ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2011, No 2, с. 20-27
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 681.3.06
ПОСТРОЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ *
© 2011 г. И. Х. Димовски, М. Н. Спиридонова Институт математики и информатики Болгарской Академии наук 1113 София, ул. Акад. Г. Бончева, бл. 8 Е-mail: {dimovski, mspirid} @math. bas.bg Поступила в редакцию 10.10.2010
В работе рассматривается возникновение резонансных колебаний в линейных упругих системах (на примере струны и балки), которые являются результатом нелокальных краевых условий, даже при отсутствии внешних сил. Приводятся точные решения соответствующих краевых задач. По формулам решения удобно получать их численные значения и строить соответствующие графики. Система компьютерной алгебры Mathematica использована для вывода и анализа точного решения, а также для разработки программных пакетов, позволяющих удобное проведение численных расчетов по выведенным формулам и визуализацию решения. Авторы считают, что представленное исследование можно применить при попытке объяснения причин колебаний Такомского и Волгоградского мостов (возникших соответственно в 1940 и 2010 годах).
1. ВВЕДЕНИЕ
Обрушению подвесного Такомского моста в США (7-го ноября 1940 года) предшествовали многомесячные крутильные и продольные колебания под воздействием не очень сильного ветра. До сих пор нет признаваемого всеми объяснения этого феномена. Недавно наблюдались подобные колебания нового Волгоградского моста и 20-го мая 2010 года его пришлось закрыть на некоторое время.
Если рассматривать эти мосты как линейные упругие системы, принимая при этом краевые условия за локальные, то возникновение резонансных колебаний при отсутствии внешних сил необъяснимо.
Действительно, рассмотрим простейшую уп -ругую систему, описываемую уравнением колеб -лющейся струны:
* Работа представлена на Международном рабочем совещании по компьютерной алгебре, состоявшемся в ЛИТ ОИЯИ, Дубна, 24-25 мая, 2010 г.
Utt = uxx, 0 < X < 1, 0 < t < TO u(x, 0) = f (x), u(0,t) = 0 Ut(x, 0) = 0, u(1,t) = 0
Решение в виде ряда выписывается легко:
те
u(x,t) = ^ An sin nnx cos nnt,
n=l
где An - коэффициенты Фурье в разложении f (x) в ряд по синусам sin nnx, n = 1,2,.... Решение является периодическим по времени с периодом 1 и, следовательно, оно ограничено. Ни о каком резонансе не может быть и речи.
Положение в корне меняется, если допустить нелокальные краевые условия энергетического типа. Наша цель показать, что при весьма прос -том интегральном граничном условии резонанс неизбежен даже при отсутствии активных внеш -них сил. Сохранение интеграла от смещения в течение времени имеет простой физический смысл: сохранение потенциальной энергии мос -та постоянной во время колебаний.
Мы будем рассматривать нелокальную краевую задачу для уравнения струны с интегральным краевым условием, для которой будет дано представление точного решения. Само решение будет проанализировано. Мы рассмотрим также нелокальную краевую задачу для уравнения балки с интегральными краевыми условиями. Будет дано представление точного решения, и подобным образом оно будет проанализировано.
Рассмотрение краевых задач для этих двух линейных упругих систем позволяет нам сделать выводы о возможности возникновения в них резонансных колебаний, благодаря энергетическому интегральному условию.
На некоторых этапах исследований используется система компьютерной алгебры МаЬНвтаЫса. Разработанные программные пакеты позволяют получать численные значения решений рассматриваемых краевых задач по формулам точного решения и строить соответствующие графики.
2. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ МОСТА: СТРУНА С НЕЛОКАЛЬНЬМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ
Рассмотрим нелокальную краевую задачу
«а = «хх, 0 < ж < 1, 0 <£< то
и(0,*) = 0, / и(£,£) ^ = 0 Jo
«(ж, 0) = /(ж), «¿(ж, 0) = д(ж). (1)
Эта задача связана с нелокальной спектральной задачей:
I \ 2
¡■x
-2/ f (x - о de-J 0
- /f (i+x - e)g(e) de+
1 J x
+ / f(ii -x-ei)g(iei)sgn(i -x-e)ede.
