МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. Э. Н. БЕРЕСЛАВСКИЙ
ПОСТРОЕНИЕ ПОДЗЕМНОГО КОНТУРА ГИДРОТЕХНИЧЕСКОГО СООРУЖЕНИЯ С УЧАСТКАМИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ОБТЕКАНИЯ
Строится подземный контур заглубленной прямоугольной плотины, углы которой округлены по кривым постоянной величины скорости фильтрации, а водопроницаемое основание подстилается водоупором с криволинейной кровлей, характеризуемым постоянством скорости обтекания. Решение соответствующей краевой задачи осуществляется с помощью полуобратного применения метода годографа скорости. Приводятся результаты численных расчетов и дается анализ влияния основных определяющих параметров модели на форму и размеры подземного контура плотины и криволинейного водоупора. Подробно изучаются предельные случаи, когда водопроницаемое основание плотины имеет неограниченную мощность: обтекаемый флютбет с горизонтальной вставкой и обтекаемый шпунт (зуб).
Ключевые слова: фильтрация, грунтовые воды, плотина, флютбет, шпунт, годограф скорости, конформные отображения.
Впервые вопросам необходимости и целесообразности применения плавных подземных контуров в гидростроительстве было уделено внимание в [1-3]. Существенное развитие эти идеи получили в [4, 5], где впервые был применен обратный метод. Это позволило построить подземный контур криволинейного флютбета, характеризуемого постоянством скорости обтекания, в случае, когда водопроницаемое основание подстилается водоупором с горизонтальной кровлей. Был также рассмотрен целый ряд смешанных краевых задач, когда одни участки подземного контура считаются заданными по форме, а другие определяются из условия постоянства величины скорости фильтрации. В результате были получены эффективные решения для случаев прямоугольного флютбета, углы которого округлены по кривым постоянной скорости обтекания, а также шпунта, округленного в его нижней части.
Эта работа дала толчок к развитию целого направления - отысканию контуров гидротехнических сооружений по заданным их свойствам и породили многочисленные исследования, посвященные течениям подобного рода. В том числе были рассмотрены течения с дренирующим основанием, криволинейным водоупором и др. при заданном распределении какой-либо из фильтрационных характеристик вдоль подземного контура плотины. Эти решения принадлежат главным образом казанской школе механиков [6-8].
В отличие от [4, 5] ниже рассматривается построение не только плавного подземного контура заглубленной прямоугольной плотины, но и определяется очертание подстилающего водопроницаемое основание криволинейного водоупора, характеризуемого постоянством скорости фильтрации. Решение соответствующей многопараметрической смешанной задачи теории аналитических функций осуществляется с помощью применения полуобратного первого варианта годографа скорости [9]. С помощью полученных аналитических зависимостей и численных расчетов проводится анализ структуры и характерных особенностей моделируемого процесса, а также влияния всех определяющих физических параметров модели на характер течения. Подробно изучаются предельные случаи течения, связанные с вырождением параметров конформного отображения, которые содержатся в решении: схемы обтекаемых флютбета и шпунта (или зуба).
Фиг. 1. Подземный контур заглубленной прямоугольной плотины при Н = 2, г>0 = 1, б = 1.14, М = 0.296 и АЛ = 0.295
1. Постановка задачи. Рассматривается плоское установившееся течение под водонепроницаемым подземным контуром заглубленной прямоугольной плотины ABCC1B1A1 (фиг. 1). Пусть контур основания плотины AA1 состоит из двух вертикальных отрезков AB и A1B1 одинаковой длины, среднего горизонтального отрезка CC1 и примыкающих к ним дуг кривых BC и B1C1 с постоянной величиной скорости их обтекания \w\ = v0. Снизу область течения ограничена криволинейным водоупором FEF1, на котором величина скорости фильтрации постоянна \w\ = u0 (0 < u0 < и0). Предполагается, что границы верхнего и нижнего бьефов горизонтальны, грунт однороден и движение подчиняется закону Дарси с известным коэффициентом фильтрации к = const. Действующий на сооружение напор Н, скорость обтекания и0 и фильтрационный расход Q считаются заданными.
