ПорядоН в хаосе океанских течении
С.В.Пранц, М.В.Будянский, М.Ю.Улейский
Сергей Владимирович Пранц, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией нелинейных динамических систем, заведующий отделом физики океана и атмосферы Тихоокеанского океанологического института им.В.И.Ильичева ДВО РАН. Область научных интересов — нелинейная динамика, физика океана, квантовый хаос.
Максим Васильевич Будянский, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник того же института. Изучает нелинейные динамические процессы в океане. Лауреат медали РАН для молодых ученых по океанологии и физике атмосферы.
Михаил Юрьевич Улейский, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник того же института. Специалист в области гидродинамики и акустики океана. Лауреат медали РАН для молодых ученых по океанологии и физике атмосферы.
Океан поражает разнообразием своего движения в широком спектре пространственных и временных масштабов, от микрометров до тысяч километров и от микросекунд до миллионов лет. Он «населен» течениями, похожими на теплые или холодные реки с причудливыми изгибами (ме-андрированием), и вихрями разного размера, которые зарождаются и исчезают непредсказуемым образом. Спутниковые снимки дают наглядную картину хаотического движения на поверхности океана на масштабах от десятков до сотен километров. Обнаружить скрытый порядок (если он есть) в этом хаосе кажется делом безнадежным. Определенные надежды появились с развитием математической теории, которая, казалось бы, не имеет никакого отношения к океанологии, — теории нелинейных динамических систем и хаоса.
Скрытая геометрия движения воды
Нелинейная динамика занимается анализом хаоса, причем такого, который неожиданно возникает даже в совершенно детерминированных системах. Простой физический маятник, находящийся под действием периодической внешней силы, может для одних начальных условий
© Пранц С.В., Будянский М.В.,
Улейский М.Ю., 2013
двигаться строго периодически, а для других колебаться в таком режиме, что оказывается практически невозможным предсказать его траекторию в совсем недале-
ком будущем. С маятником удалось разобраться и построить строгую математическую теорию, объясняющую, почему он ведет себя таким образом и ка-
кие геометрические структуры в его фазовом пространстве порождают периодические движения, а какие — хаотические [1].
Удивительным оказалось то, что подобные геометрические структуры образуются и при движении водных масс и именно они играют ключевую роль в видимом хаосе движения воды. Более того, эти геометрические объекты зарождаются не в абстрактном фазовом пространстве (в котором помимо реальных координат есть измерения, связанные со скоростью), а в реальном потоке воды. Проникнуть в тайны их «жизни» помогают так называемые лагранжевы когерентные структуры [2] — материальные линии с особыми свойствами, состоящие из одних и тех же частиц воды, которые двигаются в потоке согласованно, т.е. когерентно. Они связаны с особыми геометрическими структурами в теории динамических систем, а именно с устойчивыми и не-
устойчивыми многообразиями (см. далее), которые «организуют» хаос. Их буквально можно увидеть невооруженным глазом в лабораторных экспериментах с красителями или полистироловыми шариками. В двумерных хаотических потоках они представляют собой искривленные материальные линии со множеством изгибов и завитков, разделяющие области потока с разным характером движения воды. В океане эти кривые могут простираться на сотни километров. Вообще говоря, они невидимы. Что та вода, что эта... Но иногда они выдают себя при цветении планктона, при разливе нефти (как это произошло в Мексиканском заливе в 2010 г.) и на спутниковых снимках температуры поверхности океана в зонах конвергенции, где сходятся разные течения. На рис.1 приведено спутниковое изображение концентрации хлорофилла а на поверхности океана в районе
Фолклендских о-вов (южная Атлантика), где океанские течения и вихри перемешивают причудливым образом воду с «цветущим» планктоном (его содержание в воде пропорционально концентрации хлорофилла а). Неоднородное по региону концентрационное поле делает движение воды видимым и демонстрирует живописную картину горизонтального хаотического перемешивания. Наша статья посвящена рассказу о том, как рассчитать на компьютере лагран-жевы когерентные структуры в океане, как они организуют движение водных масс и какую практическую пользу приносят уже сейчас.
