АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 58, № 3, с. 338-341
АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.26
ПОТЕНЦИАЛЫ ДЕБАЯ И "ТИПА ДЕБАЯ" В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ, ИЗЛУЧЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН
© 2012 г. А. А. Клещёв
С.-Петербургский государственный морской технический университет 19008С.-Петербург, ул. Лоцманская 3 E- mail: alexalex-2@yandex.ru Поступила в редакцию 09.05.2011 г.
Рассмотрены различные представления векторного потенциала A вектора смещения u упругих (изотропных и анизотропных) тел и сред через потенциалы Дебая и "типа Дебая". На основе такого искусственного приема решен целый класс трехмерных задач дифракции, излучения и распространения упругих волн. Аналитические решения дополнены расчетами на ЭВМ для трехмерной задачи дифракции на упругом теле сфероидальной формы.
Ключевые слова: дифракция, потенциал Дебая, излучение, распространение, трехмерная задача.
Впервые Дебай предложил разложение векторного потенциала А на скалярные потенциалы и и V в работе [1], посвященной изучению поведения световых волн вблизи точки или линии фокусировки. Позднее такой подход успешно был использован при решении задач дифракции электромагнитных волн на сфере, круглом диске и параболоиде вращения [2—7], а также дифракции продольных и поперечных волн на упругих телах сфероидальной формы [8, 9].
Применительно к задачам, базирующимся на динамической теории упругости, введение потенциалов Дебая происходит по следующей схеме. Вектор смещения и упругой изотропной среды подчиняется уравнению Ламе:
(к + ц^гаёШум - цго^оШ = -рю и, (1) где X и ц — коэффициенты Ламе, р — плотность изотропной среды, ю — круговая частота гармонических колебаний. По теореме Гельмгольца вектор смещения и представляется в виде скалярного потенциала Ф и векторного потенциала А: и = -ягаёФ + гоА (2)
Подставляя (2) в (1), получим для Ф и А два уравнения Гельмгольца — скалярное для Ф и векторное для А:
Дф + Н2Ф = 0, aA + k2 A = 0,
(3)
(4)
где к = ю/ с1 — волновое число упругой продольной волны, с1 — скорость этой волны, к2 = ю/ с2 — волновое число упругой поперечной волны, с2 — скорость поперечной волны.
В скалярном уравнении (3) в трехмерном случае переменные разделяются в 11-ти координатных системах, что же касается уравнения (4), то из него в трехмерной задаче удается получить три независимых уравнения для каждой из компонент
векторной функции А только в декартовой системе координат. Для преодоления этого препятствия и используются потенциалы Дебая и и V, подчиняющиеся скалярному уравнению Гельмгольца:
AV + к2V = 0; AU + к2U = 0.
(5)
Векторный потенциал А (по Дебаю) следующим образом раскладывается с помощью потенциалов и и V:
A = rotrot(RU) + ik rot(RV),
(6)
где Я — радиус-вектор точки упругого тела или упругой среды. Представление (6) для векторного
потенциала А не является единственным, остановимся на двух других с использованием потенциалов "типа Дебая".
Во-первых, это потенциалы, предложенные Бухвальдом [10] при изучении поведения рэлеев-ской волны в трансверсально-изотропной среде. Вектор смещения и в трансверсально-изотроп-ной среде в соответствии с [10] представляется в виде:
u = gradФ + rot^ + gradG.
(7)
При этом полагается, что векторный потенциал ¥ имеет только одну компоненту, отличную от нуля, а именно компоненту а также: потенциал Ф и = Т зависят только от координат х и у, а потен-
циал 9 — только от координаты г. Поэтому декартовые компоненты вектора смещения и (и, V, примут вид [10]:
П = сош!
и = (дФ/дх) + (дЧ/ду);
V = (дф/ду) - (дЧ/дх); = 50/дг.