Введем комплексный потенциал движения ю = ф + гу, где ф - потенциал скорости, у -функция тока (область изменения переменной ю представлена на фиг. 2) и комплексную координату z = x + iy, отнесенные соответственно к кН и H. Тогда u = gradф = -Kgradh, где напор h = p/y + y, p - давление, у - удельный вес фильтрующейся жидкости [5, 9]. Задача состоит в определении положения кривых BC, B1C1 и FEF1 при краевых условиях
A1F1: y = 0, ф = -0.5Н; AxBx: x = -l, у = Q
C, C: y = -d, у = Q; AB: x = l, у = Q 1 (1.1)
AF: y = 0, ф = 0.5H; FEF,: у = 0, |w| = u0
B1C1, BC: |w| = и
0
2. Построение решения. Рассмотрим область комплексной скорости ц>, соответствующую краевым условиям (1.1) (фиг. 3, а). Эта область, представляющая собой круговой
А
Fi
Фиг. 2. Область комплексного потенциала течения
B,
А,
а
Fx — \
\w\ = Uo
E D Ci
0 J C
F j
А ©
B \w\ = Vo
0.5 р
F
А
©
E
ТГ b
D
C
0.5 u
Фиг. 3. Область комплексной скорости (а) и вспомогательной параметрической переменной (б)
семиугольник с прямыми углами и разрезом CDC1; ограничена дугами концентрических окружностей и отрезками прямых, проходящих через начало координат.
Согласно традиционному подходу [10, с. 175] подобные многоугольники посредством логарифмической функции преобразуются в прямолинейные с последующим применением формулы Кристоффеля-Шварца. Однако этот путь увеличивает количество параметров конформного отображения. К этому дополняются и трудности, связанные с нарушением конформности отображения в критических точках w = 0 и w = «> при этом используемой логарифмической функции. Разработана также методика построения отображающих функций на основе решений соответствующих уравнений класса Фукса [11].
Ниже используется принцип симметрии Римана-Шварца [5, 10], который приводит к существенному сокращению неизвестных констант. Конформное отображение реализуется при этом непосредственно в замкнутой форме через специальные функции, про-
a
B
0
стой и удобной для последующих практических целей; все искомые параметры отображения определяются попутно в ходе построения решения.
Ввиду полной симметрии на плоскостях z, ю и ^ ограничимся рассмотрением области движения ABCDEF (фиг. 1) и соответствующих ей одноименных областей на плоскостях ю и ц> фиг. 2 и 3, а.
Учитывая специфические свойства многоугольников в полярных сетках, связанные с обилием прямых углов, удобно при конформном отображении в качестве канонической области плоскости т взять прямоугольник [12] (фиг. 3, б)
0 < Яет< 0.5, 0 < 1тт< 0.5p; р (к) = КЧК, К = К(к'), к' = лЛ- к2
Здесь К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода при модуле к. Тогда функция, совершающая конформное отображение этого прямоугольника на четверть кольца плоскости скорости w, выражается как
^(т) = и0ехр (т -0.5 )пг (2.1)
отсюда определяется физический параметр и0 = и0ехр(-0.5лр).
Конформно отобразим прямоугольник вспомогательной переменной т на область комплексного потенциала ю (фиг. 2). В результате
0.5
ю = вдF
Ып( 2 Кт, к) агс81п —- , т
к л/ 1 - Х^п2 (2Кт, к) .
(2.2)
т
= к7( 1 - к'2А2В2)/(1 - к'2А2)X2, X = - к'2В2, А = &п(2Ка, к'), В = 8п(2КЪ, к')
где F(ф, т) - эллиптический интеграл первого рода, 8п(ф, к), еп(ф, к) и dn(ф, к) -эллиптические функции Якоби (соответственно синус, косинус и дельта) при модуле к. При этом должно выполняться соотношение
К"(т) = 2д
К(т) Н ( .3)
связывающее между собой физические параметры 2 и Н.
