Дифференциальные . , уравнения,. . , динамические . , системы.
и. . . оптимальное . . .управление
Прокопенко В.Г., кандидат технических наук, ведущий конструктор Южного федерального университета
ПОСТРОЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ ХАОТИЧЕСКИХ
МУЛЬТИАТТРАКТОРОВ
Практически все известные в настоящее время композиционные хаотических мультиат-тракторы являются однородными. То есть состоят из одинаковых, одинаковым образом взаимодействующих между собой элементов, являющихся копиями хаотического аттрактора некоторой "исходной" динамической системы [1-4].
Представляет интерес поиск способов введения различий между элементами мультиат-трактора, а также между связями элементов друг с другом.
Рассмотрим способ построения динамических систем, имеющих композиционный хаотический мультиаттрактор, локальные аттракторы которого принадлежат одной и той же динамической системе, но отвечают разным значениям констант, входящих в уравнения, описывающих ее движение.
Уравнения движения динамической системы, имеющей однородный композиционный
хаотический мультиаттрактор
Система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающая движение на однородном составном хаотическом мультиаттракторе имеет вид [1]:
х = аН( х) + / [х,п], (1)
х1 ~Н(Х1) а11 а12 ' ' а
где х = х2 йх, ; х =Ц, ]=и, -п; Н(х) = Н2(х2) ; а= 021 02 ' ' Оп
хп _ Нп(хп)_ а 02 ' ' апп_
/(х, П)
H1(xl), Н2(х2),~" Щ^Пъ
Н1(хД Н2(х2),'''Нп(хп)пП21 П22^' П2т2
/пУ/^Х H2(x2),''' Нп(хп),Пп1,Пп2,''Ппт\
Здесь х=х1, х2, ... хп - переменные репликации, каждая из которых представляет собой либо независимую переменную, либо линейную комбинацию независимых переменных исходной динамической системы; а - константы линейной части уравнений; /()) - нелинейные члены; ц - константы, входящие в уравнения нелинейных членов; Н(х) - реплицирующие операторы, обеспечивающие образование копий хаотического аттрактора исходной динамической системы и их объединение в единый мультиаттрактор.
Реплицирующие (редуплицирующие, репликаторные) операторы (функции) представляют собой нелинейные функции переменных репликации, состоящие из линейных сегментов с единичным наклоном, соединенных между собой промежуточными участками (это мо-
гут быть линейные или нелинейные участки с противоположным наклоном, разрывы первого рода или области гистерезиса). Причем крайними боковыми сегментами всегда являются сегменты с единичным наклоном.
Заметим, что, в общем случае, в уравнениях (1) некоторые реплицирующие функции могут состоять из единственного сегмента с единичным наклоном, то есть совпадать со своим аргументом. Их количество может составлять от 0 до п-1. При наличии в системе (1) таких, «вырожденных», операторов репликация осуществляется только по части переменных репликации.
Действие т (т< п) невырожденных реплицирующих операторов на динамическую систему можно представить как формирование в фазовом пространстве этой системы (1) т-мерного массива фазовых ячеек, внутри каждой из которых находится фрагмент фазового пространства исходной динамической системы содержащий ее аттрактор. Внутренние области фазовых ячеек соответствуют сегментам с единичным наклоном. Промежуточные сегменты реплицирующих функций отвечают слоям фазового пространства, разделяющим фазовые ячейки.