(8)
Этот подход (с трансформацией декартовых координат в круговые цилиндрические) был использован в работе [11] при изучении фазовых скоростей упругих волн в трансверсально-изотропном цилиндрическом стержне: потенциалы Ф и Тг = Т в этом случае зависят от цилиндрических координат г и ф, а потенциал 9 — от г. Это позволило автору [11] вычислить дисперсионные кривые фазовых скоростей в анизотропном (трансверсально-изотропном) цилиндрическом стержне.
Во-вторых, это потенциалы "типа Дебая", предложенные авторами работы [12]. В этом случае векторный потенциал А выражается через потенциалы "типа Дебая" х и Т следующим образом:
А = + шО; (Чег),
(9)
где — единичным вектор в направлении оси г, ш радиус трансверсально-изотропного круглого цилиндрического стержня, находящегося в упругой среде. В результате использования разложения (9) авторы работы [12] вычислили характеристики рассеяния сдвиговых волн трансверсаль-но-изотропным цилиндром, помещенным в изотропную эпоксидную матрицу.
Покажем эффективность использования потенциалов Дебая при решении трехмерной задачи дифракции на упругом сфероиде [9]. Трехмерная задача дифракции на упругом сфероидальном рассеивателе решается с помощью потенциалов Дебая и и V, через которые выражается векторная
функция ¥ в соответствии с представлением (6):
¥ = го1;го1 (Щ + /к2го1 (Щ.
(10)
Рис. 1. Упругая сфероидальная оболочка в поле плоской гармонической волны.
^ = [ко(£2 - 1 + П2)]-1[да50!)(5£/5Я) X X (52В/5£2) + (5£/501 )(5ц/5Я)(52В/5£5ц) +
- + (5£/5Я)(5ц/501 )(52В/5£5ц) + (5ц/5Я) х
(11)
х (5п/501 )(52В/5п2) + (5В/5£) х х (52£/5Я501) + (5В/5п)(52п/5Я501)] + + ¡к2( ¡ап 01 )-1 (5 V/ 5ф); ¥Я = (5£/5Я)2(52В/5£2) + 2(5£/5Я)(5ц/5Я) х х (52В/5п5£) + (5п/5Я)2(52В/5ц2 ) + (52£/ЗЯ2)? х (5В/5£) + (52ц/5Я2)(5В/5ц) + к22В;
¥ = [(£2 - 1 + П2)1/2яп 01 ко ]
[(5£/5Я) х
х (52В/5£5ф) + (5ц/5Я)(52В/5ц5ф)] -
(13)
Эффективность такого представления становится очевидной, если учесть, что потенциалы и и V подчиняются скалярному уравнению Гельм-
гольца. Удобно сначала записать компоненты ¥ в сферической системе координат, выразив их через и, Vи Я, а затем по формулам векторного анализа перейти к сфероидальным компонентам. Выражения для сферических компонент векторной функции ¥(Тк, Те, Тф) через потенциалы Дебая имеют следующий вид [9]:
- 1к2 [(5£/501 )(5 Р/5£) + (5ц / 501 )(5 V/ 5ц)], где В = й0(£2 - 1 + п2)1/2 и; -1 < ц < +1; 1 < £ < +да.
Сфероидальные компоненты функции будут равны [9]:
¥ = ¥я( ко /к% )£(£2 - 1 + ц2)-1/2 +
+ ^ (ко/кг. )(£2 - 1 + ц2) 1/2(501 / 5£); ¥ = ¥ (ко / кц )ц(£2 - 1 + ц2 )-1/2 + + (ко/кп )(£2 - 1 + ц2 )1/2(501 /5ц); ¥
А ф А ф*
(14)
340
КЛЕЩЁВ
где к^ = к0(^2 - п2)1/2(^2 - 1)1/2; кп = (^2 -
- п2)1/2(1 - п2)1/2.
