АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 1, с. 70-73
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 521.19
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ЛУНЫ © 2013 г. В. В. Пашкевич, Г. И. Ерошкин
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 31.10.2011 г.
В данном исследовании впервые получены новые высокоточные полуаналитическое и численное решения задачи о вращательном движении Луны для применения на долгосрочном 418.9-летнем интервале времени. Динамика вращательного движения Луны изучается численно с помощью параметров Родрига—Гамильтона относительно неподвижной эклиптики эпохи 12000. Результаты численного решения рассматриваемой проблемы сравниваются с компилированной полуаналитической теорией вращения Луны ^МЯ). Начальные условия для численного интегрирования взяты из Невязки сравнения, полученные при сравнении численных решений с $МЯ, не превосхо-
дят 1.5'' на временном интервале 418.9 лет. Исследование невязок сравнения численного и полуаналитического решений выполняется методами наименьших квадратов и спектрального анализа в ньютоновом случае. Все периодические члены, описывающие поведение невязок сравнения, интерпретируются как поправки к полуаналитической теории £МЯ. В результате построены ряды, описывающие вращение Луны (МК32010) на исследуемом интервале времени. Численное решение для вращения Луны получено заново, с новыми начальными условиями, вычисленными с помощью МКБ2010. Расхождения между новым численным решением и МК32010 не превосходят 20 мс дуги на интервале времени 418.9 лет. Результаты сравнения приводят к выводу, что ряды МКБ2010 более точно описывают вращение Луны, чем ряды
DOI: 10.7868/S0320930X13010052
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем исследовании разработана итерационная схема для исследования проблемы вращения Луны. В результате ее применения были построены новые высокоточные численное и полуаналитическое решения вращения Луны на интервале времени 418.9 лет. Основной целью нашего исследования являлось построение более согласованного решения задачи о вращении Луны в ньютоновом приближении. Это является необходимым этапом для последующего построения решения задачи о вращении Луны в постньютоновом приближении.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОБЛЕМЫ
Численное решение проблемы получено путем решения дифференциальных уравнений Лагран-жа второго рода для вращения Луны относительно неподвижной эклиптики на эпоху 12000. Решается уравнение Лагранжа второго рода
—^= 0, I = 0,1,2,3, & дХI
где Ь = Т + и, Т — кинетическая энергия вращательного движения Луны и и — силовая функция гравитационного взаимодействия Луны с возму-
щающими телами (Земля, Солнце и большие планеты). Силовая функция U раскладывается в ряд по сферическим гармоникам, и используются только члены с коэффициентами Cj0 для j = 2, 3, 4; с22, Сзк, S3k для к = 1, 2, 3; С4к, S4k для k = 1, ..., 4. Значения этих коэффициентов берутся из полуаналитических решений проблемы (Eckhardt, 1981; Moons, 1982). Орбитальное движение возмущающих тел определяется эфемеридой DE200/LE200.
Параметры Родрига—Гамильтона
. 0 у + ф . .0 у - Ф
А0 = cos—cos——-, А, = sin—cos——-,
0 2 2 1 2 2
-i . 0 . у - ф . 0 . w + ф
А2 = sin-sin-—А3 = cos—sin——-2 2 2 3 2 2
являются функциями углов Эйлера у, 9 and ф. Параметры Родрига—Гамильтона — ограниченные переменные. Это очень важно для численного решения задачи. Заметим, что дифференциальные уравнения вращательного движения Луны в углах Эйлера содержат аналитическую
особенность вида sin-10, ограничивающую выбор координатной системы. Использование параметров Родрига—Гамильтона в качестве переменных задачи позволяет устранить эту особенность. Диф-
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ
71
ференциальные уравнения вращательного движения Луны в параметрах Родрига—Гамильтона были нами получены из уравнений Лагранжа второго рода. Их вид, как и более подробное описание математической модели проблемы, приводится в нашей статье (Eroshkin, Pashkevich, 1997).
Для численного решения задачи применяется метод высокоточного численного интегрирования (Belikov, 1990) с рядом модификаций (Ерош-кин и др., 1993). В результате применения итерационной схемы численное решение строится заново для каждой новой итерации. Для первой итерации начальные условия численного интегрирования берутся из построенной нами полуаналитической теории SMR (Eroshkin, Pashkevich, 1997). Для каждой последующей итерации берутся новые начальные условия, полученные из новых построенных нами полуаналитических решений, и выполняется новое численное интегрирование. В данном исследовании при построении численных решений вращения Луны учитываются все эффекты, входящие в скомпилированную нами (Eroshkin, Pashkevich, 1997) полуаналитическую теорию SMR. Полуаналитическая теория вращения Луны (SMR) состоит из соотношений Кассини и полуаналитического решения проблемы физической либрации Луны, которое включает следующие четыре решения:
(а) MP500 (Moons, 1982) решение для членов возмущающей функции 3-й степени (С^0 для j = 2, 3;
с22, c3k, s3k для k = 1, 2, 3).
(б) Дополнительное (Eckhardt, 1981) решение для членов возмущающей функции 4-й степени (C40, C4k, S4k для k = 1, ..., 4).
