УДК 523.64-325:523.44-325:521.3
ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ЗАДАЧЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
© 2012 г. О. М. Сюсина, А. М. Черницов, В. А. Тамаров
НИИ прикладной математики и механики при ТГУ, Томск Поступила в редакцию 25.04.2011 г.
Исследованы различные подходы к построению областей возможных движений малых тел. Предложен экономичный способ минимизации числа точек начальной области путем задания этой области ее граничной поверхностью и приведены оценки его эффективности. Рассмотрены способы оценивания допустимости линейного подхода. С этой целью предложены простые способы вычисления показателей нелинейности, позволяющие классифицировать решаемую задачу как сильно или слабо нелинейную. Даны рекомендации по возможности сведения конкретной задачи оценивания к слабо нелинейной, где можно использовать более экономичный линейный подход. Предложен также комбинированный способ отображения во времени начальной области, объединяющий линейный и нелинейный подходы. На примере двух астероидов выполнена оценка области применимости линейных отображений.
ВВЕДЕНИЕ
Использование современных средств наблюдений уже привело к открытию более пятисот тысяч астероидов и комет, и процесс обнаружения новых, ранее не наблюдавшихся объектов активно продолжается.
Вследствие того, что определяемые орбиты этих объектов содержат неизбежные ошибки наблюдений, исследование их движения может быть только вероятностным. Одним из важных этапов такого вероятностного исследования является задача
построения начальной области С0, которая представляет собой множество q = qт) возможных значений начальных параметров орбиты объекта, обусловленное ошибками наблюдений (т.е. множество в пространстве параметров {д}^ ). Начальную область С0 желательно определять на момент времени внутри интервала наблюдаемости объекта t0 е tn], например, на момент, равный среднеарифметическому моментов времени наблюдений (Черницов, 1975). Такой выбор момента времени уменьшает нелинейность задачи оценивания начальной области и позволяет во многих случаях использовать для ее решения линейный подход (Черницов и др., 2006; Мшпопеп и др., 2006). Вторым этапом вероятностного моделирования движения малых тел является отображение С0 ^ С0 начальной области на любой заданный момент времени t £ tn], с последующим возможным отображением С0 ^ Ср в пространство других параметров {р}. При этом, как и в за-
даче построения начальной области, ее отображение С0 ^ С0 осуществляется либо в линейной, либо в нелинейной постановке. Выбор метода решения зависит от степени нелинейности соотношений, связывающих вероятностные вариации ошибок наблюдений 8 ^ с соответствующими вариациями оценок параметров орбиты объекта 50. В случае, когда в задаче определения начальной
области С0 допустимы линейные оценки, отображения могут быть как линейными, так и нелинейными. Вид отображения зависит от размеров начальной области и интервала времени, на который осуществляется отображение, а также от влияния на возможные орбиты исследуемого объекта возмущающих факторов. В случае же, когда линейные оценки при определении начальной области применять нельзя, отображения могут быть только нелинейными.
Во всех случаях, когда это оправданно, предпочтительнее применять линейные методы определения вероятностных областей. В классе линейных оценок, теория которых хорошо разработана, эти методы являются самыми простыми и могут быть строго обоснованы. Как правило, в этом случае традиционно используются оценка наименьших квадратов (НК) для вектора q и оценка матрицы ковариации D этого вектора. Нелинейные методы более трудоемки, и их применение
в задаче определения начальных областей С0 математически не обосновано. Поэтому во многих случаях на их основе сложно делать правильные вероятностные выводы. Заметим, что нелинейные методы определения начальной области
представляют собой, как правило, многократное решение задачи НК по данным реальных и фиктивных наблюдений, а нелинейные отображения реализуются в виде плотного ансамбля траекторий, выходящих из этой области. Оператором отображения является система дифференциальных уравнений движения объекта.
Области возможных значений параметров орбит принято обычно рассматривать в виде вероятностных распределений, определяя их численно методами Монте-Карло. Можно задавать эти области также в виде доверительных областей. В этом случае области возможных значений определяются (указываются) в параметрическом пространстве {#}, с граничной поверхностью, накрывающей с заданной в линейном приближении вероятностью истинные, неизвестные нам, значения параметров орбиты объекта. Доверительные области можно задавать методами Монте-Карло двумя способами: в виде точек параметрического пространства, плотно заполняющих объем области, а также точками ее граничной поверхности. Второй способ намного экономичнее первого, так как при нелинейных отображениях областей во времени это позволяет значительно уменьшить число траекторий, выходящих из начальной области. Следует отметить, что для представления вероятностной плотности распределения возможных значений параметров этим способом можно определять граничные поверхности доверительных областей, накрывающих с разной вероятностью истинные значения параметров.
В настоящей работе мы приводим следующие результаты наших исследований в задаче построения доверительных областей движения малых тел.
