ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 32-42
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 539.3
ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ*
© 2007 г. Г. В. Костин
Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 26.12.06 г.
Исследуются возможности моделирования и оптимизации движений упругих систем с распределенными параметрами. Развивается регулярный интегродифференциальный подход, сводящий широкий класс линейных начально-краевых задач к условной минимизации неотрицательных квадратичных функционалов, и предлагается критерий качества получаемых приближенных решений. Для продольных движений однородного прямолинейного упругого стержня рассмотрен случай полиномиального управления перемещением его конца. Разработан алгоритм построения оптимального управления, которое приводит систему в состояние с минимальной механической энергией в конечный момент времени. Параметры задачи подобраны так, чтобы время переходных процессов было сравнимо с интервалом, на котором исследуются движения. Проведен анализ и сравнение результатов, полученных с помощью метода интегродифференциальных соотношений для одномерной модели тонкого упругого стержня и предложенной приближенной трехмерной модели призматической балки.
Введение. Упругие свойства элементов конструкций могут оказывать существенное влияние на динамическое поведение системы в целом. Некоторые части механических конструкций с распределенными параметрами моделируются как упругие стержни с заданными жесткостными и инерционными характеристиками. Исследование динамики таких систем приводит к широкому классу начально-краевых задач, для решения которых разработано значительное количество численных методов. Одним из наиболее распространенных подходов к решению данных задач является метод разделения переменных [1]. В [2] предложен регулярный метод возмущений (метод малого параметра) для исследования динамики слабо неоднородных тонких стержней с произвольными распределенными нагрузками и различными граничными условиями. На основе классического подхода Релея-Ритца разработан численно-аналитический метод ускоренной сходимости, позволяющий получать достаточно точные значения искомых величин и функций с произвольными распределениями жесткости на изгиб и плотности вдоль стержня [3]. Для моделирования упругих систем широко применяются методы конечномерного приближения решения, сводящие краевые задачи в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, например метод декомпозиции [4].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант < 05-01-00563) и программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" (НШ-9831.2006.1).
Отметим ряд работ, посвященных оптимизации управления упругими системами с распределенными параметрами. Динамика управляемых движений манипулятора с упругими звеньями анализировалась в [5]. В [6-8] на основе механической модели слабого изгиба тонких прямолинейных стержней рассматривались управляемые движения нагруженного последнего звена манипулятора с учетом его инерционности и сил тяжести. Способы управления движением манипулятора с существенными упругими колебаниями руки робота предложены в [9, 10]. Исследовались также вопросы стабилизации заданной позиции упругого стержня [11]. Влияние различных типов управления на амплитуду упругих отклонений прямолинейного стержня в манипуляционной системе с электромеханическим приводом рассматривалось, например, в [12].
В данной работе развивается метод интегродифференциальных соотношений (МИДС), предложенный в [13-16], который применяется для построения оптимальных перемещений упругих систем с распределенными параметрами. На основе МИДС построены алгоритмы оптимизации динамических характеристик продольных движений однородного тонкого прямолинейного стержня. Проведены анализ и сравнение результатов, полученных для различных моделей стержня с помощью МИДС для полиномиальных управлений и квадратичного функционала качества.
1. Постановка задачи. Рассмотрим упругое тело, занимающее некоторую ограниченную область О с кусочно-гладкой границей у. Обычно по-
лагается, что на части границы ун определяются перемещения, на части уа - внешние нагрузки. В предлагаемом подходе на некоторой части границы уна могут задаваться смешанные компоненты векторов перемещений и нагрузок или их линейные комбинации (возможно, например, упругое закрепление на границе). При этом, ун п уст = ум п п Уна = Уа п уист = 0 и уи и уст и уИСТ = у. На тело могут действовать также известные объемные силы Г В предположении малости перемещений, скоростей и деформаций движения тела О описываются системой дифференциальных уравнений линейной теории упругости
Vs - p+ f = 0,
— Г1 ■ 0 _ 0
S = C : e = Cijkfikb
Р = P u•,
0
= 1ГdU1
(1.1) (1.2)
(1.3)
Здесь и далее а№ е0к1, нк, рк - соответственно компоненты тензоров напряжений ст и деформаций £0, векторов перемещений и и объемной плотности импульса р в некоторой декартовой системе координат х = (хх, х2, х3}; 1" - вектор-функция объемных сил; р - объемная плотность тела. Компоненты Сук1 тензора модулей упругости С обладают следующими свойствами симметрии: Сук1 = Су1к = Сщ. Точки над символом обозначают частные производные по времени, знак V = (Э/Эхь Э/Эх2, д/Эх3) -оператор градиента в пространстве координат х. Точка и двоеточие между векторами и тензорами указывают соответственно на скалярное и двойное скалярное произведение.
Ограничимся случаем, когда в каждой точке х е у, где однозначно определена нормаль к границе, краевые условия можно записать в некоторой декартовой системе координат покомпонентно в следующем виде:
акнк + Рк^к = Vк, х еУ;
2 п2 (!.4)
q = (ст- п), ак + вк = 1, к = 1, 2, 3,
где п - единичный вектор внешней нормали к границе у; ц - вектор нагрузки на единичную площадку, ортогональную нормали п. Если ак = 1 на какой-либо части границы у, то, согласно (1.4), через компоненту Vк граничной вектор-функции V задается перемещение нк, а если вк = 1, то - внешняя нагрузка дк.
