ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1545-1558
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
БЕСПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ
ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА
© 2015 г. Д. Г. Асфандияров*, В. М. Головизнин**, С. А. Финогенов*
(* 115191 Москва, ул. Большая Тульская, 52 ИБРАЭ РАН;
** 119992 Москва, Ленинские горы, МГУ) e-mail: dasfandiyarov@ibrae.ac.ru; gol@ibrae.ac.ru; saf@ibrae.ac.ru Поступила в редакцию 02.03.2015 г.
Для исследования пристенной турбулентности в плоском канале при больших числах Рей-нольдса методом прямого численного моделирования предложен новый вычислительный алгоритм на основе явной аппроксимации конвективных потоков по схеме КАБАРЕ и решении двух сеточных уравнений эллиптического типа для обеспечения условия несжимаемости. Для решения этих уравнений большой размерности предлагается использовать быстрый прямой метод, допускающий эффективное распараллеливание. В отличие от большинства методов, в том числе и спектральных, в схеме КАБАРЕ отсутствуют какие-либо настроечные параметры. Схема имеет компактный шаблон, что упрощает задачу граничных условий и повышает эффективность распараллеливания при расчете на многопроцессорных вычислительных комплексах. Представлены результаты расчетов в широком диапазоне чисел Рейнольдса и приведено их сравнение с результатами экспериментов и расчетами других авторов. Исследована зависимость ошибки в определении коэффициента сопротивления турбулентного потока от характеристик расчетной сетки. Библ. 40. Фиг. 7. Табл. 2.
Ключевые слова: прямое численное моделирование, схема КАБАРЕ, турбулентное течение, плоский канал, вязкая несжимаемая жидкость.
DOI: 10.7868/S0044466915090021
1. ВВЕДЕНИЕ
Начало прямому численному моделированию пристенной турбулентности было положено в 80-е годы прошлого столетия расчетной группой из Стенфорда, в составе Кима, Моина и Мозера (Kim J., Moin P., and Moser R. D. 1987) (см. [1], [2]).
Целью расчетов было изучение фундаментальных механизмов формирования турбулентных пограничных слоев вблизи гладких стенок. Рассматривалась наиболее простая трехмерная задача о течении между двумя параллельными пластинами. Для численного решения уравнений На-вье—Стокса в области с прямоугольным сечением был выбран псевдоспектральный метод, предложенный Орзагом (см. [3]), существенно использующий быстрое преобразование Фурье для разрешения квадратичной нелинейности конвективных членов.
Использование глобальных базисных функций определяет высокую точность данного метода. Данный метод расчета турбулентных течений получил широкое распространение и применяется во многих современных DNS расчетах в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса (см. [4]—[7]). Его основной недостаток состоит в том, что он неприменим к областям с относительно сложной формой. Большое число работ посвящено исследованию пристенных течений посредством конечно-разностных (см. [8]) и спектрально-элементных (см. [9]) методов, свободных от указанного недостатка.
В [10], посвященной прямому численному моделированию как инструменту исследования турбулентных течений, авторы выделили два типа неточностей, связанных с применением псев-
1545
доспектральных и конечноразностных методов: ошибки, вызванные грубостью расчетной сетки, и ошибки, связанные с нелинейностью конвективных членов.
Физика процесса определяет минимальное волновое число, которое должно разрешаться и точность этого разрешения. На основе фурье-анализа авторы оценили ошибки аппроксимации и показали, что для разрешения волнового числа 2я/п (п — колмогоровский масштаб) с точностью 5% для центрально разностных схем второго порядка необходимое разрешение сетки должно быть 0.26п. Для центрально-разностных схем четвертого порядка, схем Паде шестого порядка и спектральных схем, разрешение сетки должно быть 0.55п, 0.95п, 1.5п соответственно.
Ошибками, возникающими из-за нелинейности конвективных членов, являются ошибки усечения и ошибки, связанные с алиасингом (наложением спектров). Ошибки усечения связаны с тем, что на минимально разрешаемые сеткой масштабы с длинами волн X = 2h (h — шаг сетки) влияют более коротковолновые (X < 2h), которые не представлены на расчетной сетке. Требованием к DNS расчетам является малая величина данной ошибки. Более существенной, особенно для спектральных методов, является ошибка, связанная с искажением спектра (алиасинг). Когда функции представлены в качестве суперпозиции конечного набора базисных функций (в том числе фурье-мод), нелинейный оператор начинает образовывать моды, не присутствующие в данном наборе. Из-за дискретизации данные моды воспринимаются как моды из набора. Происходит наложение мод более высокого порядка на более низкого, что приводит к искажению спектра. Высокие частоты имеют большую ошибку, связанную с алиасингом. Данная ошибка приводит либо к численной неустойчивости, либо к чрезмерному распаду турбулентности (см. [10]). Процедуры деалиасинга являются в вычислительном плане более выгодной заменой увеличению разрешения сетки (см. [11]). Вычисления спектральными методами с процедурой алиасинга и без являются точными, пока разрешение сетки не достигает критического значения (сетка становится предельно грубой). В случае когда деалиасинг не применяется, "потеря разрешения" происходит чуть раньше (см. [12], [13]). Например, в качестве процедуры деалиасинга в методе Кима, Моина и Мозера (см. [2], [4]) используется "правило 3/2" (см. [14]). Конечнораз-ностные схемы имеют меньшую ошибку, связанную с искажением спектра. Для конечноразностных методов данная ошибка зависит от формы записи конвективных членов (см. [10]). Также в работе [15] показано преимущество полностью консервативной аппроксимации конвективных потоков над консервативной.
