АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 5, с. 390-394
УДК 521.17
ПОСТРОЕНИЕ ВЕКОВОЙ СИСТЕМЫ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
© 2013 г. Т. В. Иванова
Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург Поступила в редакцию 20.11.2012 г.
Для построения аналитической теории движения Луны с учетом планетных возмущений используется методика общей планетной теории ОРТ. При этом Луна рассматривается как дополнительная планета к восьми большим планетам. Следовательно, согласно методике ОРТ теория орбитального лунного движения может быть представлена в виде рядов по эволюционным эксцентрическим и об-лическим переменным с квазипериодическими коэффициентами, являющимися функциями средних долгот больших планет и Луны. Зависимость эволюционных переменных от времени определяется тригонометрическим решением автономной вековой системы, описывающей вековые движения перигея и узла Луны с учетом вековых планетных неравенств. Координаты больших планет, необходимые для построения теории движения Луны, включают в себя только кеплеровские члены, промежуточную орбиту и линейную теорию относительно эксцентриситетов и наклонов в первом порядке относительно масс. Все аналитические вычисления выполняются с помощью специализированного эшелонированного пуассоновского процессора ЕР$Р.
БО1: 10.7868/80320930X13040026
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе аналитическая теория движения Луны с учетом планетных возмущений строится в тригонометрической форме относительно средних долгот восьми больших планет и Луны. Как правило, эта форма соблюдается при решении главной задачи, но она нарушается при учете планетных возмущений, поскольку существующие теории движения Луны обычно используют классические планетные теории, приводящие к появлению вековых и смешанных членов относительно времени. И только общие планетные теории обеспечивают тригонометрическую форму аналитического решения, поскольку не содержат фиктивных вековых и смешанных членов.
Разрабатываемая теория орбитального движения Луны строится в рамках общей планетной теории ОРТ (ВгишЪег§, 1995). Эта теория основывается на идеях введения промежуточной орбиты, обобщающей вариационную кривую Хилла, на разделении быстрых и медленных переменных и на применении нормализации Биркгофа для построения и решения вековой системы. В результате ОРТ позволяет представить координаты больших планет в виде степенных рядов по эволюционным эксцентрическим и облическим переменным с квазипериодическими коэффициентами, являющимися функциями средних долгот всех планет. Поведение эволюционных переменных определяется тригонометрическим решением автономной вековой системы.
Чтобы представить теорию движения Луны в той же самой форме, Луна рассматривается как дополнительная планета в ансамбле восьми больших планет.
Предлагаемая теория является непосредственным развитием работы (Брумберг, Иванова, 1985), исследующей движение Луны в рамках главной задачи.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Уравнения движения Луны в геоцентрических прямоугольных координатах х, у, z описываются в классической форме
х = ди, у = ди, = ди
дх' ду' 81
(1)
с силовой функцией и, определенной выражением
тт 2 2
и = п а
а + (Пз
М,
п! м, + М-
I \к+Ч '
■Iл|к-1)(г) |а-
к=1
чк+2
4„(шз) + I (('-
I а;
к=1
(к-1) Г
,=1,1 к+1
м,-
п) М, + М ,
а/ IА3 ,
к+2
Рк+1(®,)
2
х
8
ои
Мъ = Ме + Мт,
#-1) = € к
а,
к-1
€'=( М)2+(Мл 2
А 31 = г3 - г1>
ю3
гг3
гг3
г(г, - г1)
гА3
X +
V—Ту = а(1 - р) ехр л/—
X, +
л/-1у;- = а ,(1 - р1 )ехрл/-а,,
= Р1, г = а, ^ = wi. В новых переменных уравнения лунного движения принимают форму
р + ъГПр - 3п2(р + 4) = п2Р,
2 2 и> + п V = п Ж
р (кер) =-1 -1 р - 3 4 + (1 - р) а ,
2 2
Ж(кер) = |1 - а_ | ^ Г
(7)
(4)
с правыми частями
о 1 1 3,2 д^ ™ ,1 дСТ Р = -1 — р + -п—> Ж = V ^-тт—• (5)
2 2 п а дд
п 2а2 д^
ПРАВЫЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Правые части Р и Ж в данной работе представляются в виде:
р = р (кеР) + р (8о1) + р (Р1а) Ж = Ж (кер) + Ж (801) + Ж (р1а).
