ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1566-1578
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
МЕТОД ЧАСТИЦ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ1)
© 2015 г. А. В. Березин, А. С. Воронцов, М. Е. Жуковский, М. Б. Марков, С. В. Паротькин
(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМ РАН) e-mail: a_v_beresin@mail.ru; a.s. vorontsov@gmail.com; usermath@mail.ru; m_b_markov@mail.ru
Поступила в редакцию 26.02.2015 г.
Рассмотрена задача Коши для кинетического и электродинамических уравнений, описывающих распространение потока электронов в рассеивающей среде и генерацию самосогласованного электромагнитного поля. Функция распределения электронов определена в пространстве финитных обобщенных функций. Представлены алгоритмы моделирования рассеяния в приближении однократного и многократных столкновений на временном шаге. Рассмотрены особенности применения алгоритма в плотной рассеивающей среде и в ионизованной области большого объема. Библ. 27.
Ключевые слова: кинетическое уравнение, электромагнитные уравнения, алгоритм моделирования рассеяния в приближении однократного и многократного столкновений, метод частиц.
DOI: 10.7868/S0044466915090069
ВВЕДЕНИЕ
Исследование распространения ионизирующих излучений в газовых и конденсированных средах (например изучение свойств вещества в экстремальных условиях (см. [1]), излучений космического пространства (см. [2]) и т.д. актуальны для многих отраслей науки и техники. Математическое моделирование является эффективным средством таких исследований, поскольку позволяет оптимизировать дорогостоящие экспериментальные работы.
В общем случае при рассеянии фотонов или электронов с высокой энергией, существенно превосходящей потенциал ионизации среды, образуется каскад частиц. Это обусловлено столкновениями частиц с атомами среды и происходящей при этом деградацией спектра. Фотоны испытывают комптоновское рассеяние и фотопоглощение, образуют электрон-позитронные пары (см. [3])—[6]). Быстрые электроны и позитроны производят тормозное излучение, ударную ионизацию, возбуждение молекул, а также испытывают упругое рассеяние (см. [5]—[8]). Позитроны, помимо этого, аннигилируют на атомарных электронах с испусканием фотонов (см. [4])—[5]). Образование заряженных частиц — электронов, позитронов и ионов — сопровождается разделением заряда и приводит к генерации электромагнитного поля (см. [8]). При достаточной интенсивности потока плазменная или ларморовская частота электронов и позитронов становится сопоставимой с частотой столкновений. Электромагнитное поле оказывается самосогласованным и влияет на движение заряженных частиц, что приводит к неустойчивостям их потока. В результате ударной ионизации в непрерывном спектре, помимо быстрых заряженных частиц, образуются электроны низкой энергии (см. [9], [10]). Под действием самосогласованного поля эти электроны приобретают направленную скорость, образуя дополнительный электрический ток.
Рассмотренное физическое явление описывается квазилинейными кинетическими уравнениями для функций распределения частиц каскада и электродинамическими уравнениями Максвелла для самосогласованного электромагнитного поля. Разрабатываются два основных подхода к численному решению математических задач для кинетических уравнений. Первый из них является, по сути, разностным и называется метод дискретных ординат (см. [11]—[13]). Второй подход, реализуемый в методах Монте-Карло (см. [14]—[15]) и частиц (см. [16]—[17]), состоит в переходе к моделированию динамической системы путем построения обобщенного реше-
1) Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 14-01-00350-а).
1566
ния кинетического уравнения. Оба подхода имеют свои преимущества и проблемы. Разностные методы являются более точными и позволяют непосредственно вычислять функцию распределения в пространстве дифференцируемых функций. Динамические методы сходятся гораздо медленнее и требуют организации вычисления функционалов над пространством обобщенных решений. С другой стороны, динамические методы допускают эффективную программную реализацию на параллельных суперкомпьютерах.
Авторам данной работы удалось получить результаты, имеющие определенное практическое значение, на основе второго подхода (см. [18], [19]). Опыт его применения показал, что одной из важных проблем является сочетание моделирования столкновений и переноса заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле. Поэтому в работе представлен численный алгоритм решения кинетического уравнения в части моделирования столкновений. Метод численного решения уравнений Максвелла подробно рассмотрен в (см. [20]), а алгоритм, реализующий метод частиц в отсутствие столкновений или в приближении средних потерь энергии — в [21]—[23].
