научная статья по теме ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ТВЕРДОГО ТЕЛА Механика

Текст научной статьи на тему «ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ТВЕРДОГО ТЕЛА»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014

УДК 531.38

© 2014 г. В. Г. БИРЮКОВ, Ю. Н. ЧЕЛНОКОВ

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматривается задача построения оптимальных программных законов изменения вектора кинетического момента твердого тела, сообщение которого телу переводит его из произвольного начального углового положения в требуемое конечное угловое положение за фиксированное время. Минимизируется интегральный квадратичный функционал качества с подынтегральным выражением, являющимся взвешенной суммой квадратов проекций вектора кинетического момента твердого тела. С помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина установлены необходимые условия оптимальности. В случае сферически симметричного твердого тела у задачи есть известное аналитическое решение. Когда тело имеет ось динамической симметрии, полученная краевая задача оптимизации сведена к решению системы двух нелинейных алгебраических уравнений. Для твердого тела с произвольным распределением масс, законы оптимального управления найдены в виде эллиптических функций. Обсуждаются закономерности управляемого движения, а также использование построенных программных законов изменения вектора кинетического момента космического аппарата в системах управления ориентацией с помощью внешних управляющих моментов или вращающихся маховиков.

Ключевые слова: кватернион, кинетический момент, твердое тело, оптимальное управление.

Введение. Актуальной задачей теории оптимального управления угловым движением твердого тела, связанной с созданием высокоточных систем ориентации космического аппарата (КА), которые используют в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики или гиродины, является построение оптимальных программных законов изменения вектора кинетического момента КА, обеспечивающих перевод КА из заданного начального углового положения в требуемое конечное. Такие задачи исследовались, например, в работах [1—4].

В [1, 2] рассмотрена задача построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного твердого тела. В качестве минимизируемых функционалов выступают комбинированные функционалы качества, один из которых характеризует в заданной пропорции время, затрачиваемое на переориентацию и величину интеграла от квадрата модуля вектора кинетического момента, а другой — время, затрачиваемое на переориентацию и величину интеграла от модуля вектора кинетического момента. Управление (вектор кинетического момента твердого тела) полагается ограниченным по модулю. Решение задачи проведено с помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента осесимметричного твердого тела с кватернионом ориентации твердого тела. Кватернионное дифференциальное уравнение записано в системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, колли-

неарной вектору кинетического момента твердого тела, что приводит к задаче оптимального управления с подвижным правым концом траектории. Построены общие аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач, образующих системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений. С их использованием показано, что решение полученных с помощью принципа максимума дифференциальных краевых задач сводится к решению двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Получены в виде явных функций времени зависимости для кватерниона ориентации, вектора абсолютной угловой скорости и вектора кинетического момента твердого тела, описывающие программное оптимальное управляемое движение твердого тела.

В данной статье обсуждается задача построения программного управления угловым движением твердого тела, когда в качестве управления рассматривается вектор кинетического момента твердого тела. Она отличается от задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента твердого тела, рассмотренной в работах [1, 2], постановкой (используется другой функционал качества, время переориентации фиксировано, управление полагается неограниченным) и математической моделью движения. Кроме этого, исследуется не только случай осевой симметрии твердого тела, но и общий случай распределения масс твердого тела.

Следует также отметить, что изучаемая кинематическая задача отличается от хорошо известной кинематической задачи оптимального управления угловым движением твердого тела, рассмотренной в кватернионной постановке для случая быстродействия в [5], а для интегрального квадратичного функционала качества в [6] — присутствием в уравнениях движения массово-инерционных характеристик твердого тела, его моментов инерции. В силу этого кинематическая задача принимает динамическую окраску, а ее решение изменяется кардинально. При условии динамической симметрии твердого тела получаемая дифференциальная краевая задача сводится к решению системы двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений, а в общем случае распределения масс твердого тела приходим к дифференциальной краевой задаче, которую можно решить лишь численно. Только для сферически симметричного твердого тела решение изучаемой задачи практически не отличается от известного аналитического решения задачи кинематического управления.

В статье с помощью теоремы об изменении кинетического момента относительного движения механической системы также показывается, что построенные оптимальные законы изменения вектора кинетического момента твердого тела позволяют найти оптимальные программные законы изменения кинетического момента управляющих маховиков. Такое решение не учитывает собственную динамику управляющих маховиков, однако помогает оценивать предельные возможности систем управления угловым движением КА, использующих в качестве исполнительных органов управляющие маховики, а также дает представление о характере оптимальных программных движений КА. Статья является обобщением и развитием [3].

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу программного управления угловым движением твердого тела, когда в качестве управления выступает вектор кинетического момента твердого тела. Такая постановка задачи возникает, например, при управлении ориентацией КА с помощью управляющих маховиков.

