ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1586-1598
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ1)
© 2015 г. Ю. Г. Рыков, О. Б. Феодоритова
(125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМ РАН) e-mail: Yu-Rykov@yandex.ru, feodor@kiam.ru Поступила в редакцию 24.02.2015 г.
В работе рассмотрена конкретизация сформулированного ранее нового подхода к рассмотрению систем квазилинейных гиперболических уравнений на основе вариационных принципов. Конкретизация проведена для систем трех уравнений специального вида. Показано, что каждое поле характеристик может быть представлено как решение задачи вариационного исчисления. При этом соотношения Гюгонио на изломах характеристик или при пересечении характеристик одного семейства будут выполнены автоматически. Также построен численный алгоритм на основе вариационного принципа в простейшем случае уравнения Хопфа. Библ. 17. Фиг. 6. Табл. 3.
Ключевые слова: гиперболическая система, уравнения газовой динамики, характеристики, вариационная задача, разрывные решения, соотношения Гюгонио, вычислительный алгоритм.
БО1: 10.7868/80044466915090148
1. ВВЕДЕНИЕ
Современная теория квазилинейных законов сохранения сталкивается со значительными трудностями. По существу теория достаточно развита лишь для одного закона сохранения (см. [1], [2]). В случае систем достаточно общие результаты получены лишь для одной пространственной переменной, но, как правило, в предположении малости области изменения неизвестных функций (см., например, [3], [4]). С вычислительной точки зрения с вопросом можно ознакомиться, например, в монографиях [5], [6]. При этом существенные трудности при попытке обобщения результатов на конечную область изменения неизвестных функций возникают при числе уравнений, большем или равном трем. Поскольку указанное положение дел сохраняется уже довольно долго, представляет интерес поиск новых подходов и методов изучения квазилинейных систем уравнений.
Предлагаемая статья посвящена поиску таких возможных новых подходов и, вследствие этого, не содержит хоть сколько-нибудь представительного обзора имеющейся обширной литературы по системам законов сохранения, а ограничивается лишь несколькими работами, указанными выше.
В [7] предложен некоторый новый взгляд на природу обобщенных решений квазилинейных гиперболических систем, который затем был конкретизирован для частного случая систем двух уравнений в [8]. Этот взгляд сформулирован исходя из некоторых достаточно общих соображений, которые в принципе справедливы для широкого круга задач теории законов сохранения. Указанный подход состоит в использовании так называемых вариационных принципов для описания обобщенных решений. При этом, вообще говоря, для каждой конкретной системы квазилинейных гиперболических уравнений может быть построен целый ряд таких вариационных принципов. Таким образом, возникает задача поиска такой формы вариационного принципа, которая позволяла бы произвести непосредственное конструирование обобщенного решения. Предлагаемая статья представляет собой попытку формулировки более конкретного вариацион-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 14-21-00025).
1586
ного принципа для систем трех уравнений специального вида в случае одной пространственной переменной. Предполагается, что рассматриваемая система трех уравнений обладает двумя инвариантами Римана, а для третьего поля левых собственных векторов интегрирующего множителя не существует. Отметим, что ранее вариационные принципы были построены для некоторых частных систем двух уравнений исходя из индивидуальных в каждом конкретном случае соображений (см. [9], [10]). Кроме того, даже для систем двух уравнений существуют конкретные примеры, в которых возникают трудности при стандартном подходе, например известная система Кейфитц—Кранзера (см. [11]). Ожидается, что реализация вариационного принципа в этом случае поможет разрешению вопросов о возможности появления сильных особенностей в решении. Во второй части работы приведено численное исследование возможного алгоритма расчета решения, построенного на основе вариационного принципа. Это сделано в случае одного уравнения с выпуклой функцией потока (а именно выбрано уравнение Хопфа в качестве типичного представителя этого класса уравнений), для которого конструктивная форма вариационного принципа известна (см. [12], [13]). Алгоритмы, построенные на основе вариационного принципа, отличаются высокой точностью расчета, однако имеют специфические особенности построения.
Все изложенные ниже теоретические результаты получены в предположении кусочной гладкости соответствующих функций, что неявно предполагается во всех последующих рассуждениях. Также предполагаются известными общепринятые определения и факты из теории гиперболических систем уравнений и вариационного исчисления.
2. ПРИМЕР ВАРИАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ ТРЕХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Рассмотрим задачу Коши для следующей системы квазилинейных уравнений, которая предполагается строго гиперболической:
и + Г (и)х = 0, (2.1)
где (7, х) е К+ х К, и(7,х) = (и(7,х) ^(7,х),д(7,х)), а Г = (/, g,к) — достаточно гладкая (по крайней мере Г е С1 (К3)) вектор-функция переменных (и, V, д). Здесь и далее жирным шрифтом в формулах будут обозначаться векторные величины. Решения системы (2.1) понимаются в обобщенном смысле, т.е. допускают разрывы. Будем также предполагать, что решение этой системы принимает (в некотором смысле, например почти всюду или в смысле метрики пространства Х1) заданные начальные значения и (0, х) = и0 (х).