Для конечноразностных схем более высокий уровень ошибок дифференцирования в сочетании с более низким уровнем ошибок усечения и искажения спектра определяет суммарную ошибку на малых масштабах. Данная ошибка в сочетании со спектром решения определяет минимальное разрешение сетки (см. [10]).
В [8] были представлены результаты расчета турбулентного течения в канале посредством схем второго и четвертого порядка точности. Результаты сравнивались с данными по псевдоспектральному методу Кима, Моина и Мозера (см. [4]) и показали очень хорошее совпадение во всем исследуемом диапазоне чисел Рейнольдса. Более того, расчеты по схеме четвертого порядка показали лишь незначительное улучшение с таковыми по схеме второго порядка. Это говорит о том, что второго порядка точности достаточно, чтобы точно определять физику пристенных течений.
В данной работе предложен метод расчета турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в областях с прямоугольным сечением на основе схемы КАБАРЕ. Отличительными особенностями схемы КАБАРЕ являются простота, вычислительная эффективность и отсутствие каких-либо настроечных параметров. Данная методика развивалась как ILES и в отличие от спектральных методов не имеет критичных параметров сетки. При исследовании спектров диссипации энергии на задаче о затухании однородной изотропной турбулентности схема КАБАРЕ показала себя как идеальный LES (см. [16]—[28]). Также данная схема хорошо зарекомендовала себя при расчете задач термоконвекции (см. [16], [19]). Схема КАБАРЕ обладает улучшенными дисперсионными свойствами по сравнению с остальными схемами второго порядка точности (см. [16]). Схема КАБАРЕ имеет компактный шаблон, что упрощает задачу граничных условий и является эффективным при расчете на суперкомпьютерах.
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОБЛАСТИ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Течения несжимаемой жидкости описываются уравнениями Навье—Стокса, которые можно отнести к гиперболическим системам только относительно компонент скорости, если рассмат-
ривать давление как параметрическое поле, обеспечивающее выполнение условия несжимаемости. При такой трактовке уравнений алгоритм их численного решения можно разбить на два этапа: вычисление предварительных значений компонент скорости на последующем временном слое из решения системы уравнений:
— + V • (и;и) = цАи;-,
д?
и последующую корректировку найденного поля скоростей с целью придания ему свойства со-леноидальности:
V- иИ+1 = 0.
Исходной для расчета является система нестационарных уравнений вязкой несжимаемой жидкости в трехмерном случае и = (и, V, м>):
ди + + ^ = о, (1)
дх ду д1
ди + + дш + = -дР + уДи, (2)
д? дх ду дг дх
2
дv , дuv , дv , д™ дР , А
--1---1---1--=---ъ vДv, (3)
д? дх ду дг ду
д* + дии™ + 5™ + = -дР + (4)
д? дх ду дг дг
Схема КАБАРЕ оперирует с двумя типами переменных: консервативными, относящимися к центрам ячеек, и потоковыми, которые относятся к центрам граней ячеек. Консервативные переменные будут иметь дробную нумерацию, потоковые — смешанную. При численном решении уравнений Навье—Стокса потребуется решать уравнение для давления. Давление, как и дивергенция скорости, рассчитанная по консервативным переменным, будет относиться к узлам расчетной сетки, и иметь целую нумерацию.
Кроме индексной, для упрощения записи, в ряде случаев будем использовать также буквенную индексацию. Консервативные переменные обозначаются прописными буквами, потоковые — строчными. Подстрочные индексы переменных вводятся согласно фиг. 1.
В дискретном виде алгоритм решения исходной системы уравнений Навье—Стокса по схеме КАБАРЕ представляет собой последовательность трех стандартных этапов (фаз).
В фазе 1 вычисляются промежуточные значения консервативных переменных на половинном временном слое:
Т7п+12 ттп (иП) — (иП, ) п п п п п п п п
и с - и с + и) (и£) + ирур - ивув + щщ - ивъв =уД и„, (5)
V 2 К Ну к
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 55 № 9 2015
тт-Я+1/2 Т7-п п п п п
Ус - 'с + икук - ы1у1 +
(Vп)2 - (Vв)2
т/ 2
Нх
п п п п
+ ^ - ^в =уД^сп,
тт>п+^2 ТГ^п пп пп пп пп —
"с 1 - "с + — Ы]УЬ + — + (НУ) ) = уД ^п,
т/ 2
Нк
Л.
„х, /, -.„,/, / п+^2 , п+1/2 , п+1/2 , п+1/2 \ / п+1/2 , п+1/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.