J —x
(3)
Несмотря на громоздкий вид, эта свертка очень удобна для получения формулы точного решения, по которой можно проводить численные расчеты. При помощи этой свертки легко получить разложение "произвольной" функции f (x) по собственным и присоединенным функциям задачи (2) (см. [6], стр. 171):
f (x) = f (x) * {-2x cos 2nnx} = 1 n= 1
= (4I (i -e)f(e) sin 2n*ede) sin2nnx-
- ^ 4 J f (e) (1 - cos 2nne) d^ x cos2nnx.
0 1 (4)
Условия f (0) = 0 и f (e) de = 0, очевидно, 0
являются необходимыми для существования разложения функции f (x) € C [0,1]. При f (x) € C2 [0,1] эти условия являются также достаточными.
Решение нелокальной краевой задачи (1) в виде ряда получено С. Бейлиным (см. [4]). Оно имеет вид:
У" + Д2У = 0 У(0) = ° jf У(е) de = 0 (2) u(x, t) = £ [ A„(í) sin 2nnx +
Собственные значения An = 2= 1, 2, ... являются двухкратными, поэтому наряду с собственными функциями sin An x нужно учитывать и присоединенные функции x cos An x, n = = 1, 2, ... .
Спектральная задача (2) и проблема разложе -ния "произвольной" функции f (x) в ряд по соответствующим собственным и присоединен -ным функциям тесно связана со следующей неклассической сверткой, найденной первым из авторов (см.[6], стр. 169-170):
n=1
+Bn(t) x cos 2nn x ],
(5)
(f * g)(x) =
1
1
2f (xW g(o de+2g(xW f (o de -
JO ./0
где коэффициентные функции Ага(£) и Вга(£) получаются из коэффициентов разложения (4) (см. [4]).
Несмотря на явный характер решения (5) задачи (1), оно не очень удобно для численных расчетов. В этом отношении оно имеет те же недостатки решений краевых задач, что и получаемые методом Фурье. Это особенно заметно, когда требуется вычислить значения решения на большом множестве точек, например на сетке для построения графика решения. В этом отношении не очень
помогает и специальный вычислительный метод, предложенный в [11] для задачи (1).
Авторы настоящей публикации получили точ -ное решение задачи (1), рассматривая ее как иллюстративный пример для предложенного ими распространения принципа Дюамеля для пространственных переменных линейных краевых задач (см. [7] и [8]).
Точное решение получено в виде:
д2
и(х,*) = ["(х,*) * /(х)] + /(х), (6)
где "(х,*) - решение задачи (1) при
3
гу '-> гу
/= 6 -12 • (7)
а звездочкой * обозначена свертка (3). Частное решение "(х,*) можно представить быстро -сходящимся рядом
"(х,*) =
где
£
х сов 2ппх сов 2 пп *
+
п=1
* вш 2 пп* 2 п2 п2
2 п2 п2
сов 2пп* 2 п3 п3
+
вш2ппх
"1 (х, *) = ^
П=1
х сов 2 ппх сов 2 п п *
2 п2 п2
сов 2п п * вт 2ппх
2 п3 п3
"2 (х, *) = ^
п=1
в1п 2пп* в1п 2ппх 2 п2 п2
являются периодическими функциями * с периодом 1.
Тогда
и(х, *) = / (х) +
(12)
(8)
Разумеется, "(х,*) можно получить и по методу Бейлина (см. [4]).
Если функция / (х) удовлетворяет условиям
/(0) = 0 / /(0 ^ = 0 и /(х) € С2 [0,1], то (6) можно представить в виде
и(х, *) = "(х, *) * /''(х) + /(х). (9) Теорема 1. Если / € С2[0,1] удовлетворяет краевым условиям /(0) =0 и / /(£) = 0,
Jo
то решение (6) представляется в виде:
и(х,*) = -и(х,*) + ¿-ш(х,£), (10)
где -и(х,£) и -ш(х,£) - периодические функции * с периодом 1.
