ПОПЕРЕЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО ФРОНТА БЫСТРЫХ ВОЛН УДАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
А. С. Кюрегян*
Всероссийский электротехнический институт им. В. И. Ленина 111250, Москва, Россия
Поступила в редакцию 25 июля 2011 г.
Проведен теоретический анализ поперечной неустойчивости плоского фронта быстрых волн ударной ионизации (ВУИ) в полупроводниковых структурах р+—п—п+ с конечной концентрацией N доноров в п-слое. Предполагалось, что высокая скорость и ВУИ обеспечивается за счет лавинного размножения однородного фона электронов и дырок, концентрация иъ которых перед фронтом достаточно велика для применимости континуального приближения. Проблема вычисления инкремента s нарастания малого гармонического возмущения с волновым числом к сведена к задаче на собственные значения своеобразного однородного уравнения типа Вольтерра второго рода, содержащего сумму двукратных и трехкратного интегралов от неизвестной собственной функции. Эта задача решалась методом последовательных приближений. Показано, что при малых к функция s(k) монотонно возрастает в соответствии с аналитической теорией [12], достигает максимума «и при к = км. после чего уменьшается и становится отрицательной при к > fcoi- Такой характер зависимости .s(fc) коротковолновых возмущений обусловлен ослаблением искажения поля из-за конечной толщины области пространственного заряда фронта и «размазыванием» возмущения концентраций за счет поперечного переноса носителей заряда. Установлены законы подобия для возмущений с к > км- при фиксированных значениях аь и максимальной напряженности поля на фронте Еам инкремент .s зависит только от отношения k/N, а граничное волновое число fcoi ос N. Приведены зависимости от Еим параметров .sм. км и fcoi, определяющих динамику нарастания возмущений и верхнюю границу области неустойчивости ВУИ. Эти зависимости указывают на то, что модель плоской ВУИ оказывается недостаточной для описания работы лавинных обостри-телей напряжения и что в рамках континуального приближения фронты быстрых стримеров должны быть устойчивыми по отношению к поперечным возмущениям в соответствии с опубликованными ранее результатами численного моделирования. Полученные результаты подтверждены путем численного моделирования эволюции малых гармонических возмущений плоской стационарной ВУИ.
1. ВВЕДЕНИЕ
Импульсный электрический пробой различных сред обычно обусловлен возникновением и распространением волн ударной ионизации (ВУИ) [1 3]. Среди них простейшими являются стационарные плоские ВУИ, которые, однако, на практике почти никогда не наблюдаются. Одна из причин этого состоит в том, что фронты плоских ВУИ оказываются неустойчивыми относительно поперечных возмущений даже в рамках полностью детерминированного континуального приближения. Именно эволюция возмущений приводит в конце концов к разнообразным картинам импульсного пробоя, иаблюдае-
E-mail: askö'vri.ru, askiirpg'&rambler.ru
мым экспериментально. Поэтому теоретический анализ условий устойчивости ВУИ и динамики развития возмущений весьма актуален.
Решению этой проблемы посвящено значительное число работ [4 12]. Наиболее общие аналитические результаты были недавно получены автором [12] при изучении устойчивости стационарных плоских ВУИ в обратио-смещеииых полупроводниковых структурах р+ п »+. Было показано, что в длинноволновом пределе инкремент я нарастания гармонического поперечного возмущения увеличивается с ростом волнового числа к по закону
и (к) = Еоми'ом (кс±ЪкЬ — ш-1) , (1)
где «' = еЕом/цМ* Ч элементарный заряд, е диэлектрическая проницаемость, У концентрация
доноров в п-слос, Еом максимальная напряженность поля на невозмущенном фронте, движущемся с постоянной скоростью1^ ¡-/ом. и ом = диом/дЕом, Ь расстояние от фронта до электрода (сильнолегированного п+-слоя), в направлении которого распространяется ВУИ.
Из выражения (1) следует, что л'(0) <0 при Ь > > и> [5]. В этом случае плоская ВУИ устойчива к поперечным возмущениям, волновое число которых меньше некоторого критического значения коо ~ « Ьу/З(Ь/ги — 1) [12]. В частном случае Дг -¥■ 0, Ь —¥ ос (распространение ВУИ в однородном поле Е0 между бесконечно удаленными друг от друга плоскими электродами) из (1) следует формула
и (к) = кЕ0и'0,
полученная ранее для случая анодно-направленной ВУИ в газах [11] в рамках «минимальной модели» (учитываются дрейф, диффузия и ударная ионизация электронами, фоновые электроны отсутствуют, дополнительные механизмы ионизации среды не учитываются [13]). Если еще пренебречь и диффузией, то и о = (1еЕо и и (к) = к/1сЕ0, где //.с дрейфовая подвижность электронов. Этот результат был впервые получен в [4] (см. также [7, 8]).