Для решения задачи используем первый вариант способа годографа скорости [9, с. 250, 251]. Принимая во внимание соотношения (2.1) и (2.2) и поступая аналогично [13], придем к зависимостям
Лю = С8П( 2 Кт, к ) сп ( 2 Кт , к ) = С8п ( 2 Кт, к ) сп ( 2 Кт, к ) ехр ( (0 .5 - т ) п I) йт А(т) ' Лт Ц)Д(т) (2 4)
А(т) = 7[ 1 - Х28п2(2Кт, к)] [А2 + (1 - А2)8п2(2Кт, к)]
где С > 0 - масштабная постоянная моделирования. Можно проверить, что функции (2.4) удовлетворяют граничным условиям (1.1), сформулированным в терминах функций йю/йт и dz/dт, и, таким образом, являются параметрическим решением исходной краевой задачи. Запись представлений (2.4) для различных участков границы области т с последующим интегрированием по всему контуру вспомогательной области приводит к замыканию контура области движения z и тем самым служит контролем вычислений.
В результате получаем выражения для основных геометрических и фильтрационных характеристик
0.5 0.5 0.5
и [ XBCdt = Al, U Г YBCdt = Ad, C f ФEFdt = 0.5H (2.5)
Uo 0 U 0 0
t t xbc( t) = l - и Í XBCdt, yBC( t) = - d!- и J YBCdt, 0 < t < 0.5 (2.6)
0
t
(t) = L - - f XEFdt, yEF(t) = -- f YEFdt, 0 < t < 0.5 (2.7)
u0J u0J
00
sn(2Kt, k)cn(2Kt, k)
Al = l - 11( Ad = d - d 1( L = l + l2, XBC = sinnt-
A( t)
Y _ cossn( 2Kt, к) cn( 2 Kt, к) ф _ dn ( 2 Kt, к') X _ sin_,ф YBC _ coSnt-^(t)-, фEF _ -XJj)-' Xef _ Sin^t^^^F
Yef _ cosntФEF, A1 _ J[dn2(2Kt, к) - ] [ 1 - A2dn2(2Kt, к')]
Здесь xBC, yBC - координаты точек подземного контура плотины BC, xEF, yEF - координаты криволинейного водоупора EF.
Полагая в уравнениях (2.6) и (2.7) t = 0.5, находим искомые размеры подземного контура флютбета и криволинейного водоупора
¡1 _ Xbc(0.5), di _ Увс(0.5); L _ l + l2 _ Xef(0.5), T _ yEF(0.5)
Контролем счета служат другие выражения для расхода Q и геометрических размеров l2 и T
0.5р 0.5р
Q _ C J VAFdt _ C J VDEdt (2.8)
a b
0.5 p 0.5p
¡2 _ U J XAFdt, T _ d + U J YDEdt (2.9)
v0 J v0 J
ab
VAF _ (AKt) )' VDE _ (A3(t) )' XAF _ VAFexpnt' YDE _ VDEexpПt
A2 = V[sn2(2Kt, к) - A2] [ 1 - ^,2sn2(2Kt, к)]
A3 = J[sn2(2Kt, к) - B2][ 1 - k'2A2sn2(2Kt, к)]
3. Предельные случаи. Обтекаемые флютбет и шпунт. Остановимся на случае, когда поверхность водоупора залегает весьма глубоко. Тогда в плоскости движения г точки Е и ¥ сливаются на бесконечности, а прямоугольник плоскости вспомогательной переменной т превращается в полуполосу 0 < Яет < 0.5, 0 < 1тт < (фиг. 3, б), поскольку модуль к = 0, к = 1, К(0)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.