ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.958+533.6
ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКИХ КАНАЛАХ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
А. В. КОРЕПАНОВА, аспирант
Ижевский государственный технический университет ул. Студенческая, д. 7, г. Ижевск, Россия, 426069
В статье приведена математическая постановка задачи течения газа в горящем канале. Показано как изменяются исходные уравнения при переходе к криволинейной ортогональной системе координат. Задача построения сеток в областях сложной формы решается комплексным методом граничных элементов. Приведены примеры построения ортогональных сеток.
In the article, the mathematical statement of a problem of gas flow in the burning channel is provided. Change of initial equations at transition to the curvilinear orthogonal coordinate system is shown. The problem of grids construction in irregular-shaped areas is solved with the complex boundary-element method. Examples of construction of orthogonal grids are provided.
Ключевые слова: течение, плоский канал, ортогональные сетки.
Во многих устройствах в качестве рабочего тела используются продукты горения, при этом элементы топлива имеют плоские или цилиндрические каналы. Исследование процессов горения в таких каналах представляет собой сопряженную задачу тепломассообмена, обусловленную эффектом эрозии. Решение такой задачи не возможно без привлечения уравнений гидродинамики продуктов горения в газовой фазе. Параллельно с этим необходимо решать задачу горения в конденсированной фазе. Сопряженность двух задач осуществляется посредством граничных условий на горящей поверхности. В процессе горения первоначально плоский канал под воздействием эрозионных эффектов может превратиться в канал с непараллельными стенками, что нарушает регулярность исходной конечно-разностной сетки. В этой связи актуальной является задача восстановления ортогональности конечно-разностных сеток в процессе решения поставленной задачи. С другой стороны ортогональные сетки помогают находить более точные решения и в случае, когда имеем дело с течением газа в канале с плоскопараллельными криволинейными пластинами.
Исходная физическая область представляет собой пространство, заключенное между двумя бесконечными границами: нижняя граница является плоскостью, верхняя имеет криволинейную плоскопараллельную образующую (рис. 1).
y
A S
' т 1 rj' "Trifs
S(x) ^
/ -
Рис. 1. Исходная физическая область
Рис. 2. Сечение области расчета
z
Данная задача является двумерной, т.е. при её решении можно рассматривать поведение газа только в одном сечении этой области плоскостью, перпендикулярной этим пластинам (рис. 2). Будем рассматривать стационарное ламинарное течение газа.
Течение, обусловленное внешним давлением и горением, описывается следующей системой уравнений [1, 2]:
д(ри )+д(ру) _ 0.
дх д ( 2 дх I ^
дхIрш - т дх 1+тг
дх У дх 0 ду
ду
ди Л д ( -а—|+— дх 0 ду
ри\ - т
ди ду
ду Л д ( 2 дуЛ
ду 0 ду дх ду ду ду
ру -ц-
_ др + дт ди + дт ду.
дх дх дх ду дх _ др + дт ди + дт ду.
д
дТ дЕ,
д
(
—\рИи - А—-¡а—^ рНу - А—-т дх У дх дх 0 ду У ду ду
дТ дЕ, Л
_и
дт ди дт ду
- + -
дх дх ду дх
+
(
+ у
дт ди дт ду
дх ду ду ду
( ди Л +А .
+ а
(дуЛ2
Уду 0
ду ди
+ 2а—— + 0121 рп сП1 е дх ду
у1 су1 е -Е1'(коТ)
+
+ 02 ^2 Р 2 с22 е
V2 V2 -Е2 / (Я0Т)
1)
Механизм горения в газовой фазе будем рассматривать как результат двух последовательных брутто-реакций. В таком случае к системе уравнений добавлены два уравнения для исходных и промежуточных продуктов реакции.
д( п —\Рс1и - А
дх I дх
д_( дх
рс2и - Б-
д(Рс1
ду
д(рс2^, _д_ ду
(
дх
+
рсгу - Ц
Рс 2 у - А
д(Рс1 ) " ду 0
д(Рс 2 ) '
ду 0
_ -гх р 1 с;1 е
^ - Е1/ (КоТ).
_ р 1 с11 е
П1 сП1 е - Ех/ (КоТ)
- Р с2 е р _ рКТ,
гп V го - Ег/ (КоТ).