(6)
Р(;ю1) и Жво1) появляются благодаря действию Солнца:
'3 '
Здесь М, Ме, Мт — массы Солнца, Земли и Луны соответственно. а, п, г — большая полуось, среднее движение и радиус-вектор геоцентрической Луны соответственно. М, а,-, п, г, (- = 1, 2, ..., 8) — масса, большая полуось, среднее движение и радиус-вектор большой планеты с номером - соответственно. Рк(ю) — полиномы Лежандра. Для Луны наряду с безиндексными переменными используются переменные с индексом 9.
Согласно методике ОРТ, вместо прямоугольных координат х, у, z вводятся безразмерные комплексно-сопряженные переменные р, # и вещественная переменная w
>М) _ п3
М,
п! М5 + М-
I €к I ±
к-1
пМ) р ,
к-1
к=1
/■ \к+2 3
рГ = (1 - р) (() ^ ск2-1(®3) -
/ \к I „ Л2+3 3 - (1 - р3)с-1 (() ] с2(«3),
(8)
Ж
М) _ «3
М,
п! М, + М3
к=1
2 € к I Ж
к-1
_ _ (3)
д = р, г = а^, w =
представляющие собой отклонения от плоской круговой орбиты с радиусом а. Здесь X — средняя долгота, черта сверху означает комплексно-сопряженную величину. Переменные р, # имеют порядок малости эксцентриситета, а переменная w — порядок малости наклона орбиты Луны.
Гелиоцентрические координаты больших планет подвергаются аналогичному преобразованию
к-1
/■ \к+2 3
^ I Ск2-1(Ш3) +
(9)
+ ^3 -
3
/■ \к+3 3
^ I СКщ).
V г3 У
Р(р1а) и Ж(р1а) ответственны за планетные возмущения:
8 / \ 2
3(р1а) _ ^ пП М' V € I а
" М+М; 1€к1"
ркЫ)=(1 - р)1 г
л2-1 г \ а
2+2
а,
' 2=1
к-1Г„ \2+2 3
а3; | г2
А
п(р1а)
^ 3, /
С2-1( щ) -
Ж
(р1а)
(1 - р3) с-^^3 - (1 - р1 )С
% а3
(10)
= II п
п\2 М1
,Ап М, + М
¡=1,1*3 5 ' 2=1
ттл(р1а) IГ
ж к ' = -м>'
I € 21 а
+ |г
V а31
2=1
/ \к+2
а3, 1
VAз¡)
\ /
а.] а3,
а3,) VДз,^
к+3 3
к-1 /■ \ к+2 а; I
I ¡2 •>
V а3,)
С2-1 (ю,) + (11)
^ I сКю)-
Здесь Р(кер) и Ж(кер) соответствуют кеплеровскому геоцентрическому движению Луны:
Здесь а3 , = тах{а3, а,-}, С^(ю,-) — полиномы Геген-бауера.
Все правые части разлагаются в ряды Пуассона по степенным и эспоненциальным переменным
р,рьдь= ехр^-Кк-Х,), I = 1,2,...,8.(12)
При построении теории движения Луны нет необходимости иметь полную теорию движения
да
2
да
2
8
392
больших планет. Достаточно использовать только кеплеровские члены и результаты линейной теории с точностью до первого порядка относительно планетных масс. Следовательно, координаты больших планет, необходимые для построения теории движения Луны, могут быть представлены в виде:
ИВАНОВА
где решение
Pi = Sp-0) + p-o + 8р-д, wi
(i)
w(0) + w(l,
(13)
где верхние индексы указывают на порядок малости относительно планетных масс, а вторые нижние индексы ответственны за порядки относительно эксцентриситетов и наклонов.
Первые части выражений (13) содержат кепле-ровские члены, представленные в виде буквенных разложений
spf = Z p«.