Непрерывные реплицирующие функции могут быть представлены, например, следующим выражением:
Н ()=х +(+1)р
(
V
И
х, + Я , + И ,
3 3 3 ё
Л
(
+р
м,
-I
т=0
р
И
Х\
,7+ -(т- 1)И + ё-
, ё,
)
И ё,
V
И,
х 3 + я, - И 3 —-
3 3 3 ё
Л
)
N
-1
п=0
р
И
\\
7+ +(2п+
))
, ё,
ё,
(2)
где р(х,)=2
х,+-
И , И
1 _ }
ё, ё,
; И, - половина протяженности по ,-й переменной репликации
фазовой ячейки, содержащей хаотический аттрактор исходной динамической системы; М, -количество локальных хаотических аттракторов вверх по -й переменной репликации от исходного хаотического аттрактора; N , - количество локальных хаотических аттракторов вниз по -й переменной репликации от исходного хаотического аттрактора; ё - модуль крутизны промежуточных сегментов реплицирующей функции по -й переменной репликации; 8 -константа, учитывающая асимметрию аттрактора исходной динамической системы по -й переменной репликации.
Введение различий между локальными аттракторами
Чтобы локальные аттракторы различались между собой, очевидно, должны различаться соответствующие им уравнения движения. В рассматриваемом случае для этого необходимо, чтобы значения констант в уравнениях (1) имели индивидуальные значения в каждой фазовой ячейке.
Решить данную задачу можно путем умножения всех констант на специальные весовые ("индивидуализирующие") функции, значения которых остаются постоянными в пределах каждой фазовой ячейки, но меняются от ячейки к ячейке. То есть следует преобразовать массивы констант и нелинейных членов в уравнениях (1) к следующему виду:
а/х)--
Уа11(х)а11 Уа12(х)а12 ••• 7а1п(х) а1п Уа21(х)а21 Уа22(х)а22 ••• Уа2п(х) а2п
Уап1(х)ап1 Га11(х)ап2 ••• Уапп(х) апп
/у[хМ =
fl\Hl(xl),H2(x2),••• Нп(хп), ГПП(х)Пи>ГП1/х)П12>- ГЦ1т1(х)П1т1 АН1(х1), Нп(хп), Уц21(х) П 21' Ут]22(х) П 22'••• Ут12т2(х)П 2т:
/п\Н1(х1), НМ Ущ1(х) П п1 , Уг)п2 (х) П п2 Урт/Фпт,
где }(х) - «индивидуализирующие» функции; х=х1,х2, ... хп.
Учет изменения конфигурации локальных аттракторов после введения различий
между ними
Следствием изменения констант в уравнениях движения является изменение параметров аттрактора, в том числе его конфигурации в фазовом пространстве системы. Для задачи построения композиционного мультиаттрактора (то есть объединения множества локальных аттракторов в единое целое) наиболее существенно то, что при этом возникают различия в размерах локальных аттракторов, а в случае асимметричных аттракторов, также и различия в их положении относительно центров локальных систем отсчета. Соответственно меняются размеры и положения фазовых ячеек, содержащих локальные аттракторы.
Совместить друг с другом такие ячейки без зазоров и перекрытий в общем случае невозможно. Поэтому после «индивидуализации» необходимо так изменить размеры и положение всех локальных аттракторов, чтобы содержащие их фазовые ячейки снова стали одинаковыми и приняли прежнее (такое же как в однородном МА) упорядоченное расположение. (Для этого размеры всех локальных аттракторов и их положение внутри своих фазовых ячеек можно привести, например, к размерам и положению хаотического аттрактора исходной динамической системы).
Нормирование размеров локальных аттракторов требует выполнить локальное преобразование масштаба фазового пространства в пределах каждой фазовой ячейки. То есть в пределах к-й ячейки нужно сделать замену переменных вида:
х
]=1,2,...п,
(3)
где фк,} - коэффициент преобразования масштаба в к-й ячейке по,-й переменной, что изменит размер аттрактора по новой переменной в ф^ раз.
Для приведения локальных аттракторов к одинаковому положению относительно центров локальных систем координат в выражение (3) необходимо привести к виду:
х^^^вк,), ]=1,2,...п, (4)
где в - интервал смещения к-го локального аттрактора по,-й переменной репликации.
Так как перенормировка (4) является линейной, после нее все основные параметры движения на аттракторе (например, характеристические показатели Ляпунова) не изменятся.
