ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 1, с. 68-75
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО В МОДЕЛИ ХЕДЖИРОВАНИЯ АКТИВА ОПЦИОНАМИ
© 2007 г. И. И. Гасанов, Ф. И. Ерешко
(Москва)
Рассматривается многокритериальная задача, которая возникает в операциях продажи актива при страховании (хеджировании) посредством опционов будущих доходов. Для широкого класса функций, описывающих зависимость цены опциона от цены исполнения, предложена эффективная процедура построения множества Парето для трех критериев, связанных с оценкой риска по методу VaR. Проводится анализ особенностей данного множества и дается графическое представление его проекции на одну из координатных плоскостей.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема управления рисками является одной из основных проблем в финансовой инженерии. Важное место среди финансовых инструментов, используемых для ее решения, занимают опционы. Опционы - это контракты, которые гарантируют своему покупателю право, но не обязательство что-либо предпринять. Чаще всего это право купить или продать определенное число единиц некоторого базового актива по оговоренной цене. Опционы имеют ограниченный срок действия. Если опцион не исполняется к концу своей "жизни", он теряет силу. Опционы, которые могут быть исполнены в любой момент в течение заданного времени, называются американскими, а те, которые можно исполнить лишь по прошествии заранее фиксированного периода времени, - европейскими. В настоящей статье рассматриваются европейские опционы. Опционы делятся на два вида - колл и пут (call и put). Опционы колл гарантируют держателям право покупки некоторого числа единиц базового актива по цене исполнения (страйку) опциона, а опционы пут - право продать некоторое количество единиц базового актива по цене исполнения опциона. За такое право покупатель опциона платит определенную сумму, зависящую от страй-ка и срока исполнения опциона и называемую ценой или премией опциона.
Когда рынок опционов сформирован, то опционы могут быть привлекательны как инструмент спекуляции, но прежде всего они привлекательны как элемент страховочной стратегии (хеджирования). Опционы обеспечивают способ защиты от неблагоприятных изменений цен и в то же время оставляют возможность получить прибыль при их благоприятных изменениях. В данной статье исследуется один из вариантов такой страховочной стратегии.
Графики выплат, соответствующие опционам, несколько сложнее по форме, чем аналогичные графики для фьючерсных и форвардных контрактов. Опционы можно комбинировать многими способами, создавая богатый ассортимент разнообразных конструкций. Это является причиной значительного интереса к опционам со стороны финансовых инженеров (Маршалл, Бан-сал, 1998; Буренин, 2002а, 20026).
Модели оценивания (расчета цен) опционов достаточно сложны. Большинство этих моделей разрабатывались как варианты известной модели Блэка-Шоулза. Математический аппарат, использующийся для оценивания опционов, изложен в (Маршалл, Бансал, 1998, с. 396; Marshall, 1989; Меньшиков, 1998; Первозванский, Первозванская, 1994).
На внутреннем рынке России в настоящее время имеются только единичные попытки построить сегменты, связанные с торговлей опционами. Однако для экспортеров сырьевых ресурсов очень важен выбор стратегии страхования поставок на внешний рынок. Этим и определяется актуальность предлагаемой ниже постановки задачи.
Принципиальное значение при управлении рисками имеет способ их измерения. Первоначально широкое распространение получил метод оценки, основанный на дисперсии (или стандартном отклонении). Однако в последнее время стал популярным метод, основанный на оценке вероятности достижения участником рынка некоторой заданной величины доходов - VaR (Ага-сандян, 2001).
В работах (Щукин, 1999; Мелокумов, Карпов, 2001) с использованием критерия VaR исследовались близкие по духу задачи хеджирования актива посредством опционов. Если в статье (Щукин, 1999) при фиксированных затратах на хеджирование максимизируется уровень будущего дохода, гарантированный с заданной обеспеченностью (вероятностью), то в статье (Мелокумов, Карпов, 2001), напротив, при заданных уровне дохода и уровне его обеспеченности минимизируются затраты на хеджирование. Все расчеты в обеих статьях опираются на формулу Блэка-Шо-улза для цены опционов. Однако полученные в них результаты верны и в более общем случае, когда от функции цены требуется, чтобы выполнялись лишь некоторые достаточно естественные свойства, справедливые также и для функции Блэка-Шоулза. Настоящая работа объединяет и обобщает результаты статей (Щукин, 1999; Мелокумов, Карпов, 2001). В ней исследуется взаимная зависимость критериев, определяющих стратегию хеджирования, и строится множество Парето по этим критериям. При этом используется не какая-то конкретная модель оценивания опциона, а лишь некоторые общие для различных опционных моделей свойства функции цены опциона.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим следующую модель хеджирования. В начальный момент времени 0 имеется некоторый актив в количестве Ж с ценой 50. Цена актива 5Т в будущий момент времени Т полагается случайной величиной с непрерывной функцией распределения ^ (х). Будем предполагать, что
функция ^ (х) строго возрастает в промежутке [0,
Владелец актива страхуется от нежелательной конъюнктуры цен в момент Т, приобретая в момент 0 опционы на продажу данного актива со страйком (уровнем исполнения) X, ценой Р(Х) и временем исполнения Т. Если приобретены опционы со страйком X на продажу актива объемом Ж, т.е. израсходована денежная сумма Р(Х)Ж, это гарантирует, что в момент Твесь актив будет продан по цене не меньшей, чем X. Если на такие же опционы потрачена сумма QW < Р(Х) Ж, это означает, что хеджирована лишь доля И = Q/P(X) объема актива Ж. Будем предполагать, что И < 1. Если И > 1, то владелец актива не ограничивается целями хеджирования, а идет на дополнительные расходы в надежде заработать на опционах при цене БТ меньшей, чем X. Для упрощения выкладок все дальнейшие рассуждения будем проводить для портфелей, состоящих из единицы базового актива и страхующих эту единицу опционов пут со страйком X в количестве И < 1. Обозначим такой портфель через Я^, И). Стоимость портфеля Я^, И) в момент времени Тбудет равна БТ + И max[X - 5Т; 0].