Формула (1) была выведена в предположении, что фронт представляет собой эквипотенциальную поверхность, а его скорость является локальной и мгновенной функцией Еом- Очевидно, эти допущения оправданы, если волновое число к возмущения и инкремент я его нарастания достаточно малы:
¿•■С/у1, * «,ш///. (2)
где полная толщина фронта // = /¿+/Яг+/Я равна сумме толщин трех качественно различных областей, 11;, П8; и Пя (рис. 1). В лидирующей области 11; происходит лавинное размножение электронов и дырок (или ионов в газах), концентрация которых увеличивается на много порядков, но остается недостаточной для заметного искажения поля. Именно процессы в области 11; главным образом определяют скорость фронта. В области П8 сосредоточен почти весь заряд фронта, который подавляет поле настолько, что ударная ионизация пренебрежимо мала. Между ними расположена промежуточная область {}я{, в которой поле близко к максимальному и важны оба эти эффекта.
Ее следует вычислять с иомощыо теории стационарных плоских ВУИ в газах [3, 13] (при N = 0) или полупроводниках [14,15].
Рис. 1. Распределения электрического поля Е(у) и концентрации носителей заряда а (у) на оси х = 0 в п-слое структуры р+—п—п+ при распространении невозмущенной (сплошные линии) и возмущенной (штриховая линия) быстрой ВУИ. Вертикальными пунктирными линиями обозначены границы между различными областями
При больших к начинают проявляться механизмы, подавляющие рост возмущения: «короткодей-ствие» искривления фронта, заметно искажающего поле в области 11; лишь на расстоянии менее или порядка 1 /к от П8, ослабление искажения поля за счет конечной толщины /.,; + /., областей пространственного заряда П8;, П8 и, наконец, поперечный перенос носителей заряда, «размазывающий» возмущение концентраций. Вследствие этого линейный рост функции ,ч(к) замедляется, она достигает максимума «м при к = км ~ 1 ///, а далее уменьшается и становится отрицательной при к > . Именно знание величин л'м, км и А'оь определяющих эволюцию возмущения и условия устойчивости плоских фронтов, особенно важно.
Однако, как и в большинстве подобных случаев, получить аналитические формулы для закона дисперсии при к > 1/// не удается, поскольку для этого нужно решать весьма сложные линеаризованные краевые задачи на собственные значения. Авторами работы [11] это было сделано численными методами с использованием функций Эванса для «минимальной модели» ВУИ в однородном поле Ео в газах. Полученные в [11] зависимости ,ч(к) хорошо описы-
ваются эмпирической формулой
Еды
.ч (к) = кЕ0и'0
I к
01
01
ки
(3)
где koi и и подгоночные параметры, зависящие от кинетических коэффициентов электронов в поле Eq. Оказалось [12], что эта формула обеспечивает приемлемую точность и для «минимальной модели» ВУИ в полупроводниках, если надлежащим образом [14] учесть биполярность переноса и ударной ионизации. Таким образом, задачу о неустойчивости медленных ВУИ, описываемых в рамках «минимальной модели» (и поэтому распространяющихся со скоростью, лишь немного превосходящей среднюю скорость v(Eo) носителей заряда, дрейфующих в том же направлении [3, 13, 14]), можно считать решенной. Результаты работ [11, 12], в частности, позволяют объяснить неустойчивость фронта с малой кривизной, обнаруженную при численном моделировании начальной стадии эволюции стримеров в газах [16 18] и полупроводниках [19].
Однако область применимости этих результатов крайне ограничена. Действительно, в наиболее интересных и практически важных случаях [1 3] перед фронтом присутствуют изначально или появляются за счет дополнительных (кроме ударного) механизмов ионизации среды (например, фотоионизации или межзонного туннелирования) затравочные носители заряда. Вследствие этого толщина области П; определяется законом уменьшения напряженности поля перед фронтом и может быть очень большой, скорость фронта «ом ''ом и зависит не только от Еом, 110 и от всего распределения поля Е(у) перед фронтом. Если /, Igi,Ig, то именно это обстоятельство следует учитывать в первую очередь, вычисляя я (к) при к ~ 1///. что и было сделано в работе [12] для случая равных коэффициентов а ударной ионизации и дрейфовых скоростей v электронов и дырок. Оказалось, что если перед фронтом имеется однородный фон электронов и дырок, то при «ом Э- г»ом вместо (1) получается закон дисперсии
и (к) = /."о м »Ö м (kcthkL — w
no\ik'2trf(ktr). (4)
f(I<) =
sh
Г' , L 1 E \
К (--1 + ——
(v Eqm )
x a(E) (IE
_L
Eqm
sli | K-- j I a(E) (IE о
где последнее слагаемое с функцией
учитывает «короткодействие» искривления фронта и приводит к насыщению зависимости в (к) при охр(А-и') 1 (см. ниже рис. 4). Формула (4) существенно уточняет и обобщает ранние работы по неустойчивости быстрых ВУИ [5, 6], авторы которых ограничились анализом возмущений с к —¥ 0, ошибочно считая их самыми быстронарастающими. Однако она неприменима для описания эволюции коротковолновых возмущений с 1 /к < + /я и, следовательно, для определения самых важных параметров л'м, км и ко1 закона дисперсии. Их можно вычислить лишь на основе теории, учитывающей конечность толщин /я,, 1Я, поперечный перенос носителей заряда и инерционность процесса нарастания возмущения. Решению этой задачи для быстрых ВУИ в полупроводниках посвящена настоящая работа. Показано, что характер зависимости и (к) остается таким же, как и в случае медленных ВУИ [11, 12], но есть и существенные отличия. Во-первых, характерные волновые чис
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.