Угловое движение твердого тела описывается кватернионным кинематическим дифференциальным уравнением [5, 7]:

2к = к о га* (1.1)

2А о = —А1Ю1 — А 2Ю2 — А 3Ю3 2^1 = А 0Ю1 + А 2Ю3 — А 3Ю2 2А 2 = А 0Ю2 + А 3Ю1 — А1Ю3 2А3 = А 0Ю3 + А1Ю2 — А 2Ю1

где X = Х о + + х 212 + Х313 — кватернион, характеризующий ориентацию твердого тела относительно инерциальной системы координат £, X' (/' = 0,1,2,3) — параметры Ро-дрига—Гамильтона (Эйлера); ш — вектор абсолютной угловой скорости твердого тела, юх = ю111 + ю212 + ю313 — его отображение на оси системы координат X, связанной с твердым телом; щ (' = 1,2,3) — проекции вектора ш на оси системы координат X; ¡2, 13 — векторные мнимые единицы Гамильтона. Оси системы координат X совпадают с главными центральными осями инерции твердого тела.

Отображение юх выражается через проекции Ь1, Ь2, Ь3 вектора Ь кинетического момента твердого тела на оси связанной системы координат следующим соотношением:

Ю = 1 кЧ + у ¿¿г + -1 Lз1з (1.2)

А 12 13

Здесь 11, 12, 13 — осевые моменты инерции твердого тела, Ц_, Ь3 — компоненты отображения вектора кинетического момента Ьх на оси связанной системы координат.

Подставляя (1.2) в (1.1), получаем

2к = к о

| Ь11 + у Ч 2 + у Ь313 (1.3)

11 12 ^3 )

2Хо - -у А1Ь1 - -1 Х2Ь2 - у Х3Ь3 12 13

2Х 1-у Х0Ь1+у Х2Ь3 1Х3Ь2 13 12

2Х 2— Х0Ь2+7" Х3Ь1-1 Х1Ь3

12 13

2Х 3 =7" Х0Ь3 +Х1Ь2 1Х2Ь1

13 12 11

Задача заключается в построении отображения вектора кинетического момента на связанный базис

Ь х (?) = ¿1(011 + ¿2(012 + ¿3(013

сообщение которого твердому телу обеспечивает его перевод из начального углового положения, задаваемого кватернионом начальной ориентации

Х(0) = X0 (1.4)

в требуемое конечное угловое положение, определяемое кватернионом конечной ориентации

Х(Т) = ХТ (1.5)

При этом должен принимать минимальное значение интегральный квадратичный функционал качества

/ = |(а^ + а2^2 + а3Хз) а1 > 0

(1.6)

характеризующий энергетические затраты на управление. Время управления Т считается фиксированным, а управление — неограниченным. Очевидно, что весовые коэффициенты аI = 1, ; = 1,2,3, если требуется минимизировать интеграл от квадрата модуля вектора кинетического момента, и а, = I-1, ; = 1,2,3, когда минимизируется интеграл от кинетической энергии твердого тела.

Таким образом, в статье рассматривается задача построения оптимальных программных законов изменения вектора кинетического момента твердого тела, сообщение которого телу обеспечивает его перевод из произвольного начального углового положения в требуемое конечное угловое положение за фиксированное время. Изучаемая задача относится к классу так называемых кинематических задач управления вращательным движением твердого тела. В кватернионной постановке эти задачи впервые рассматривались В.Н. Бранцем и И.П. Шмыглевским [5], а затем другими авторами [8—13].

2. Метод решения задачи. Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона—Понтрягина

Н = -(а^2 + а X + а3х3) +

+ 2 Г0

+ 2 м

+ 2 Г2

+ 2 Г3

-"гX1X1 - "Т Х2^2 - "т ^

'1

2

3

-1 X0^1 + -1 X2^3 - -1 X3X2

11 13 12

-1 хох2 + -1 Х3Х1 - -1 Х1Х3

12 11 13

"Т Х0Х3 + "Т Х1Х2 - Х2Х1

(2.1)

где у0(г), ^1(г), у2(г), у3(г) — сопряженные переменные, соответствующие фазовым переменным Х0, А4, Х2, Х3 и удовлетворяющие системе , = -дН/дХI, ; = 0,1,2,3.

Если ввести кватернионную сопряженную переменную у = у 0 + + у 212 + у313, то сопряженная система в кватернионной и в скалярной записи примет вид

= у <

"" АЧ + 2 + ~ Х3^3 11 12 13

(2.2)

2¥0 = -1 ¥1X1 - 1 ^ 2Х2 - Т" ¥ 3X3

11 12 13

2¥ 1 = 7"¥0х! + 1 ¥2Х3 -1 ¥3Х2 11 13 12

1

2¥2 = —¥ 0X2 + —¥ 3X1 —¥1X3

13

1

2\¥3 = —¥0X3 + —¥1X2 - — ¥2X1

I

12

11

0

Отметим, что кватернионное уравнение (1.3) обладает свойством самосопряженности: сопряженное ему кватернионное уравнение имеет ту же форму [5]

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком