ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1559-1565
УДК 519.634
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ВИХРЕВЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР1
© 2015 г. О. М. Белоцерковский*, Н. Н. Фимин**, В. М. Чечёткин**
(* 123056 Москва, 2-я Брестская ул., 19/18, ИАПРАН;
** 125047Москва, Миусская пл., 4, ИПМРАН) e-mail: oberon@kiam.ru Поступила в редакцию 09.02.2015 г.
Рассматриваются существующие подходы для анализа динамики вихревых когерентных структур с точки зрения вариационного исчисления для пуассоновых систем. Предлагается возможное обоснование методики моделирования турбулентных гидродинамических течений, содержащих крупномасштабные вихри, в виде статистической механики уравнения Эйлера в "крупнозернистом" представлении. Библ. 37.
Ключевые слова: распределение Линден—Белла, когерентные структуры, вихри Онсагера, уравнение Джойса—Монтгомери, вариационные принципы, турбулентные течения.
DOI: 10.7868/S0044466915090057
1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Описание возникновения и эволюции турбулентности в гидродинамических течениях может рассматриваться с различных позиций и с использованием существенно различающегося математического аппарата. Из-за сложности данной проблемы законченной теории для ее описания не создано до сих пор, хотя первые попытки были предприняты еще в конце XIX века (см. [1]). Однако здесь все же можно в принципе выделить два основных подхода, которые в определенном смысле противоположны. Они базируются на следующих антагонистичных предположениях: 1) в турбулентном потоке мы стандартно имеем дело с проявлениями случайных процессов (статистическая турбулентность); 2) в таком потоке можно выделить квазидетерминированные на макро- и мезомасштабах структуры, диссипация и распад которых формируют совокупность нестационарных процессов мелкомасштабной турбулентности (на уровне последних можно локально применять методы статистической турбулентности — хотя в принципе им и здесь можно рассмотреть альтернативу, например на основе прямого решения кинетических уравнений Больцмана или Каца). Первый подход берет начало в работах Келлера и Фридмана (1925), которые дали общее определение эйлеровых пространственно-временных корреляционных функций термогидродинамических полей турбулентных течений и предложили метод вывода динамических уравнений для корреляционных функций из уравнения Навье—Стокса. На основании этих уравнений происходит усреднение физических характеристик потока, например скорости, размеров вихрей и т.д. Математическое описание использует предположение о случайном характере возмущений разных масштабов и формируется в рамках теории вероятности (перенесенной на функциональные пространства). Данное предположение лежит в основе вывода упрощенных уравнений и вполне справедливо при оценке инкрементов развития неустойчивости течения для различных масштабов. Однако если наблюдать изменение скорости в точке турбулентного потока, то можно заключить, что большую часть времени значение скорости остается в пределах значения скорости крупных вихрей, так как основную структуру турбулентного течения представляют именно они; быстрые пульсации имеют место при прохождении малых вихрей, окружающих крупные структуры. Именно на данном наблюдении базируется второй подход, основные
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 14-01-00670, 14-29-06086).
1559
идеи которого сформулировал О.М. Белоцерковский (исходя из выводов численных экспериментов) в [2], [3] (и в дальнейшем развил в [4], [5]). В соответствии с полученными при компьютерном моделировании результатами можно полагать, что основную энергетику турбулентного течения несут крупные вихри, они же определяют структуру течения. Распределение крупных вихрей не отражает случайной природы возмущений, а соответствует физическим законам гидродинамики, когда инерционные члены в уравнении Навье—Стокса преобладают над напряжениями, обусловленными вязкостью (и уравнение сводится к эйлеровскому). Тогда пара сил, возникающая из поля давления и динамических сил, связанных с полем скоростей, создает структуру вихря. Процесс рождения крупных ("когерентных") вихрей и структура течения при этом должны описываться в рамках теории уравнения Эйлера.
Представляется очевидной необходимость обоснования последнего подхода к описанию турбулентности, использующего понятие когерентности в вихревой системе, с применением строгого формализма теории гидродинамических уравнений. Дело в том, что с точки зрения физического содержания процессов когерентность связана в первую очередь с сохраняющейся упорядоченностью эволюционирующей среды в сочетании с соответствующей шкалой изменения пространственных характеристик системы. Собственно говоря, данное явление, рассматриваемое как отдельный вид организованного движения жидкости, впервые описано в [6]—[8]. В современной гидродинамике когерентные структуры определяют, следуя работе [9], как "связанные, крупномасштабные турбулентные, жидкие массы с завихренностью, скоррелированной по фазе во всей области пространства, которое они занимают". Сходные по формулировке определения предложены также в [10], [11], авторы которых полагают, что наиболее характерными свойствами когерентных структур являются изолированность их от внешнего течения в том смысле, что внутри данных структур завихренность и макрохарактеристики распределены ква-зидетерминированным образом, т.е. "в среднем упорядоченно", и, кроме того, эти структуры обладают достаточно продолжительным временем существования без принципиального изменения своего вида.
Наличие слабоформализуемой описательности применительно к определению рассматриваемого физического явления привносит в таковое критический уровень неопределенности (введение здесь в качестве определения некоторых "численных критериев когерентности" (см. [11], [12]) также вряд ли оправданно, поскольку выбор таковых не универсален и достаточно произволен). Поэтому с целью обоснования вышеупомянутого второго подхода к моделированию турбулентных процессов рационально обратиться к математическому аппарату вариационного исчисления функционалов для пуассоновых систем (см. [13], [14]), использование которого позволяет дать строгие определения обобщенных состояний относительного равновесия (см. [15], [16]) гидродинамической системы на плоскости (как решений экстремальных задач с ограничениями на некоторый казимировский набор), к которым можно приписать и "когерентную структуру", понимаемую как поле завихренности, являющееся решением уравнений Эйлера— Гельмгольца. В настоящей работе описаны основные достаточно успешно применяемые в настоящее время и могущие представлять практический интерес реализации вариационных задач для функционалов Казимира гидродинамической вихревой системы — в частности, при наличии диссипации на малых масштабах или при условии нелинейной динамической устойчивости системы (при этом полученное в результате варьирования с надлежащим набором дополнительных условий поле завихренности может быть рассмотрено в качестве, например, априорной "когерентной компоненты" в тройном разложении (см. [17], [18]) при численном моделировании мультимасштабной гидродинамической задачи).
2. ПЕРЕХОД ОТ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ К ПУАССОНОВЫМ В ГИДРОДИНАМИКЕ Рассмотрим гамильтонову систему {Н(х, р)|Ж^} с 2^-мерным фазовым пространством
Т*МЫ = {(хк, рк) }кк = ^; в качестве примера таковой можно взять систему N вихрей Онсагера (см. [19]) на плоскости, поскольку ее функция Кирхгофа—Рауса приводится к гамильтонову виду перенормировкой. Из условия каноничности координат к-го микросостояния (хк, рк) следует справедливость теоремы Лиувилля дХк /дхк + дрк/дрк = 0 У к = 1, N. На основе последней можно построить равновесную статистическую механику для данной гамильтоновой системы, вводя в каче-
стве
инвариантной меры величину ^ = П _йхкйрк. Для совокупности сохраняющихся величин
1 Ак = 1, N
[С,^, p)}\ = 1 динамики гамильтоновой системы величины = (0.„) 1П ^ С1, • • •, С^^^Ркявля-
1 = 1
ются также инвариантными мерами (здесь Е(„.) — произвольная функция, 0.„ — нормировочная постоянная). Для изолированной системы можно ввести, следуя [20], микроканоническое рас-
N
пределение у ткго, учитывающее заданное число инвариантов движения, принимая в вышепри-
ПП
5 (Cf■(x, p) — С,-), причем
Пи
ДСу есть объем части фазового пространства такой, что С, < С, < С, + АС,
^ ч = 1
V/ и для достаточно малых величин [АС,}.
Использование аппарата микроканонического распределения приводит к последовательному построению равновесной статистической механики для ^-частичной гамильтоновой системы — в частности для вихрей Онсагера (см. [21], [22]). Для описания нестационарной эволюции такой вихревой системы необходимо обращение к кинетической теории на основе уравнения Лиувил-ля для (2Ы + 1)-мерной функции распределения с возможной редукцией посредством использования метода ББГКИ к уравнению для "одновихревой" функции распределения (см., например, [23], [24]). Однако в связи со значительной трудоемкостью кинетического подхода разумным представляется выделить его для решения специальных задач, например требующих особой детализации описания эволюции части системы, и обратиться к формализму канонического ансамбля для гидродинамических систем.
При этом возникают вопросы, связанные с тем, что уравнение Эйлера является бесконечномерной динамической системой, в связи с чем на ней нельзя построить каноническую структуру (аналогичную базирующейся на паре сопряженных координат (х, р) в конечномерном случае). Однако для данной системы, согласно [25], [26], можно ввести неканонические скобки Пуассона
{/1, /2} = |ю(х) [5^1/5®, 5/2/5®]^ (здесь ^12[ю] — функционалы, 5/5ю — функциональная производная, [б^), б^)] = (01) (02) — (01) (02) , причем мы полагаем x = (х1, х2)), с помощью
которых ее динамика может быть описана посредством уравнения вида дю/д? = [ю, #[ю]} (где ю — локальная завихренность, Н — гамильтониан системы). При этом существует бесконечномерный набор ядерных функционалов (Казимира) © опера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.