Моделирование электронных потоков существенно превосходит по сложности рассмотрение переноса фотонов. Это связано с тем, что на электроны воздействует самосогласованное электромагнитное поле, а рассеяние определяется дальнодействующим кулоновским взаимодействием со средой. По этой причине в работе рассматривается именно кинетическое уравнение для электронов. Алгоритмы моделирования электронных столкновений обобщаются на случай позитронов и фотонов, а также применимы для описания каскада в целом.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим функцию распределения электронов f = f (t, r, p) в фазовом пространстве
(r,p) = Rj! x [Rp, координат r = (x,y,z)и импульсов p = (px,py,pz). Эта функция подчиняется уравнениям:
f + div r (vf) + ediv p [(E + [ß,H])f ] + ¿vf = Q (t, r,p) + Jdp'a (p,p') vf (p'), (1)
rotH = 1 d-E + 4n j, rotE = -1Ш, (2)
c dt c c dt
где t — лабораторное время, v — скорость электрона, E = E (t, r) и H = H (t, r) — напряженность электрического и магнитного полей соответственно, div r и div p — дивергенции в координатном и импульсном пространствах соответственно, e — заряд электрона, ß = v/ c, c — скорость света в вакууме, а' — полное макроскопическое сечение рассеяния электронов, а (p, p') — дифференциальное макроскопическое сечение рассеяния электронов, p' и p — импульсы электрона до и после рассеяния соответственно, j — плотность тока электронов. Внешний источник электронов задает функция Q = Q (t, r, p) в правой части уравнения (1).
Следуя логике метода частиц (см. [16]), будем искать решение уравнения (1) в классе финитных обобщенных функций (см. [24]), заданных на основном пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций ф = ф (r, p) в фазовом пространстве (r, p) и зависящих от параметра
t > 0.
Свойство финитности функции f (t, r,p)необходимо для того, чтобы корректно определить плотность электрического тока j = j (t, r) в уравнениях Максвелла (2). Определим ее следующим образом. Функция vf (t, r, p)является финитной в силу финитности f (t, r, p) и бесконечной диффе-ренцируемости v (см. [24]). Определим плотность тока как действие финитной обобщенной функции vf (t, r,p) на бесконечно дифференцируемую функцию W(|r - а|, А), а е R^, А > 0, удовлетворяющую условиям
|W(( - а, A)da = 1, lim JdrW(|r - а|, А)ф(r,p) = ф(а,p).
r! ж3
Несмотря на то что функция Ж (|г - а|, А) не является финитной в пространстве (г, р), плотность тока и концентрация электронов п = п (?, г) определены корректно именно в силу финитности
/ {{, Г, р):
] = (/(/,а,р),уЖ(|г - а, А)), п = (/(*,а,р)(|г - а|, А)). (3)
При таком определении плотность тока, а значит и напряженности электрического и магнитного поля, вычисляемые из уравнений Максвелла (2), являются бесконечно дифференцируемыми функциями координат. Поэтому слагаемое Шу г ( у/ ) + е Шу р [(Е + [р, Н]) / ] в левой части уравнения (1) является финитной обобщенной функцией (см. [24]).
Представим интеграл столкновений в уравнении (1) в виде
ач/ - рр'ст(р,р)/(р') = рг'рр'З(г' - г) [а(р',р) V/(р) - а(р,р)/(р')]
и рассмотрим функцию а(р,р') 8(г - г'). Дифференциальное сечение а(р, р') для любого из рассматриваемых процессов рассеяния зависит от косинуса угла между направлениями векторов р' и р, а также абсолютных значений импульсов до и после рассеяния. Сечения обращаются в ноль при р > р, поскольку энергия частицы при рассеянии увеличиться не может. Поскольку возможно рассеяние без изменения импульса (например перезарядка иона), то дифференциальное сечение может принимать вид а(р, р') = 5(р - р'). По этим причинам конструкция а(р,р') 8(г - г') может рассматриваться как финитная обобщенная функция переменных р' и г' первого порядка сингулярности. Интеграл столкновений в таком случае является сверткой финитных обобщенных функций, т.е. финитной обобщенной функцией. Порядки сингулярности всех членов уравнения, как функций переменных г и р, совпадают.
Таким образом, внешний источник электронов Q = Q (¿, г, р) в правой части уравнения (1) также должен задаваться финитной обобщенной функцией переменных г и р.
Дифференциальные операторы уравнений (1), (2) определяют квазилинейную систему гиперболических уравнений первого порядка в частных производных. Для нее рассматривается задача Коши (см. [25]) с однородными начальными данными в нулевой момент времени.
Представление решения кинетического уравнения финитной обобщенной функцией рассмотрено в [21], [23] и уточнено в данной работе.
Уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению
/ = |сг|ср[б(С,г,р)+ |Ср'ст(р,рV/(г,г,р')]ехрст'(г - г")(р - р*), (4) где функции г * = г * (, I, г, р), р * = р * (, I, г, р) являются решениями уравнений движения
Сг* = у * Ср*
СИ
е (Е ( г *) +1 [уН ( г *)]) (5
с начальными условиями г * _ = г, р * _ = р. Подынтегральное выражение в показателе экспо-
ненты имеет вид а'
V* (рР* ) V(рР* ) , где р* = р* (',?, г, р).
Эквивалентность уравнений (1) и (4) обосновывается подстановкой (4) в (1) и рассмотрением действия невязки на пробную функцию из основного пространства. Данная процедура представлена в [23] для бесстолкновительного уравнения (1) и здесь не повторяется. Необходимо лишь добавить, что производная правой части (4) по верхнему пределу интегрирования по переменной 1
равна б ((, г, р) + а (р, р')/ (, г, р').
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.