ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 7, с. 656-663
^ ДИНАМИКА
ПЛАЗМЫ
УДК 519.6.533.9
ПОПЕРЕЧНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КВАНТОВОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ СТОЛКНОВЕНИЙ © 2014 г. А. В. Латышев, А. А. Юшканов
Московский государственный областной университет, Москва, Россия e-mail:avlatyshev@mail.ru,yushkanov@inbox.ru Поступила в редакцию 06.03.2013 г. Окончательный вариант получен 19.01.2014 г.
Получены формулы для поперечной диэлектрической проницаемости в квантовой столкновитель-ной плазме с произвольной частотой столкновений, зависящей от импульса (волнового вектора) частиц плазмы, в подходе Мермина. Используется кинетическое уравнение Шредингера—Больцмана с интегралом столкновений в релаксационном приближении в пространстве импульсов. Показано, что когда частота столкновений — постоянная величина выведенные формулы переходят в известные. Рассматривается случай вырожденной плазмы, когда частота столкновений пропорциональна модулю волнового вектора. Этот случай отвечает гипотезе о постоянной длине свободного пробега частиц плазмы. Проводится графическое исследование действительной и мнимой частей диэлектрической функции.
БО1: 10.7868/80367292114070063
ВВЕДЕНИЕ
Впервые выражение для поперечной и продольной диэлектрической проводимости в квантовой бесстолкновительной плазме получили Климонтович и Силин [1]. Они использовали кинетическое уравнение относительно функции Вигнера. Затем этот результат был получен и в работе Линдхарда [2] с использованием уравнения Шредингера.
Затем Кливер и Фукс показали [3], что прямое обобщение формул Линдхарда на случай столк-новительной плазмы (путем замены ю ^ ю + I/т) некорректно. Этот недостаток для продольной диэлектрической проницаемости был преодолен в работе Мермина [4]. Мермин на основе анализа неравновесной матрицы плотности в т -приближении получил выражение для продольной диэлектрической проницаемости квантовой столк-новительной плазмы.
Корректное выражение для поперечной диэлектрической проницаемости для случая вырожденной квантовой столкновительной плазмы с постоянной частотой столкновений было представлено в нашей работе [5].
Цель настоящей работы состоит в обобщении результатов работы [5] на случай когда частота столкновений частиц плазмы является произвольной функцией импульса (волнового вектора).
Свойства электрической проводимости и диэлектрической проницаемости по формулам, вы-
веденным Линдхардом [2], подробно изучались в монографии [6]. В работе [7] поперечная диэлектрическая проницаемость квантовой плазмы применялась в вопросах теории скин-эффекта.
В настоящее время растет интерес к изучению различных свойств квантовой плазмы (см, например, [8-14]).
В настоящей работе впервые выводятся формулы для вычисления электрической проводимости и диэлектрической проницаемости квантовой невырожденной столкновительной плазмы при произвольной температуре, т.е. при произвольной степени вырождения электронного газа.
При выводе обобщается идея Мермина [4], состоящая в рассмотрении кинетического уравнения Шредингера—Больцмана для матрицы плотности в пространстве импульсов. Отдельно выделяется и рассматривается случай вырожденной плазмы с частотой столкновений, пропорциональной модулю волнового вектора. Именно эта частота соответствует постоянной длине свободного пробега частиц плазмы [15].
В столкновительной плазме с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости электронов, скин-эффект изучался в работе [16], а продольная и поперечные диэлектрические проводимости в такой плазме были выведены и исследованы в работе [17].
Проведено графическое исследование поведения действительной и мнимой частей диэлектрической функции в зависимости от частоты коле-
баний электромагнитного поля и величины модуля волнового вектора.
1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
Пусть векторный потенциал электромагнитного поля является гармоническим, т.е. изменяется как А = А (г) ехр(-/юО- Мы рассматриваем поперечную проводимость, поэтому V • А(г, г) = 0. Связь между векторным потенциалом и напряженностью электрического поля дается следующим выражением:
А(ф = - ^ Е(ф.
ю
Равновесная матрица плотности имеет следующий вид (см., например, [4]):
р = I 1 + exp
Н-ц квТ
Здесь Т — температура плазмы, кв — постоянная Больцмана, ц — химический потенциал плазмы, Н — гамильтониан.