В начальный момент времени t = 0 известны распределения объемной плотности импульса р и перемещений и как некоторые достаточно гладкие функции координат х
u (0, x) = u (x), p(0, x) = p0(x).
(1.5)
(1.6)
Отметим, что начальные условия (1.5), (1.6) и граничные условия (1.4) должны быть согласованы [14-16].
Компоненты граничного вектора V - либо заданные функции времени t и координат х, либо определенные на некотором классе неизвестные управления
V = V(t, х), х е у\у V; V е V, х еу V. (1.7)
Ставится задача нахождения оптимального управления v*(t, х), х е у^ обеспечивающего перемещение тела из начального состояния (1.5), (1.6) в определенное конечное множество состояний
и(tf, х) е иг, р(tf, х) е Рг (1.8)
за фиксированное время tf и доставляющего минимум заданного функционала качества на классе допустимых управлений V
J [ v ]
. min .
v е V
(1.9)
2. Метод интегродифференциальных соотношений. Для решения задачи (1.1)—(1.6) применим МИДС, описанный в [13-16], отличающийся тем, что некоторые строгие локальные соотношения линейной теории упругости выполняются в интегральном смысле. В данном случае соотношения (1.2) заменяются следующим интегральным равенством
Ф = Цф(t, x)dOdt
= 0,
0 а
(2.1)
Ф = 2[(s - s ) : (e - e ) + (Р - pu-) • (pp - u-)],
0 ^ 0 ^-1 s = C : e , e = C : s.
Здесь введены, используемые в дальнейшем, тензор напряжений s0, выраженный через производные по x от перемещений u, и тензор деформаций e, линейно зависящий от напряжений s. Заметим, что подынтегральная функция ф в (2.1) имеет размерность плотности энергии и неотрицательна. Следовательно, и соответствующий интеграл Ф неотрицателен для произвольных функций u, s и p (Ф > 0).
Предложенная интегральная формулировка (2.1) позволяет свести краевую задачу движения упругого тела (1.1)—(1.6) к вариационной. Действительно, если решение u*(t, x), G*(t, x), p*(t, x) системы (1.1), (1.3)—(1.6) и (2.1) существует, то функционал Ф достигает на этом решении своего абсолютного минимума
Ф(u*, s*, p*) = minФ(u, s, p) = 0 (2.2)
u, s, p
для произвольных функций u, s и p при удовлетворении уравнения движения (1.1), а также краевых и
начальных условий (1.4)-(1.6). В этом случае можно показать, что часть условий стационарности функционала Ф, а именно равенство нулю первых вариаций по напряжениям и плотностям импульса р, т,у = 1, 2, 3, приводит к соотношениям (1.2)
5(Ф = Ц(е - е0) : бстЖОЖ
= 0,
о а г,
(2.3)
5рФ = р 1 Ц(р - ри)5рЖОЖ
= 0.
о а
При допустимости интегрирования по частям вариации по вектору перемещений и имеют вид
5иФ = Ц(Уст0 - Уст + ри"- р^)8иЖОЖ-
о а
-Ц[(ст- ст0)•п]• 5иЖуЖ +
+
(2.4)
0 у
+
|[(р - ри)8и= 07ЖО
= 0.
N..
N
и = X и(к)Ук(г, X), ст = X ¿к\к(г, X),
к = 1
к = 1
(2.5)
р = X р(к)Ук(г, х),
к = 1
(1.1), (1.3)-(1.6), (2.1) при заданных краевых условиях у (г, х).
3. Оптимизация управляемых движений. Применение МИДС к задаче (1.1)—(1.6) дает возможность построения различных численных алгоритмов оптимизации движений, один из которых описан далее. Сначала выбирается система функций ук и фиксируются числа Ши, Ыа, Шр таким образом,
чтобы аппроксимации и, (Г, р в (2.5) могли точно удовлетворить краевые и начальные условия (1.4)-(1.6) при соответствующих коэффициентах и(п), ст(я), р(п) [14]. После этого определяется множество допустимых управлений V, для которых возможно точное выполнение граничных условий (1.4). Из этого следует, что граничный вектор V должен иметь следующую структуру:
(к)— — V (к)
у = X у Ук. Ук = х -
к = 1
X аТ' У 0.
Т = 1
(3.1)
Условие (2.4) выполняется в областях, где верны соотношения (1.2).
Для приближенного решения задачи условной минимизации функционала Ф выберем целые положительные числа Ыи, Ыр и будем искать аппроксимации п , (, р решения и*, ст*, р* в виде
где {ук(г, х), к = 1, 2, ...} - некоторая полная счетная система линейно независимых функций, а и(к), ст(к), р(к) - неизвестные вещественные коэффициенты, записанные в векторном и тензорном виде [14-16]. Базисные функции ук формируются так, чтобы аппроксимац
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.