к—l j mi n
■mnfliOib, bt ,
w
(O)
Z(0) к—l jmj n/i л\ Wkimnfltatb, bt (14)
p(1) pi,0
Z p^exp
Sp$ = Z Sj wi = Z
w,
(i) Hi >
(16)
j=i,j *i
j=i,j *i
Spji = c(i, j, 0)a + d(i, j, Q)Ui + c(i, j, i)Uj + d(i, j, 1)Uj,
w (ji = f(i, j, 0)bi + f( i, j, Ob + f(i, j, i)bj + f (i, j, i)bj с квазипериодическими коэффициентами c, d и f.
Правые части получены в чисто аналитической форме.
p = p(0) + 5p, w = 5w,
(17)
„(0)
w = 0
(18)
есть частное плоское квазипериодическое решение при условии, что большие планеты движутся по своим промежуточным орбитам
(0) A
pi = pi , wf = 0.
(19)
Это решение обобщает вариационную кривую Хилла и включает все солнечные и планетные неравенства, независимые от эксцентриситетов и наклонов всех рассматриваемых тел. Решение ищется итерациями с начальным приближением
p(0) = 0
(20)
по степеням комплексных переменных типа Лапласа а, а, Ь, Ь,, пропорциональных эксцентриситету и наклону планеты с номером /. Коэффициентами этих разложений являются числовые константы.
Вторая часть в рх описывает члены промежуточного решения в первом порядке относительно параметра масс:
и представляется многократным рядом Фурье
p(0) = Z py expV-i(Y^),
y = (yi,y2,9), (y^ = zY iK zyi = 0
(21)
i=i
i=i
8 8 (15)
У = (У1,У2,-,7 8), = Е X = 0
]=1 ]=1
И наконец, последние части состоят из линейных членов относительно эсцентриситетов и наклонов с учетом лишь членов первого порядка относительно масс. В явном виде они могут быть выражены соотношениями
по средним аномалиям всех тел. Коэффициенты ру являются функциями масс, средних движений и больших полуосей. Суммирование производится по всем целым значениям 9-мерного индекса у. Промежуточная орбита была получена до 14-го порядка относительно малых параметров, которыми являются массы, отношения средних движений планет и Луны и отношения больших полуосей геоцентрической орбиты Луны и гелио-
п. а
центрических орбит планет М„ -. Это разложе-
па
ние содержит около 10000 членов.
Первые члены промежуточной орбиты представлены в виде:
,(0)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
В соответствии с методикой общей планетной теории решение уравнений движения Луны представляется в виде:
х Б,
8
= Z M(
i=i
5/97
1 б,3+б,5
16 z-2 -16 z 2 )
24 z-2 - 7 z2 )-n £ Б5 (45 z-1 - 32 z)...
M(3) =.
M. + M3
Б3 = 1 M(i) =
M
(22)
M. + M
Б., =
a i
4
2 2' a 3 + ai
i = 1,2,4,...,
Функции bp, w удовлетворяют уравнениям dp + 24—in bp +
+ n
- 2+*) dp+(-2+l).
w + n 2(1 + M)w = n 2W
= n P ',
(23)
(24)
y
с правыми частями
р = Р - Р(0) + КЪр + ЬЪд, Ж = Ж + М(25)
которые не содержат линейных членов относительно лунных переменных Sp, 8q и w.
P(0) — правая часть уравнения для промежуточной орбиты, К, L, M являются функциями промежуточного решения.
Sp и w строятся итерациями в форме степенных рядов
8Р = X Рк1т'П а1'а''Ьт'Ь"''
1=1
9
(26)
м>
1=1
(27)
(28)
(29)
плексно-сопряженных переменных. Правые части вековой системы для Луны получены в чисто аналитической форме, а ее тригонометрическое решение имеет полуаналитическую форму.
В результате целого ряда преобразований переменных, решение вековой системы сводится к решению линейных уравнений в новых конечных переменных u и V
и = V—1и(с9 + 5с9), V = 4-Ъг(%9
+1
с начальным приближением
13— —
Ъ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.