КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.2
ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРСНОМ МЕТАМАТЕРИАЛЕ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
© 2015 г. В. C. Федотовский
Физико-энергетический институт им. А.И. Лейпунского 249033 Обнинск, пл. Бондаренко 1
E-mail: fedotovsky@ippe.ru Поступила в редакцию 10.06.2014 г.
Рассмотрен процесс распространения поперечных волн в дисперсном композите с твердыми включениями как в псевдооднородной среде с эффективными свойствами — динамической плотностью и сдвигово-ротационной упругостью, резонансным образом зависящими от частоты волны и параметров поступательных и вращательных колебаний включений. Приведены оценки частот собственных колебаний сферических включений в несжимаемой упругой среде и других внутренних динамических параметров композита, определяющих диапазоны частот, в которых динамическая плотность и сдвигово-ротационная упругость могут принимать отрицательные значения. При одновременно отрицательных динамических свойствах дисперсный композит является акустическим метаматериалом, аналогичным по ряду специфических эффектов широко обсуждаемым электродинамическим "левым средам". Приведены оценки параметров композита и частот поперечных волн, при которых свойства метаматериала практически достижимы.
Ключевые слова: дисперсный композит, поперечные волны, отрицательные динамические свойства, метаматериал.
DOI: 10.7868/S0320791915020021
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 311-316
УДК
ВВЕДЕНИЕ
В колебательно-волновой динамике дисперсных композитов взаимодействие включений с вяз-коупругой матрицей обуславливают резонансные зависимости эффективных динамических свойств [1—6], позволяющих описывать резонансную дисперсию и затухание акустических волн. Динамические свойства слабо диссипативных дисперсных композитов в некоторых диапазонах частот могут принимать отрицательные значения, что обуславливает их акустическую непрозрачность [6, 7].
Возможны случаи, когда в одном и том же диапазоне частот эффективные инерционные и упругие свойства одновременно принимают отрицательные значения. Композит при этом становится метамате-риалом, имеющим уникальные акустические свойства [8—14], аналогичные свойствам электродинамических сред с отрицательной диэлектрической и магнитной проницаемостью [15, 16].
Для продольных волн сжатия в метаматериале одновременно отрицательными должны быть динамическая плотность и объемная сжимаемость. Для этого в непрерывной упругой матрице композита должны находиться включения двух видов. Одни — включения-осцилляторы дипольного типа, совершая резонансные поступательные колебания, обеспечивают отрицательность динамической плотности, а другие — включения-осциллято-
ры монопольного типа (например, полости в матрице), совершая объемные резонансные колебания, обеспечивают отрицательную сжимаемость.
Для поперечных волн одновременно отрицательными должны быть динамическая плотность и сдвигово-ротационная упругость. Для этого в упругой матрице достаточно присутствия включений-осцилляторов одного вида с близкими собственными частотами поступательных и вращательных колебаний.
Следует отметить, что к введенному в электродинамике понятию "левой среды" [15], связанному с тем, что электрическое, магнитное поле и волновой вектор образуют левую тройку векторов, в полной мере соответствует акустический аналог — метама-териал с поперечными упругими волнами. Здесь поле перемещений, вращений и волновой вектор также образуют левую тройку, в отличие от обычного материала или композита как "правой среды".
Таким образом, в акустике обычных дисперсных композитов и метаматериалов резонансы объемных, поступательных и вращательных колебаний включений обеспечивают резонансные зависимости, а при некоторых условиях и отрицательность эффективных динамических свойств. При этом собственные частоты колебаний включений-осцилляторов являются существенными внутренними динамическими пара-
метрами, определяющими особенности распространения продольных и поперечных волн.
В данной работе рассмотрены эффективная динамическая плотность и сдвигово-ротационная упругость бездиссипативного дисперсного композита и их зависимости от структуры и внутренних динамических параметров. Основное внимание уделяется инерционно-упругому взаимодействию твердых сферических включений с упругой матрицей и оценке собственных частот их поступательных и вращательных колебаний, определяющих частотные диапазоны отрицательных свойств ме-таматериала.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИСПЕРСНЫХ КОМПОЗИТОВ
При распространении в дисперсном композите поперечных волн, длина которых существенно превышает характерный размер включений, его можно рассматривать как псевдооднородный континуум с эффективными динамическими свойствами, учитывающими процесс взаимодействия включений с упругой матрицей. С поступательными колебаниями включений и их взаимодействием с матрицей связана эффективная динамическая плотность композита, а с вращательными — эффективная сдвигово-ротационная упругость, учитывающая процесс динамического вовлечения включений во вращательные колебания при распространении в композите поперечных волн.
В предельном случае отсутствия диссипатив-ных потерь и радиационного рассеяния на включениях динамические свойства дисперсного композита, образованного идеальной упругой матрицей и твердыми включениями, определяются следующим образом. При распространении поперечных волн в композите, когда каждая ячейка с включением совершает поступательные, вращательные и сдвиговые деформационные колебания, уравнения поступательных и вращательных колебаний включений могут быть записаны в виде [7]
М1У1 + т (У! - У) + КТ (У! - У) = 0, (1)
ё! + J (ё! - ё) + кк (е! - е) = о, (2)
где М1, // — масса и момент инерции включения; т, / — присоединенная масса и присоединенный момент инерции матрицы; ¥1, У, 01, 9 — смещения и углы поворота включения и ячейки композита; Кт, Кк — коэффициенты трансляционной и ротационной упругости, определяющие силу и момент силы, действующие на включение со стороны матрицы.