2)
где и - проекция вектора скорости на ось х; у - проекция вектора скорости на ось у; Т - температура газа; р - давление газа; р - плотность газа; - концентрация /-го компонента (/ = 1 - промежуточные продукты реакции, / = 2 - конечные продукты реакции); т , А , Д - коэффициенты динамической вязкости, теплопроводности и
22 и + у2
диффузии газов; И _ СУТ + Е, +---энтальпия; Е, _
Р 2
- кинетическая энергия; Су
- теплоемкость при постоянном объеме; , Е1, , V1 - тепловой эффект реакции, энергия активации, предъэкспонент и суммарный порядок реакции; К, К0 - газовая постоянная и удельная газовая постоянная;
Для связи динамического коэффициента молекулярной вязкости т и абсолютной температуры Т воспользуемся зависимостью Саттерлэнда [1]:
А о
( т л2 т0 + т„
Т
У10 0
Т+Т
2
где Тс - постоянная Саттерлэнда; Т0, т0 - абсолютная температура и коэффициент
вязкости, соответствующие начальному состоянию газа при Т = Т0.
Предлагаемая постановка задачи включает в себя совместное решение уравнений гидродинамики с уравнениями химической кинетики для продуктов газификации топлива вблизи поверхности гранул со сложной геометрией поверхности. Для определения скорости горения к-фазы используется известное стационарное решение А.Г. Мержанова - Ф.И. Дубовицкого [3]:
* =1
А ск р к
Ек (2Т - Тл - Тн)
ехр
Е,
V 2ВД у
где Тн - начальная температура топлива; Тз1 = Тн + — - температура поверхности
ск
топлива при беспламенном горении; рк , ск , Qk , Ек , 2к - плотность, концентрация,
тепловой эффект, энергия активации и предэкспонент брутто-реакции в к-фазе.
Числа Прандтля и Шмидта, а также теплоемкость продуктов горения при постоянном давлении принимаются постоянными.
На границах области выставляются следующие условия:
1) на входе: и = и0, V = 0, Т = Т0, с1 = с2 = 0 ;
_ч ди дv дТ дс, дс2
2) на выходе: — = — = — = —1 = —2 = 0, р = р0
0
дх дх дх дх дх >
3) на нижней стенке: и = 0, V = 0, Т = Тст, с, = с2 = 0, где Тст - температура стенки;
т
4) на верхней стенке: и = 0 V = —-, где тк - массовая скорость горения, тк = ркик
т дс1
р ■ 8с ду
где 8с =
= тк (с1 -1), т.
т дс2
р
дТ
= ткс2 , скРкик (Т - ТЛ )=
ду
((Ср - ск КТ ,
Р 0 А
р ■ 8с ду
0 - число Шмидта; С - теплоемкость при постоянном давлении.
При численном решении уравнений в области произвольной формы в случае выбора прямоугольной сетки возникает проблема адекватной аппроксимации граничных условий. Для того чтобы обойти этот момент, можно перейти к решению уравнений в обобщенных криволинейных координатах (<% ).
Уравнения модели были переведены к безразмерному виду с использованием
переменных (х,у,р,и, ^р, Ц ,Т) соответствующих масштабам р 0, и0, и0,р 0и0,т 0, Я
2
Я
, где
1 1
к = 118(х№ (рис. 2).
Перейдем в исходных уравнениях (1), (2) к криволинейным координатам. Заметим,
что уравнения можно представить в виде:
де д/ — + — = s.
дх ду 3)
е_
ри
2 1 ди
Ри А ИГ
Яе дх 1 ду Руи А — ке дх
рИи - — Яе
рс1 и
(
-А
Рг(к -1) дх
Д
дТ дЕ, Л + а—-дх
1 ~ д(рс1)
0
8с ■ Яе дх рс2и --Д д(рс2)
8с ■ Яе
дх
, I _
ру
1 ди
РиуА— ке ду
2 1 ду ке ду
рИу - — ке
Рсху-
Рс2у-
(
-А
Рг(к -1) ду 1
дТ дЕк Л
+ а
8с ■ Яе 1
Д ^
ду д(Рс2 )
ду
0
Д
ду
5 _
др 1 дх Яе
(
дт ди + дт ду дх дх ду дх
др 1 дА ди + дА ду ду Яе Удх ду ду ду 0
Яе
\ дА ди дА ду | ( дА ди дт ду Л
Л
+
+у
дх дх ду дх 0 У ^ ду ду ду
+
+ а
ди |2 ( ду Л
+
дх0 Уду0 дх ду
ду ди + 2--
Л
+
00
+
И
3
Р 0и0
Р 0РП1 с° ехр
Е1 К
У К0и0Т
+ Р0020222Р02с22 ехр
Е2 К
Л
У К0и0Т 00
,о1 -1со1 -1
0 610 - 21Р01 с0 ехр
ир0
и
(
0
Е К
У К0и0Т 0
21р 1 с11 ехр
Е1К
У К0и0Т 0
ир0
(
и
~ 22 Р 2 с22 еХР
Е2 К
У К0и02Т 0
0
1
и
2
и0с20
Р0и0 И ¡0Ср где Яе _ 00 - число Рейнольдса; Рг _--
А0
- число Прандтля;
С
к _
Ср
перехода от декартовой системы координат к
А 0 '"0 показатель адиабаты.