Для изучения океана и атмосферы используются два общих подхода — эйлеров и лаг-ранжев (оба, впрочем, принадлежат Л.Эйлеру). В эйлеровом подходе измеряются характеристики среды в различных местах и далее делаются выводы о движении водных или воздушных масс. Это более популярный метод, что объясняется, видимо, сложившейся практикой в метеорологии, где температура, давление, скорость ветра и другие атмосферные характеристики издавна регистрируются на множестве метеостанций, разбросанных по земной поверхности. В океане, однако, возможностей их измерений гораздо меньше. Лагранжев подход, когда непрерывно отслеживается перемещение конкретной порции воды, незаменим для выяснения происхождения и «судьбы» водных масс и также имеет свою историю. Разбрасывание с судов еще со времен парусного флота запечатанных бутылок с координатами — типичный ла-гранжев эксперимент, давший полезные сведения об океанских течениях. В настоящее время с этой целью используют дрейфующие на заданных глубинах буи, координаты которых регистрируются со спутников. Такие устройства по мере движения собирают ценную информацию. Хотя к настоящему времени получена
Рис.1. Концентрация хлорофилла а на поверхности океана в районе Фолклендских о-вов, измеренная спутником MODIS 22 ноября 2004 г. Красный и желтый цвета — воды, богатые планктоном (сравнительно высокая концентрация хлорофилла а), синий и фиолетовый — «бедные» воды. Черный цвет — места, закрытые облаками, серый — земля.
информация с тысяч таких буев в разных морях и океанах, она «покрывает» лишь незначительную часть Мирового океана.
Серьезный прорыв в океанологии произошел благодаря спутниковому мониторингу. Стали возможными глобальные измерения температуры поверхности океана, его цвета и высоты уровня моря. Дело в том, что «ландшафт» океанов не плоский. Такие теплые «реки» в океане, как Гольфстрим в Атлантике (рис.2) и Куросио в Тихом океане, и крупные антициклонические вихри «приподнимают» воду над средним уровнем, а большие циклонические вихри опускают ее. Здесь надо оговориться, что под циклонами и антициклонами имеются в виду не привычные всем атмосферные образования, а движения воды. Для возникновения стационарного течения должны уравновешиваться две силы: градиент давления, вызванный разностью уровней моря, и сила Кориолиса, которая прямо пропорциональна скорости и направлена по отношению к ней вправо (в Северном полушарии). Для такого течения сила Кориолиса направлена в сторону, противоположную градиенту давления (или градиенту уровня), и,следовательно,само течение направлено перпендикулярно этому градиенту. Течение всегда направлено так, что в Северном полушарии высокое давление на данной поверхности уровня находится справа. Поэтому во впадинах океана вода течет против часовой стрелки (это циклон), а на холмах — по часовой стрелке (это антициклон). Как и в метеорологии, в центре циклонического вихря — область пониженного давления, а в центре антициклонического — повышенного. Измеряют эти неровности «ландшафта» с помощью альтиметров — активных радаров, посылающих со спутника микроволновые импульсы. Фиксируя время возврата отраженного от поверхности моря импульса, определяют высоту уровня моря с точностью до не-
Рис.2. Температура поверхности северо-западной части Атлантического океана, измеренная 15 июня 1996 г. спутником NOAA-12. Теплая вода показана оттенками желтого и оранжевого цвета, холодная — оттенками синего и зеленого. Черный и белый цвета — места, закрытые облаками. Коричневая на снимке «река» Гольфстрима несет теплые воды на северо-восток, к Европе. Время от времени от Гольфстрима отщепляются теплые вихри (ринги); на снимке виден один из них, с диаметром порядка 200 км, медленно перемещающийся на запад.
скольких сантиметров. По простой формуле на основе этих данных вычисляется ежесуточное глобальное альтиметричес-кое поле поверхностной скорости, с помощью которого можно, в свою очередь, находить лаг-ранжевы траектории частиц воды, интегрируя соответствующие уравнения адвекции*.
Анализ хаоса
Нелинейная геофизическая гидродинамика работает как с аналитически заданными полями
* Адвекция — перемещение водных или воздушных масс из одной области в другую преимущественно в горизонтальном направлении.
скорости, так и с полями, полученными прямо со спутников или при прогонке численных моделей океанской циркуляции c ассимиляцией данных спутниковых и in situ наблюдений. Для лагранжева анализа движения вод достаточно большое число искусственных (пробных) частиц размещается по всей поверхности океанского бассейна, и на компьютере вычисляются их траектории согласно простым уравнениям адвекции пассивных частиц
dx d
u(x y> ^ % = v(x' у' ^ (!)
где х, у — географические координаты частицы, а и и V — зональная и меридиональная компоненты угловой скорости. Эти
выражения, по сути своей, определение компонент скорости, используются «наоборот», в обратном порядке: не по изменению со временем координат вычисляется скорость движения, а по скорости восстанавливаются временные зависимости координат. Считается, что пробные частицы пассивно следуют полю скорости и никак на него не влияют. Поскольку компоненты скорости зависят от координат нелинейным образом, мы имеем дело с нелинейной динамической системой с полутора степенями свободы (как говорят математики; одну степень свободы дают две координаты частицы х, у, а половину — время г) и очень простой на вид.
Насколько обманчива эта простота, показывает следующий лабораторный эксперимент. Создадим в кювете два стационарных вихря одинаковой полярности — два циклона или два анти
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.