В линейном приближении гамильтониан имеет вид
Н = (Р - (г / С)А)2 = Р1 (рА + Ар). 2т 2т 2тс
Здесь р — оператор импульса, р = -Ш V, г, т — заряд и масса электрона, с — скорость света.
Следовательно, мы можем представить этот гамильтониан в виде суммы двух операторов Н = Н0 + Н1, где 2
Но = Р-, Н = (рА + Ар).
2т 2тс
Возьмем кинетическое уравнение для матрицы плотности в т -приближении [4]
iЙ = [H,р] + ^ (р -р). dt т
(1.1)
Здесь р1 — поправка (возмущение) к равновесной матрице плотности, обусловленная наличием электромагнитного поля, р 0 — равновесная матрица плотности, отвечающая оператору H0.
Представим равновесную матрицу плотности р в следующем виде:
Р = Р о + Р1. (1.4)
Рассмотрим коммутатор [Н,р]. В линейном приближении этот коммутатор равен
[Н, р] = [Но,р i] + [Н i,p о] (1.5)
и
[Н,р ] = 0. (1.6)
Для коммутаторов из правой части равенства (1.5) находим
(ki|[Hо,рi]| k2) = (% ki - % k2)<ki| рi| k2> =
= (% ki - % k2)Pi(ki - k2), и
(k11 [Hi, p0] | k2)(k11 Hip01 k2) - (k11 p0Hi | k2) =
= (fki -fk2)(k 1 + k2)<ki|A|k2 = (1.8)
2mc
(1.7)
2mc
f - fk2)(ki + k2)A(ki - k2),
где
fk = I 1 + exp
% k-Ц
-1
% k =
+ 2, 2 h k
p = hk.
квТ ) 2т
Из соотношений (1.4)—(1.8) вытекает, что
Р!(к! - к2) = /к' - ^2 (к! + к2)А(к! - к2). (Щ
2тс % к! - % к2 С помощью соотношений (1.3)—(1.5) линеаризуем кинетическое уравнение (1.2). Получаем следующее уравнение:
Здесь V = 1/т — эффективная частота столкновений частиц плазмы, т — характерное время между двумя последовательными столкновениями, Н — постоянная Планка, [Н, р] = Нр - рН — коммутатор.
В общем случае частота столкновений V должна зависеть от импульса электронов р (или волнового вектора к): V = v(k). Учитывая требование эр-митовости, перепишем уравнение (1.1) относительно матрицы плотности
т& = [Н,р] + т^ф - р) + (р - р)/й^р. (1.2)
В линейном приближении по самосогласованному полю мы ищем матрицу плотности в виде
Р = Р 0 +Р1- (1.3)
ih ^pl = [H0,pi] + [Hi,p 0] +
dt
+т ^ (p 1 -pi)+(p 1 -p 1>й ^.
(1.10)
Заметим, что возмущение p1 ~ exp(-irot), тогда из уравнения (1.10) получаем:
йю( ki | pi | k 2) = (ki | [H0, pi] k 2) + (ki | [Hi, P0] k 2) + + ih ki| pi - pi | k 2) + (ki | pi - pi | k 2) ihh.
Введем обозначение v(ki, k 2)
v(k 1) + v(k 2) 2
и перепишем предыдущее уравнение в виде й[ю + ih v(ki, k 2Ж ki I Pi I k 2) = (ki I [H0, Pi] k 2) + + (k i|[Hi,p 0^ k 2) + ih v(k 1, k 2)( k i| pj k 2).
e
Пользуясь равенствами (1.7)—(1.9), преобразуем это уравнение к следующему виду:
{%k! - %k2 - й[ю + /Йу(кьk2)lKkl IPi Ik2 =
-_ eh tf - f \% kl - % k2 - iftv(k 1, k2) " 2mc ^ fk2) % k1 - % k2 X
X (k 1 + k2)(ki|A|k2).
Теперь из предыдущего уравнения находим (ki |pi| k 2) =
eh (1.11) = -ms(kbk2)(fki -fk2)(k 1 + k2)(ki|A|k2). v '
Здесь H(k i, k 2) =■
% ki - % k2 - ih v(ki, k2)
^ki - %k2){%ki - %k2 - h[® + iv(ki,k2)]}
В уравнении (1.11) положим ki = k, k2 = k - q. Тогда
(ki |pi| k 2) (k| pi | k - q) = Pi(q) =
= - ^ S(k, k - q)(fk - Л-q)kA(q).
mc
(1.12)
2. ПЛОТНОСТЬ ТОКА
Плотность тока j(q, ®,v) определяется (см. [4])
как
j = e jdk8n3m / k + q
p - С А | p +
+ p (p - С А
k - а
(2.1)
После подстановки (1.3) в интеграл из (2.1), имеем
k+q
p - e a ) p+p (p - e a
k - q=
-k+2
ppi + pip — (Ap 0 +p 0 A) c
k - q.
Нетрудно показать, что ppi + pip
k+q
k - ^ = 2Äkpo(q),
k+q
Ap 0 + P 0 A
k - q =
= A(q)
p 0 (k+q)+p 0 (k - 2
j = - ^ A(q)j-d^ p 0 (k + q) - ^ A(q) j-
mc ' 2' mc J!
'8n
+ eh
• dk
4n3m
k+q
2
mc pi
0 (k - 2)+
k - q
где N — числовая плотность (концентрация) плазмы.
Следовательно, плотность тока равна
j =
e N
A(q) + eh klk + q
Pi
k - q
(2.2)
тс ■>4п т \ 2
Первое слагаемое в (2.2) есть не что иное, как калибровочная плотность тока [6].
С помощью очевидной замены переменных в интеграле из (2.2) выражение (2.2) можно преобразовать к виду
2
_) = -А(ф + ейМ^к^к - q}. (2.3)
тс т
В соотношении (2.3) подынтегральное выражение дается равенством (1.12). Подставляя (1.12) в (2.3), получаем следующее выражение для плотности тока:
j =
e 2N mc
A(q) - jk [kA(q)] H(k, k - q) (fk - fk -q)dk.
(2.4)
Направим ось х вдоль вектора q, а ось у вдоль вектора А. Тогда предыдущее векторное выражение (2.4) может быть переписано в виде трех скалярных
Jy = и
e 2N
mc
A(q) - ^^^T k H(k, k - q)(/k - fk -q)dk
Air m r J
e h A(q)
л 3 2
4п m c
Jx = Jz = 0
Очевидно, что
jk2y S(k, k - q)(/k - fk - ч)dk = = jkl E(k, k - q)(/k - fk - ч)dk.
Следовательно
jky2 S(k, k - q)(/k - fk - q )dk = = 2 jk + k2) S(k, k - q)(fk - fk -ч)dk
2 ^
2 - k2) S(k, k - q)(fk - fk - q)dk.
Следовательно, выражение для плотности тока имеет следующий вид:
Отсюда мы заключаем, что выражение для плотности тока можно представить в следующей инвариантной форме:
Первые два члена в этом выражении равны друг другу
•¿ы,, ^ N
j = - NeL A(q) ---^ A(q) x mc 8n m c
x jS(k k - q)(/k - fk - q )k 2Ldk,
(2.5)
где
^ 0 (k+v=
q)=j^ 0 (k -q)=n ■
k i=k2-ikq
Учитывая разложение ядра Н(к, к - о) на дроби
1
Н(к, к - о) =
% к - % к -ЙЮ
■ +
(% к - % к - о)[% к - % к - о - Й(Ю + /у(к 1, к 2))] представим равенство (2.5) в следующем виде:
_) = - ^ А(о) —грй2г А(о) тс 8п т с
ffk /к -
% к - %
- к, ¿к -
к - о
(2.6)
(/к - /к - о )к
та
1 + ■
Й2
8п 3тИ
|Н(к, к - о)(/к - /к - о )к
(3.1)
На основании (3.1) напишем выражение для поперечной диэлектрической функции
2
= 1
2
Ю
1 +-
й2
8п3тИ
|н(к, о) (/к - /к - о)к{¿к
. (3.2)
Здесь ю р — плазменная (ленгмюровская) частота,
&2р = 4пг N /т.
Из соотношения (3.2) видно, что для поперечной диэлектрической проницаемости выполняется так называемое правило /-суммы (см., на-
пример, [6], [18] и [19]). Это правило выражается формулой (4.200) из монографии [18]
|
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.