Пусть известны функции криволинейной и наоборот:
[% _ Х (х, у) |х _ х(Х я) \л _ яу)' |у _ у(хя)'
Связь производных в различных системах координат записывается в следующем
виде:
де дХ + де дя д1 дХ дх
I д!+1 дя
дХ ду
де _ _ „ - + - ■
дх дХ дх дя дх' ду дХ ду дя ду 4)
Применим к уравнению (3) преобразование Вивьяна-Винокура [4], т.е. умножим
обе части уравнения на якобиан I и запишем операторы производных в соответствии с
дх ду дх ду (4), где I .
дХ дя дя дХ
(
I
де дХ + де дя + д/ дХ + д1 дя дХ дх дя дх дХ ду дя ду
\
_ 15,
дХ
дХ тгд%
дх
+ -
д
(
ду) дц
дц дц
\ (
д тд% . д тдХ
¡ее+ ¡/-!- - е—1+ /—I —
дх ду 0 ^ дд дх дд ду
( д тдц г д тдц Л е—I—- + /—I—-дц дх дц ду 0
= ¡5.
Связь между производными прямого и обратного преобразования координат выражается зависимостью:
~Х х Х у ' хх хц
ц х ц у _ _ ух уц _
5)
С учетом (5) неконсервативные слагаемые в (4) взаимно уничтожатся, и уравнение принимает вид:
д ( дХ дХ Л д ( дц дцЛ
дХ
¡е^- +1/— +
дх ду 0 дц
¡е-1- + ¡/—-дх ду
= ¡5.
6)
Подставляя в (6) различные компоненты векторов / , е , 5 соответствующие шести различным уравнениям, а также учитывая что линии уровня в новой системе координат ортогональны, получим систему уравнений в криволинейных ортогональных координатах:
— + — = В + И. + Н2 + Н3 + Н4,
дХ дц 1 2 3 4.
тт дХ дХ
и = и — + V—, дх ду
т. дц дц
V = и—- + V—-. дх ду
7)
Е = ¡
рии - т
Яе
р^ - т
Яе
ри
( ди диЛ
дХ дц
дv дv
дХ дц
к ( дТ дТ Л 1 ( дЕ
риН - КеР^}аХ + у12дц)-ЯеГ" 05
д(рс1), У д(рс1л
+ У
дЕк. Л
дц
РиС -
1
8с Яе
а
У
V
1(
рис2 --— а
2 Бс Яе 2
Уп
дХ
д(РС2 )
+ У
12
дц 0 д(РС2 У
V
дХ + У12 дц
д
^ = I
рУп - т Яе
рУу - т Яе
(
рУ
21
Р2
V
рУН -
дТ_
РгЯе(к - 1)'\г21 ~д% ' Г22 дц 0 Яе дХ ' Г22 дц
дп дп
Р 22 дх дц
дv дv
+ Р22 дх дц
дТ ] т {
СЕк дЕк ^ к + (р, к
рУс1 -
1
(
-Д
£>с Яе ч 1 Г РУС2 - ^ Э
Р21 ^ + Р22 ^)
д(РС2 ) + р д(РС2 )"
(21 д / 7 + Р22
дХ дц
(
Н 2 = I
1 дт Яе дц 1 дт Яе дц 1 дт Яе дц
(
(
21
0
дц
дх дц дх дц
дц
ду _ дц
ду
л л дц
а1--+ а 2 —
дх ду 0
0
; н з = I
0 0 0
(шп + + ^12 а21 )
ке
0
Н 4 = I
к
з
Р 0 п0
Р о101 1РУ1 СГ' ехр
0 0
Е1Я
V Яо поТ 0
+ РГ20212РГ2с22 ехр
кР г1 -1
кР 1-1
^ Р01 с^ ехр
п0
Г
о 2
Г Е1Я Л
Г Е2Я ЛЛ
V Яо по Т 00
пс
г1 р 1 с11 ехр
Е1Я
V Яо п 2Т 0
кР 0
V Яо поТ 0
12 Р 2 с22 ехР
V Яоп о Т 0 0
и,У - контравариантные составляющие скорости.
Сист
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.