Доказательство. Представим ряд (8) для "(х, *) в виде:
"(х,*) = "1(х,£) + £ "2(х,£),
(11)
+"1 (х,£) * /''(х) + £ "2(х,£) * /''(х). Это дает представление (10), так как функции
ф,*) = "1(х,£) * /''(х) + /(х) и Цх,г) = "2(х, *) * /''(х)
при фиксированном х являются, очевидно, периодическими функциями * с периодом 1. □
Эта теорема выявляет резонансный характер решения (10). Причиной резонанса является апериодический член ¿-ш(х,£).
С помощью системы ЫаЬНетаЫса по этим формулам, после их упрощения, можно найти таблицу значений и построить график решения. На рис. 1 хорошо видно, что увеличение амплитуды колебаний соответствует увеличению времени. Таблицы значений и(х, *) вычислены
для /(х) = х2 — з х, в прямоугольнике 0 < х < 1, 0 < * < Т, при Т = 1, 2, 3, 5. В каждой таблице найдено максимальное значение. Использован разработанный нами программный пакет (см. ниже).
3. ДРУГАЯ МОДЕЛЬ: БАЛКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Рассмотрим колебания балки, являющиеся решениями следующей нелокальной краевой
и
Рис. 1. Изменение графика решения при увеличении t.
задачи:
d2u d4u
= - , ° <x< 1, ° <t<
u(0,t) = 0, Uxx(0, t) = 0
Í u(e,t)de = 0,
O
(13)
3
fY* П/1
——— . Оно выписывается следующим образом: Q(x,t) =
^ / ^ л 2 2 t
Е x cos 2 n п x sin 4 n2 п21
I 8 n4 п4 +
n=1
8 n4 п
/ ¿С = «х(М) - «х(0,¿) = 0
■)о
«(ж,0) = /(ж), «(ж,0) = д(ж).
В книге Фарлоу [3] (стр. 156) рассматривается локальная задача, в которой вместо нелокальных условий использованы условия
и(М) = 0, ихх(М) = 0.
Точное решение задачи (13) для /(ж) = 0,д(ж) = 0 получено в [12]. Для /(ж) = 0, д(ж) = 0, решение получено авторами в [8]. Оно имеет более простой вид:
Г X
и(ж,*) = -2/ Ох(ж - £,£) д'(С) ./0
+
t cos 4 n2 п2 t sin 2 n п x
(15)
2 n3 п3
sin 4 n2 п2 t sin 2 n п x 4 n5 п5
при этом Q(x, t) удовлетворяет уравнению балки (формально) и краевым условиям задачи (13). Формула (14) содержит Qx(x,t), эта функция представляется быстро сходящимся рядом:
Qx(x,t) =
El ft cos 4 n2 п21
I cos 2 n п x
n=1
8 n2 п2
3 sin 4 n2 п21
8 n4 п4 x sin 4 n2 п2 t sin 2 n п x 4 n3 п3
(16)
-/xi Qx(1+x - e,t) g'(e) de+ + Í ^x(1 - x - e,t) g'(iei) de,
(14)
где П(ж,£) - обобщенное частное решение рассматриваемой задачи (13) для /(ж) = 0 и д(ж) =
Qx(x, t) имеет вид:
Qx(x,t) = V (x,t) + tW (x, t), (17) где V(x, t) и W(x, t) - периодические функции t.
i
—x
На некоторых этапах вывода формулы для Q(x, t) и u(x, t) была использована система Mathematica. Организация вычисления u(x, t) на заданной пользователем сетке и построение графика решения проводится при помощи разработанного программного пакета для этой системы.
Рассматривая формулы (14)-(17), можно прийти к выводу, что здесь решение имеет, как и в случае струны, вид
u(x,t) = v(x,t) + tw(x,t),
с равномерно ограниченными по t функциями v(x,t) и w(x,t), что означает наличие резонанса.
Физический смысл первого нелокального
усло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.