ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1512-1529
УДК 519.63
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
АДАПТИВНАЯ йр-ВЕРСИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ
© 2015 г. Н. Д. Золотарёва, Е. С. Николаев
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУВМК) e-mail: nzol@cs.msu.su; enik@cs.msu.su Поступила в редакцию 11.02.2015 г.
Для нахождения с высокой точностью приближенного решения краевой задачи для стационарного уравнения реакции-диффузии построен адаптивный вариант ¿р-версии метода конечных элементов, использующий конечно-полиномиальные базисные функции. Предложены адаптивные стратегии построения последовательности конечномерных подпространств, основанные на использовании индикаторов коррекции — величин, оценивающих степень изменения выбранной характеристики приближенного решения при расширении подпространства путем пробного добавления новых базисных функций. Приведены эффективные алгоритмы вычисления индикаторов коррекции. Метод ориентирован на задачи, решения которых имеют ту или иную локальную особенность, например сингулярно возмущенные краевые задачи. Библ. 17.
Ключевые слова: метод конечных элементов, адаптивные методы, индикаторы коррекции, стационарные одномерные уравнения реакции-диффузии, сингулярно возмущенные краевые задачи.
БО1: 10.7868/80044466915090185
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время адаптивные методы являются наиболее эффективным средством для численного нахождения решений краевых задач для дифференциальных уравнений, имеющих ту или иную локальную особенность. В качестве примера таких задач укажем сингулярно возмущенные краевые задачи, решения которых имеют пограничные или внутренние переходные слои. В контексте конечно-разностного подхода эти методы реализуют построение сеток, адаптирующихся к особенностям решения. Если место расположения особенностей и их характер известны, то строится сетка с априори заданным адаптивным распределением узлов. Иначе используется процесс последовательной перестройки сетки с адаптивным изменением ее параметров, основанный на анализе апостериорной информации о получаемом приближенном решении.
Если задача для дифференциального уравнения, заданного в ограниченной области, формулируется в виде задачи минимизации некоторого функционала на множестве функций Н, то метод конечных элементов (МКЭ) для ее приближенного решения, как известно, состоит в следующем. Область разбивается на подобласти, определяется ^-мерное подмножество Им с Н, так что каждая из порождающих его базисных функций является финитной с носителем, состоящим из малого числа подобластей, и решение задачи минимизации ищется в Им. Для получения решения с требуемой точностью строится последовательность приближенных решений на подмножествах Нн с Нн с ... с Н.
В адаптивных вариантах МКЭ с базисными функциями, являющимися кусочно-полиномиальными во всей области функциями и полиномами на каждой из подобластей, для построения подмножеств HN используются следующие основные стратегии:
а) последовательной адаптивной перестройки разбиения области при сохранении степени полиномов на всех подобластях (¿-версия),
б) последовательного адаптивного увеличения степени полиномов на отдельных подобластях с сохранением имеющегося разбиения области (р-версия),
в) совместного использования первых двух стратегий (йр-версия).
Эти стратегии основаны на использовании либо локальных апостериорных оценок погрешности (см. [1]—[8]), либо индикаторов коррекции — величин, оценивающих степень изменения выбранной характеристики приближенного решения при пробном расширении HNf_ путем добавления новых базисных функций (см. [9]—[16]).
Использовать индикаторы коррекции для построения адаптивной ¿-версии МКЭ предложили авторы работы [9]. В [12] этот подход был реализован для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 2-го порядка, в [13] — для ОДУ 2-го порядка с адаптивным измельчением и укрупнением сеток, в [14] — для эллиптического уравнения 2-го порядка в полигональной области, в [15] — для ОДУ 2-го и 4-го порядков при использовании эрмитовых базисных функций. Построению адаптивной иерархической р-версии МКЭ для ОДУ 2-го порядка посвящены работы [16], [17]. В [17] исследована особенность р-версии МКЭ, проявляющаяся в том, что приближенные решения могут не меняться на конечном числе последовательно вложенных конечномерных подмножеств увеличивающейся размерности. Найдены необходимые и достаточные условия ее возникновения и предложена модифицированная стратегия, учитывающая эту особенность.
В данной работе построен адаптивный вариант ¿р-версии МКЭ для приближенного нахождения классического или обобщенного решения дифференциальной краевой задачи (2), сформулированной в виде задачи минимизации (1). Исследованию эффективности предлагаемого метода на примере решения сингулярно возмущенных краевых задач, а также деталям реализации метода будет посвящена отдельная работа.
Метод является итерационным и его полный вариант состоит из двух этапов. Сначала в рассматриваемой области вводится начальная сетка. На первом этапе реализуется ¿-версия МКЭ с кусочно-линейными базисными функциями, использующая стратегии адаптивного измельчения и укрупнения сетки, основанные на вычислении индикаторов коррекции. Затем сетка фиксируется, и на втором этапе метода реализуется р-версия МКЭ с кусочно-полиномиальными базисными функциями, использующая адаптивную стратегию увеличения степени полиномов на интервалах, также основанную на вычислении индикаторов коррекции. Дано описание предложенных адаптивных стратегий и приведены эффективные алгоритмы вычисления индикаторов коррекции.