(в) Влияние планетных возмущений на вращение Луны (Moons, 1984).
(г) Влияние сжатия Земли на вращение Луны (Pesek, 1982), иными словами, учитывается нецентральность гравитационного поля Земли.
В результате компиляции и редукции этих решений с эклиптики даты на неподвижную эклиптику эпохи J2000 (Eroshkin, Pashkevich, 1997) построена полуаналитическая теория вращения Луны (SMR) относительно собственного центра масс.
Выражения для членов физической либрации для неподвижной эклиптики эпохи J2000:
(а) т = ф + у -180° - Lc,
(б) р = 0 -1,
(в) а = у - Q,
где у — долгота нисходящего узла эпохи J2000 лунного экватора; 9 — наклон лунного экватора к неподвижной эклиптике J2000; ф — угол собственного вращения между нисходящим узлом эпохи J2000 и главной осью минимального мо-
мента инерции; I — средний наклон лунного экватора к эклиптике даты; Ь — средняя долгота Луны; ^ — средняя долгота восходящего узла ее орбиты; т, р и а — члены физических либраций в долготе, наклоне и долготе узла соответственно.
Выражения для невязок сравнения между численным и полуаналитическим решениями физической либрации Луны представлены следующем образом:
Tsjk Sin(vjo + Vjit) +
j k=0
+ t Cjk cos(v jo + v jit)] tk
3
AP = ZZ[Psjk Sin(V j0
j k=0
+ Pcjk cos(vj0 +V jit)] tk
V jiO-
AI o = I Ц[ О Sjk sin(v j0 +V j1t) +
j k=0
+ О Cjk cos(v j0 + v flt)] tk
где Vjq, vj1 — фазы и частоты теории SMR соответственно, t — время в юлианских днях.
Исходная полуаналитическая теория вращения Луны SMR является, по нашему мнению, неудовлетворительной ввиду ее компилятивного характера. Для этого необходимо устранить компилятивный характер этого решения, согласовав теорию вращения Луны, а затем на ее основе получить новое высокоточное численное решение. Согласование теории происходит по следующей итерационной схеме.
Исследование невязок результата сравнения численного решения с полуаналитическим решением методами наименьших квадратов и спектрального анализа.
1. Построение спектра мощности невязок сравнения: используя множество частот полуаналитической теории SMR, методом наименьших квадратов вычисляются амплитуды спектра.
2. Методом наименьших квадратов вычисляются амплитуда и фаза наибольшей гармоники спектра.
3. Эта гармоника исключается из невязок сравнения и множества рассматриваемых в SMR гармоник, и вычисляется новый член либрации, равный сумме вычисленных коэффициентов периодического и пуассоновых членов невязок сравнения и коэффициентов соответствующего периодического члена в SMR.
4. Шаги 1—3 повторяются для всех гармоник SMR.
В результате построены новые ряды либрации Луны.
3
3
72
ПАШКЕВИЧ, ЕРОШКИН
0.5 -0.5
i-Q
I -0.5 £
«S 0 5 U
(а) Численное решение минус решение SMR
--W/,',' А/а
1.5
20
(б) Численное решение-2 минус решение MRS2010
1750
2000 Годы
Ар S 20
£ м
е с ли
Ат ¡ 20 и
£ 0
2169
0 20
1750
2000 Годы
А/а
Ар
Ат
2169
Невязки сравнения между численным и полуаналитическим решениями вращения Луны.
Проводится заново численное интегрирование дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода для вращения Луны с новыми начальными условиями численного интегрирования, вычисленными с помощью полуаналитической теории вращения Луны, полученной на данной итерации.
Оказалось, достаточно выполнить 2 итерации, в результате были получены численное и согласованное полуаналитическое решение.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Все вычисления численного решения задачи о вращении Луны были произведены с четверной точностью (32 десятичных знака). Начальные условия численного интегрирования вычислены с помощью полуаналитической теории вращения Луны 8МЯ. Ряды 8МЯ состоят из 380 периодических членов с периодами от 5.648 суток до 84541.30 лет. Невязки сравнения между численным решением и 8МЯ получены в возмущающих членах физической либрации на интервале времени 418.9 лет с шагом в одни сутки (рисунок, случай (а)).
Результат сравнения численного решения с полуаналитическим решением 8МЯ исследуется с помощью методов наименьших квадратов и спектрального анализа. Совокупность частот теории 8МЯ использована без изменений. В результате построены новые ряды либрации Луны МЯ82010. В новых рядах либрации Луны были только уточнены коэффициенты периодических членов и вычислены новые коэффициенты для отсутствовавших в рядах 8МЯ пуассоновых членов.
В заключительной части данного исследования строится заново численное решение для вращательного движения Луны с новыми начальными условиями, вычисленными с помощью полуаналитического решения МЯ82010. Это решение
включает 1433 периодических и пуассоновых членов. Появление пуассоновых членов в гармониках является следствием главного отличия рядов MRS2010 от рядов SMR.
Результаты сравнения нового численного решения вращательного движения Луны с новым полуаналитическим решением MRS2010 предста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.