Чтобы коэффициенты преобразования масштаба и симметрирующие коэффициенты имели индивидуальные значения в каждой фазовой ячейке, в уравнения движения необходимо ввести соответствующие масштабирующие и симметрирующие функции, обеспечивающие различные значения масштабных и симметрирующих коэффициентов в пределах разных фазовых ячеек. Это можно сделать путем преобразование реплицирующих операторов к следующему виду:
И*](х])=ф](х)И(х]+0](х)), ]=1,2,...п,
где ф](х) и в)(х) - соответственно масштабирующая и симметрирующая функции по у'-й переменной репликации. Значения данных функций, так же как значения весовых функций у(х), остаются постоянными в пределах каждой фазовой ячейки, но меняются от ячейки к ячейке.
После этого уравнения, описывающие динамику системы, имеющей композиционный хаотический мультиаттрактор, состоящий из неодинаковых локальных аттракторов примут окончательный вид:
ф1(х)
ф2(х)
Фп(х)
(5)
Жх,
где х
' Ж
'=1,2,.п; х* = ау(х)И*(х) + /г(х,ц); И*(х) =
а/х)--
'ф(х)И[ +в(х)\
Ф2(х)И2[х2 +02(х)] Фп(х)Ип[хп +Оп(х)]
Та 11 (х) а11 Га12(х)а12 ••• Га1п(х) а1п Уа21(х)а21 Га22(х)а22 ••• Га2п(х)а2п
7ап1(х)ап1 Га11(х)ап2 ••• 7апп(х) апп
1г\х,п\
/}[И*1(х1), И*2(х2),••• И*п(хп), Гт1П(х)Пп>Гт112(х)П12>••• Гг!1т1(х)П /[1(Х1),И2(х2),- Ип(хп), Уrl2l(x)l^21>rт122(x)7^22>••• 7г12ш2(х)П
•/п\И* 1(х1)' И*п(хп), Уг/п1 (х)П п1 ' Ущ2 (х)П п2 '••• 7т1птп(х)Пг
1т 1
2т -
Пример построения динамической системы, имеющей неоднородный композиционный
хаотический мультиаттрактор
Введем различия между локальными аттракторами в "двумерном" композиционном мультиаттракторе, состоящем из аттракторов Лоренца [5], существующем в следующей динамической системе [4]:
^ _ Л\И2 (у + / )-(1 + /) (х)]; ат
_ Н1 (х )И - 2 + /]- Н2 (у + /х );
ау ат
^ = \Н2 (у + / )-/М1 (х)] (х)- Сг, ат
(6)
Репликация исходного аттрактора Лоренца в данной системе производится по двум переменным репликации: х и у=у+/х (/- константа) операторами Н1(х), Н2(у) [1].
Перед введением неоднородностей в мультиаттрактор системы (6) ее необходимо привести к виду (1), то есть, записать уравнения движения относительно переменных репликации:
^ _ ЛНН 2 (у)-(1 + /)Н1 (х)]; ат
_ Н1 (х )И - 2 + /]-Н2 (у)+/Л\И2 Н-(1 + /)Н1 (х )];
ат
^ =\Н2 (у)-/Н1 (х)]] (х)-С2, ат
(7)
(Вследствие того, что в данной системе репликация по переменной г не производится, оператор Н3(г) является вырожденным: Н3(г)=2).
Чтобы получить различия между локальными аттракторами, присвоим константам Л, В, С индивидуальные значения в каждой фазовой ячейке. Для этого преобразуем уравнения (7) к виду (5):
ах_ Гл(х^)Л0[н;(у)-{1+//Н1 (х)] _ Ст
Ф1(х,у)
Су _ Н* (х)Н (х, У ')В0-ф 3 (х, у)( + в3(х, у))+/-Н*2 (у)+/Ул(х, у)Л[Н] (у)-(1+//Н1 (х)] _ ат ф2(х,у)
еЪ _Н()/(х))](х)-Гс(х,у)С0ф3(х,у){2+в3(х,у)) ат
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.