Использование первого этапа позволяет предварительно адаптировать сетку к искомому решению и тем самым сократить размер систем алгебраических уравнений, решаемых на втором этапе. Это позволяет также уменьшить степени полиномов, используемых для представления приближенного решения на интервалах сетки в р-версии МКЭ.
Предложенный метод можно использовать в различных вариантах. Если решение задачи требуется найти с относительно невысокой точностью, тогда достаточно использовать лишь первый этап метода. Если решение нужно найти только в определенных точках, т.е. на фиксированной сетке, то метод можно применить без укрупнения сетки на первом этапе или же вообще использовать только второй этап метода. Для получения решения с высокой точностью целесообразно использовать полный вариант итерационного процесса.
1.1. Постановка задачи
Приведем формулировку рассматриваемой в работе задачи. Определим множество функций H,
о
соответствующее ему линейное подпространство H, функционалы J(u) и b( v), а также форму a(u, v) следующим образом:
H = {u e W2(a, b), u(a) = u(b) = ^}, H = { v e W2(a, b), v(a) = 0, v(b) = 0},
о о
/(и) = 1 а(и, и) - Ь(и), а(и, V) = ки'^ + guv)^х, Ь(V) = ^^х,
а а
о
где к = к(х), q = ^(х) и/=/(х). Пусть форма а(и, и) коэрцитивна, т.е. для любой функции и е Н выполнено неравенство а(и, и) > с||и||2, где с > 0, а || • || — норма в пространстве Ь2(а, Ь). Задача минимизации формулируется следующим образом: на отрезке [а, Ь] найти функцию и*(х) такую, что
и * = а^тт/( и). (1)
и е Н
Будем предполагать, что выполнены условия, гарантирующие существование единственного решения задачи (1). Если функции к, q ограничены и суммируемы, а/ е Ь2(а, Ь), то и* является обобщенным решением следующей краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:
Ьи = -(ки')' + ди = Дх), а <х < Ь, и(а) = ц0, и(Ь) = (2)
а если к е С1 [а, Ь] и q,/ е С0 [а, Ь], то и* является ее классическим решением.
2. РЕАЛИЗАЦИЯ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ р-ВЕРСИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Иерархическаяр-версия МКЭ
Приведем формулировку иерархической р-версии метода конечных элементов, используемой на втором этапе итерационного процесса. Пусть на отрезке [а, Ь] построена неравномерная сетка
ю„ = {а = хо < X! <...< хп < хп +1 = Ь}, е1 = (х1_ 1, х;), Н1 = х1 _ х1_ ь 1 < г < п + 1.
Предполагается, что точки разрыва функций к, q и/являются ее узлами. Определим подмноже-
оо
ство НЯк и связанное с ним ^.-мерное линейное подпространство с Н, используя в качестве
базисных (узловых и неузловых) функций непрерывные финитные кусочно-полиномиальные на [а, Ь] функции.
Узловые базисные функции — это связанные с узлами сетки линейные на каждом интервале сетки функции ф,(х) такие, что
ф;(х;-) = 1, 0 < г < п + 1, Бирр {фг} =
е1, г = 0,
е{ и е{ +1, 1 < г < п,
еп + 1, I = п + 1.
С каждым интервалом еI будем ассоциировать последовательность неузловых базисных функций ф;2(х), ф;3(х), ..., где функция ф,у(х) есть полином степени]и е1 и
Бирр{фу} = е(, у > 2, 1 < г < п + 1.
На к-м итерационном шаге интервалу е1 соответствует набор из к) — 1 неузловых базисных функций {ф(у, 2 <]< 4к)}, где 4к) > 1. Здесь ь(к +1) > 4к) и хотя бы для одного I должно быть выпол-
нено строгое неравенство. Множество НЯк и подпространство НЯк определим следующим образом:
(к)
{п + 1 п + 1 Л
и = £ и,ф, + ££ Щуфу, ио = Цо, и„ + 1 = Ц I,
I = о I = 1 у = 2 '
п + 1
Нщ = { V е Н^Ио = 0,Ц1 = о}, N = £ 4к) _ 1, к > 1,
г = 1
так что HNi с Ищ с ... с H. Если s(k) = 1 для всех i, то множество HNk порождают только узловые базисные функции, при этом Nk = n. В силу определения базисных функций для любой функции u е HNt имеют место равенства u(x,) = u,, 0 < i < n + 1.
Соответствующая (1) сеточная (конечноэлементная) задача минимизации на шаге k > 1 формулируется следующим образом: найти функцию u(k)(x) такую, что
Uk) = arg min J(u). (3)
u e H„
2.2. Варианты иерархическойр-версии МКЭ
В стандартном варианте метода степень используемых полиномов берется одинаковой для всех интервалов еi и увеличивается на единицу при переходе к новому итерационному шагу, так что
sf = к, 1 < i < n + 1, Nk = к(n + 1) - 1, к > 1.
В случае, когда для приближения решения задачи (1) с требуемой точностью полиномы высокой степени достаточно использовать лишь на малом числе интервалов сетки, вычислительные за-
(к)
траты метода можно уменьшить, если si увеличивать только для т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.