1. Алгоритмы численных методов построения граничных поверхностей доверительных областей. Рассмотрен вариант, когда задача оценивания является слабо нелинейной и доверительная область может быть задана в виде многомерного эллипсоида.
2. Способы классификации по степени нелинейности задач определения областей Сч° и С0. Рассмотрены простые способы нахождения показателей нелинейности, по которым можно классифицировать задачи как слабо и сильно нелинейные, и тем самым делать правильный и оптимальный выбор методов при построении областей Сч° и
С возможных значений параметров орбит объектов.
3. Комбинированный способ построения отображений С0 ^ С0 для случая, когда начальная область определяется линейными оценками в виде эллипсоида. В этом способе вначале применяется
линейное (быстрое) отображение С0 ^ С0 с последующей его оценкой на нелинейность. В слу-
чае, если показатель нелинейности больше порогового значения, на интервале At = I -10 на ряд моментов времени определяется кривая изменения показателя нелинейности, а затем из ближайшей к моменту I эллипсоидальной области осуществляется повторное, но уже нелинейное отображение.
ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Как правило, при определении по экспериментальным данным параметров математических моделей важно найти не только точечные оценки параметров, но и указать область нахождения их истинных значений. Такие области на современном языке математической статистики называются доверительными интервалами в одномерном случае и доверительными областями (множествами) в га-мерном. Области, как и сами точечные оценки параметров, находятся по данным конкретных выборок измерений и поэтому являются случайными. В общем случае задачу построения доверительной области можно представить в виде (Бард,1979)
е ш/а*)} =
У-
(1)
Здесь — истинная (неизвестная нам) точка в га-мерном пространстве определяемых параметров 0 = (^,^,...,0; <} — оценка этих параметров, определяемая по и-мерной выборке измерений
а* = (й*,й*,...,й*), (п > т); 0(«) — доверительная область; число у — коэффициент доверия, показывающий, с какой вероятностью Р область 0(«) накрывает га-мерную истинную точку
Решение задачи (1) неоднозначно. В случае построения доверительных областей имеется большая свобода, чем в случае построения доверительных интервалов. Можно задавать не только место расположения области, но и ее вид. Чаще всего доверительные области строят в виде га-мерных прямоугольников и эллипсоидов с центрами в точке {¡. Очевидно также, что при заданном коэффициенте доверия у лучшей из множества возможных доверительных областей является область с меньшими размерами.
Важным при решении многих прикладных задач является возможность линейной трактовки задачи (1), когда связь между вероятностными вариациями ошибок измерений и соответствующими вариациями оценок параметров близка к линейной. Так, по нашим оценкам, которые были сделаны на выборке из нескольких сотен астероидов, наблюдавшихся в одной оппозиции, и 320 астероидов, сближающихся с Землей, для 90% от общего числа объектов использованной выборки задача (1) оказывается на моменты вре-
мени t0 е tn] слабо нелинейной. Следовательно, начальные области возможных значений параметров орбит этих объектов можно определять в рамках линейной теории оценивания. В этом случае наименьшие по размерам начальные доверительные области представляют собой 6-мерные эллипсоиды, определяемые выражениями (Бард, 1979; Дрейпер, Смит, 1986)
(q - q)T [R T(q)WR(q) ] (q - q) = e, 6 = a^k*)2.
(2) (3)
Здесь Щф = — матрица частных произ-
водных размером п х т; d(q) — расчетная «-мерная вектор-функция измеряемых параметров; W — весовая матрица; символ Т означает операцию
транспонирования; а0 = [Ф(0)/(п - т)]1/2 — средне-квадратическая ошибка единицы веса, а величина к* оценивается с помощью статистик Т(т; п - т) распределения Фишера в виде
(к*) = mF(m; n - m; у*).
(4)
P(F*) = у* = ■
Г (П 2)
x Im
Г (m/2) Г ((n - m)/2)
F *
m/2 г i(n-m)/2
[n - m]
2))
F (m-2)/2dF
(6)
(n - m + mF)
и/2'
tn-1e-dt — гамма-функция.
n-1
P(k) =
1
к/2
(ml2 -1)!
I
m/2-1 -
x e
cdx = 1 - R
m 2
к
2
, (7)
5 k
Рис. 1. Графики функциональной зависимости вероятности Р (к) для т = 2,4,6,8,10.
Заметим, что величина F(m; n - m; у*) = F* есть верхняя квантиль для распределения Фишера, а оценка q находится решением задачи НК
Ф^) = [d(q) - d*]TW[d(q) - d*] = min. (5)
Квантиль F* функции распределения Фишера определяется из уравнения
di m ,к2 где RI--1 —
2 2
vm If к—
У"=0 n l 2
e к — функция,
описывающая распределение вероятностей случайной величины х по закону Пуассона с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.