Уравнение движения (1) представляет баланс инерционных и упругих сил, действующих на включение со стороны поступательно колеблю -щейся матрицы. При этом кроме собственной силы инерции М1% на включение действует сила инерции присоединенной массы матрицы т(У - У), обусловленная относительным ускоре-
нием включения и матрицы. С другой стороны, вызывающая движение включения сила трансляционной упругости КТ(У - У) определяется разностью смещений включения и матрицы. Аналогичный смысл имеют члены уравнения вращательного движения включения (2). Кроме собственного момента инерции включения здесь также присутствует присоединенный момент инерции упругой матрицы, обусловленный ее вовлечением в ускоренное дифференциальное вращение. Вызывающий же вращательные колебания включения момент упругих сил пропорционален разности углов поворота включения и матрицы.
Решение уравнений (1), (2) дает следующие частотные зависимости для относительных смещений и углов поворота колебаний включений и ячейки композита
У±
У
( 2 ©от 2
у Ю
т
М, + т
2
Юм.
2
у Ю
J
1г + J
где ю0Т =
( 2 Ю0Т 2
у Ю Кт
-1
( 2 Юоя
(3)
-1
Ю
М, + т
1/2
®оя =
Кя
JI + J
1/2
— собствен-
ные частоты поступательных и вращательных колебаний включений в упругой матрице.
Динамическую плотность дисперсного композита р* (ю) определим из условия равенства импульса единичного объема псевдооднородной среды
(йУ йУ1 \ )|---- ф| и
йг !
включений р ф, где ф — объемная концентра-
р*— сумме импульсов матрицы р I
йг \ йг
ция включений. Поскольку
следует соотношение
йУ^йг у} йУ/йг
= —, то из этого
V* = р |1 - £ ф| + р У ф.
, , ,, , (4)
У V У
Таким образом, относительные поступательные колебания и взаимодействие включений и матрицы определяют динамическую плотность композита.
Подобным образом определим сдвигово-рота-ционную упругость композита. Здесь определяющим служит соотношение, связывающее эффективные упругие напряжения в композите со сдвиговой деформацией е, эффективной статической сдвиговой упругостью композита ц* (ф) и с динамической составляющей, обусловленной вовлечением включений во вращательные колебания при распространении в композите поперечной волны [7]:
КлЫв I
о* = 2б
И*(ф) -
2вЛ 0
-1
(5)
Сомножитель в квадратных скобках есть эффективная сдвигово-ротационная упругость (ю).
Подстановка в (4) и (5) соотношений (3) дает резонансные зависимости динамической плотности и сдвигово-ротационной упругости:
( 2 Л Юог__у_
2
Р* = Р + ■
Ю
А + У^
( 2 Юж
2
Ю
- 1
Р (А- 1)Ф,
(6)
(ю) = И* —7
Юод/ оф 20о
Юод
2
Ю
(7)
- 1
где р — плотность упругой среды (матрицы), А = р 0/р — относительная плотность включений объемом 00, у = т/рО0 — коэффициент присоединенной массы.
Дисперсионное соотношение для поперечных волн можно записать в виде
(ю\2 = Ц*д (<)
Ы р* (<а) '
где к* — волновое число для сдвиговых волн в композите. Поскольку действительная часть ю/к* дает фазовую скорость волны С(ю), а мнимая часть к* определяет коэффициент пространственного затухания волны а(ю), то из формул (6)—(8) следуют соотношения
(8)
= Со
С (ю) = -ю =
v 7 к*
1 - (ю/юоГ)21 - (юМд)2 1 - (ю/^ог )21 - (ю/юоЯ )2
Г
1/2
а (ю)
ю
* *
* * ^2
~ *2
(9)
(10)
где Со =
1/2
— низкочастотная скорость
сдвиговых волн при ю —> о, а Оог и — дополнительные внутренние динамические параметры композита, связанные с собственными частотами поступательных и вращательных колебаний включений ю0Г и ю0Д следующими формулами:
^2 2 1 + (А- 1) ф
°ог _ЮоГ 1 ,У(А- 1)ф'
Г>2 _ 2
"од - ®оя"
А 1
■у
2
Щя-* оф
(11)
(12)
1 +
2^о У
При этих частотах динамическая плотность и сдвигово-ротационная упругость, как следует из (6), (7), обращаются в ноль.
Из формулы (6) следует также, что в диапазоне частот юог < ю < Оог динамическая плотность отрицательна, а ширина этого диапазона зависит от относительной плотности Д = ро/р, концентрации включений ф и коэффициента присоединенной массы среды у.
Аналогичным образом из (7) следует, что в диапазоне частот юод < ю < сдвигово-ротационная упруго
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.