Определим функцию, которая выражает приведенную к моменту времени Т сумму финансовых потоков, связанных с хеджированием актива, посредством портфеля Я^, И):
ф(5Т, X, Q) = 8Т + Итах[X- 8Т; 0] - QегТ,
где егТ - относительный доход за период Т по безрисковым бумагам. Для заданного значения а е е [0, 1] параметры Q и X однозначно определяют такой уровень V значений случайной величины ф, который обеспечен с вероятностью не меньшей, чем 1 - а, т.е.
Р{ф(^т, X, Q)> V}> 1- а. (1)
Лицо, страхующее актив, заинтересовано в максимизации значения V, минимизации вероятности а и суммы Q. Варьируя а, Q и X, можно получать различные точки в пространстве показателей а, V, Q. Обозначим множество достижимых таким образом точек через Л. Из рациональных соображений владельцу актива необходимо выбрать одну из недоминируемых (эффективных) точек из множества Л. Для этого полезно иметь представление обо всей совокупности таких точек, т.е. о границе Парето О множества достижимости Л.
Обозначим через а-квантиль распределения ¥8 : ^ (5е) = а. При И < 1 функция ф(5Т, X, Q) является неубывающей по 5Т. Поэтому для значений а, V, Q, X таких, что Q < P(X), неравенство (1) выполняется в том и только в том случае, если ф(5®, X, Q) > V. В пространстве показателей 5е, V, Q множеству Л соответствует множество достижимых точек П. Это точки (5е, V, Q), для которых при некотором страйке X, таком что Q < Р®, справедливо неравенство ф(5", X, Q) > V.
Так как величины а и 5е находятся во взаимно-однозначной монотонной зависимости, точка (а, V, Q) из Л будет недоминируемой тогда и только тогда, когда недоминируема точка (5е, V, Q) из П. Далее будем решать задачу исследования границы Парето Г множества П в пространстве
критериев S", V, Q. Переход от критерия а к критерию S" дает возможность абстрагироваться от конкретной формы распределения FS . В то же время знание множества Г позволяет строить
множество G для различных распределений FS .
2. УСЛОВИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ НА ФУНКЦИЮ P(X). ФУНКЦИЯ ß(X)
Далее везде рассматривается множество значений X > 0. Обозначим через ß(X) разность X -
- P(X)erT. Величина ß(X) показывает безусловный гарантированный (с вероятностью 1, т.е. при а = 0) уровень значений случайной величины ф(£т, X, Q) для портфеля R(X, 1), т.е. при полном хеджировании актива опционом со страйком X.
Будем предполагать, что функция P(X) удовлетворяет следующим требованиям.
Условие 1. P(X) - непрерывно дифференцируемая, строго возрастающая, строго выпуклая функция, P(0) = 0.
Условие 2. lim ß(X) = S0erT.
X
Заметим, что эти условия носят достаточно общий и естественный характер. Если отказаться от непрерывности, строгой монотонности и выпуклости функции P(X), то легко строятся портфели опционов с неотрицательной платежной функцией и отрицательной стоимостью, что неизбежно приводит к арбитражу. Также к арбитражу приводит предположение, что P(0) Ф 0. Условие 1 лишь усилено требованием строгости для выпуклости функции P(X) и требованием ее непрерывной дифференцируемости.
Из предположения о невозможности арбитража вытекает условие паритета пут/колл: C(X) -
- P(X) = S0 -Xe-rT, где C(X) - цена колл-опциона. Так как платежная функция колл-опциона стремится к 0 при X —► го, для модели цены опциона естественно предполагать, что C(X) —► 0 при X —► го. Тогда условие 2 оказывается непосредственным следствием паритета пут/колл.
3. СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ УСЛОВИЙ 1, 2. ФУНКЦИИ Z(X), X0(V) Следствие 1. ß(X) является строго вогнутой, строго возрастающей функцией. Доказательство. Так как ß''(X) = -P"(X)erT < 0 для любого X > 0, то функция ß(X) строго вогнута в промежутке [0, го). Поскольку ß(0) = 0, а lim ß (X) = S0erT > 0, то вогнутость функции
X ^ го
ß(X) обусловливает ее строгое возрастание в промежутке [0, го). Следствие 2.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.