Пусть также 3 х 3-матрица Г' (и) обладает собственными значениями (ид) < Х2 (и,у, д) < < (и, V,д), при этом обозначим через г1 (и, V,д), г2 (и, V, д), г3 (и, V, д) правые собственные векторы, а через 11 (и, V, д), 12 (и, V, д), 13 (и, V, д) — левые собственные векторы, г, • 1 у = 0 при , ф у. Также предположим, что для системы (2.1) можно определить два инварианта Римана V, г и некоторую дополнительную функцию р (и, V, д), которая не является инвариантом Римана, но тройка (V, г, р) представляет собой невырожденную замену переменных в фазовом пространстве (будем писать W = (V, г, р)), так что У^ = 11, У г = 12 и Ур х 13 ф 0 (будем писать VW = (11,12, Ур)). Выбрав таким образом левые собственные векторы, можно теперь при необходимости считать, что правые собственные векторы удовлетворяют соотношению г, • 1, = 1, , = 1,2,3.
В соответствии с общей идеей из [1] будем рассматривать следующий вектор-функционал J = (I, /, К), построенный на множестве траекторий х (т) ,и (т); х (0) = У, X (7) = х:
У 7
J = |и0 (5+ (х, и)с1 т; Ь (х, и) = их - Г (и). (2.2)
0 0
Конкретизируем допустимый вид траекторий пока не на уровне построения пространства функций, а на уровне выделения определенного класса. Пусть для каждой рассматриваемой пары X (т) ,и (т) существует конечный набор точек {т,} е (0,7), , = 1, (набор точек является своим для каждой пары, но максимальное количество точек для всех пар одинаково), такой, что X(т),и(т) е С1 ((т;-1,т,));, = 1,..., + 1;т0 = 0,т^+1 = 7 и х(т) е С([0,7]). Пусть также существуют
односторонние пределы U(т ± 0), i = 0,..., NS + 1. В дальнейшем при варьировании концов траекторий в точках {xi} е (0, t), i = 1, NS будем также предполагать, что эти концы локально варьируются вдоль некоторых неизвестных кривых х = si (т) (на самом деле, это и будут линии разрыва). Таким образом, на данном этапе априорно фиксируется некоторая конкретная качественная структура решения.
Покажем теперь, как обобщенные решения системы (2.1) связаны с критическими точками вектор-функционала J (см. (2.2)). Для этого найдем выражение для первой вариации 5 J функционала (2.2). Фактически в рассмотренной постановке мы имеем дело с набором вариационных задач с подвижными концами на интервалах (т _1, т) при наличии определенных ограничений. Имеем
У NS+1 Т NS+1
J = ju0 (s)ds + £ j L(x,U)dт = J0 + £ Ji. (2.3)
0 i=1 i,_1 i=1 Пользуясь стандартными процедурами вариационного исчисления, проведем необходимые вычисления. Для этого найдем 8Ji для каждого i = 1,..., NS +1. Рассмотрим соответствующие конечные приращения AJ. Имеем
T +6xi Ti Ti
AJi - j L(X,U)dT- jL(x,U)dт = j[L(X,U)-L(x,U)]dT-
Ti-1+6ii-1 Ti-1 Ti-1
Ti-1+6Ti-1 Ti +6Ti
- j L(x,U)dт + j L(x,U)dт - AJ(0) - AJi1' + AJ(2).
Ti-1 Ti
Далее, интегрируя при необходимости по частям и последовательно отбрасывая члены второго порядка малости и выше, получаем, к = 1,2,
Ti Ti
AJi0) * j[USX + X8U-F'(U)8U]dx = USXT^ + j[X-F'(U)8U-USx],
Ti-1 Ti-1 Ti+к-2 +STi+к-2
J * j {[XU - F(U)] + [USX + X8U - F'(U)8U]} dx * [XU - F(U)]] St
Ti+k-2"
Т+к-2
Следуя соотношениям, которые используются в вариационном исчислении при рассмотрении вариации функционалов в задаче с подвижными концами, запишем
8Х(+к-2 = X (Т+к-2 + 5т,+к-2 ) - X (Т+к-2 ) ; 8х (т+к-2 ) = X (Т+к-2 ) - X (Т+к-2 ) ,
8Х(+к-2 ^ (Т+к-2 ) + 5С (Т 1+к-2 -2 х ( х,'+к-2 ) ~ 5х ( Т1+к-2 ) + X (тг+к-2 )5т(+к-2' Отсюда, записывая последовательно интегральные члены и члены, связанные с концевыми точками интервалов (т т,), выводим
= \ [(X - Р '(Ц)} 8и - и8х]т + [и (т}(8х-Х (т)8т)|] -
т-1
т,
- [(хх Ц - Ш)8т]; = | [(XX - р '(Ц))8Ц - Ц8х]т + [Ц8х-^тЦ
т-1
В итоге для первой вариации вектор-функционала J (см. (2.3)) получим
N3 +1 т
5J = Цо (у)5у + £ \ [(х - Р'(Ц))5Ц - Шх]т +
Ns+1
+
i=1
(2.4)
X [х- f<u>5T];;_i.
:=1 ti-1
В формуле (2.4) интегральный член не заменен на интеграл по отрезку [0,1 ] ввиду того, что у функции и подразумевается наличие разрывов, по этой же причине неинтегральный член в (2.4), вообще говоря, не обращается в ноль тождественно.
Теперь рассмотрим ту форму приращения 8 и, которую ему можно придать, пользуясь наличием инвариантов Римана у системы (2.1). Имеем
<-.тт 5и • 1] 5и • 12 5и • 1з <-. <-. . ч
5и =-1 Г! +-2 г2 +-3 г3 = 5м • г + 01 • г2 + (5и • 13) • г3
Г1 • 11 г2 • 12 гз • 13
вследствие существования инвариантов Римана и выбранной нормиров
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.