
7 4 /4 7 l2n +1 n T-n 2n Лп T. ч 1 / х n +1
d - 2 " jJ^ ). I (n) = J( dz
Аналогичное по структуре уравнение получается в задачах продольного изгиба [1]. Решение этого уравнения хорошо изучено. В частности, можно сделать вывод о том, что при ползучести вращающейся балки в случае п = 1 критического времени не существует, а критическое время при п > 1 соответствует катастрофическому нарастанию прогибов (А ^ го).
Задачи продольного изгиба реономных стержней актуальны в прикладной геомеханике [2-6], где моделирование процессов выпучивания горных пластов оказывается возможным выполнить по схеме вращающейся балки (фиг. 1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Романов К.И. Энергетический метод в теории выпучивания реономных стержней // Изв. РАН. МТТ. 2004. < 3. С. 125-134.
У
O
0
К.И. Романов
2. CarterN.L. Steady state flow of rocks // Rev. Geophys. and Space Physics. 1976. V. 14. < 3. P. 301-360.
3. Biot M.A. Theory of folding of stratified viscoelastic media and its implications in tectonics and orogenesis // Geol. Soc. Amer. Bull. 1961. V. 72. < 11. P. 1595-1620.
4. Biot M.A. Further development of the theory of internal buckling of multilayers // Geol. Soc. Amer. Bull. 1965. V. 76. < 7. P. 833-840.
5. Рамберг X. Сила тяжести и деформации в земной коре. М.: Недра, 1985. 399 с.
6. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 869 с.
Москва Поступила в редакцию
7.12.2005
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.