Выберем в качестве рассеивателя упругую изотропную сфероидальную оболочку (рис. 1). Все потенциалы - потенциал плоской волны Ф0, потенциал рассеянной волны Ф1, скалярный потенциал оболочки Ф2, потенциалы Дебая и и V, а также потенциал Ф3 газа, заполняющего оболочку, раскладываются в ряды по волновым сфероидальным функциям:
Фо = 2
0 n > m (15)
,(1)
x Rmn ( Ci,%) cos m ф;
да да
Ф1 = 2 II Бтг nSm, n (Ci,n) R(Z (Ci,^) cos m ф;
i = 0 n > m
да да
ф2
= 2 I I Sm>n(Ci,n)cosmф[C
m = 0 n > m
+ Dm, ntf£n (Ci,^)l;
(16)
R(m\ (Ci, s)+
m, n m, n
(17)
дада
фз = 2IIE
m = 0 n > m
RZ ( C2,S) Sm, n ( C2,n) cos mф;(18)
m, n m, n
дада
U = 2 II ~Sm,n(C, n)sinmф[Fm,nR™n(C, S) +
m = 1 n > m
(19)
+ Gm, nRm, n(Ct, ] ;
V = 2 II Sm,n(Ct, n)cosmф[Hm,nR^n(Ct, S) +
(20)
i = 0 n > m
+ /.
RL2l (C„ £,)];
m, n m, n
(h^ )-1(5/5^)(Ф0 + Ф1) = h )-i (5Ф2/5^) + + (¿A )-1[(d/5n)( h, ) - (5 / дф)( ¿n Vn )]]=^; h )-1 (5Фз/5^) = (h5 )-1(5Ф2/5^) +
+ (hnh, )-1[(5/5n)( h, v,) - (5 / 5ф)( ^ Vn )]] = Si;
2 2 -1 -^k (Ф0 + Ф1) = - + 2^i[(\hn)-1 x
x (5h^/dn)«n + (h)-1 WdS)] |s = So;
2 2 -1 -X2 k2 Ф3 = - Xi ki Ф2 + 2 ^ [(h^hn)-1 X
X (5h^/dn)«n + (h^)-1 (5 V5S)] |s = ^;
O = (hn/h^)(5/5S)(«n/hn) +
(\ / hn )(5/5n)( «5 / h^) |s = ^;
+
(22)
(23)
(24)
(25)
5 = Si
O = (\/h% )(5/5S)( «,/h,) +
+ (hs/h,)(5/5Ф)(uyh ) .
5 = S0
5 = Si
(26)
где С1 = к1к0; С, = к2к0; С1 = кк0, к - волновое число звуковой волны в газе-заполнителе; Втп, Стп,
Вт,п, Ет,п, Ёт,п, ^т,и, Нт,п, 1т,п - неизвестные коэффициенты разложений. Коэффициенты разложений отыскиваются из физических граничных условий на обеих поверхностях (^0 и см. рис. 1):
1) непрерывность нормальной компоненты смещения на обеих границах и
2) равенство нормального напряжения в упругой оболочке звуковому давлению в жидкости (^0) или газе (^1);
3) отсутствие касательных напряжений на обеих границах оболочки и
В соответствии с этим граничные условия примут вид [9]:
Здесь и ц1 — коэффициенты Ламе материала оболочки; — коэффициент объемного сжатия жидкости; — коэффициент объемного сжатия газа, заполняющего оболочку:
«5 = (hs)-i (5Ф2/5S) + (hnh,)-i x
x [(5/5n)( h, v,) - (5 / 5ф)( hn Vn)];
«n = (hn)-i(5Ф2/5n) + (hA)-i x
x [(5/5ф)(hsvs) - (5/5S)(h,V,)];
«, = (h,)-i(5Ф2/5ф) + (hshn)-i x
x [(5/5S)(hnVn) - (5/5n)(hsVs)]. Подстановка рядов (15)—(20) в граничные условия (21)—(26) дает бесконечную систему уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов. Из-за ортогональности тригонометрических функций cos m(p и sin my бесконечная система уравнений распадается на бесконечные подсистемы с фиксированным индексом т. Каждая из подсистем решается методом усечения. Число удерживаемых членов разложений (15)—(20) тем больше, чем больше волновой размер для данного потенциала.
На рис. 2 представлены относительные сечения обратного рассеяния ст0 различных сфероидальных тел (идеальных и упругих) для двух углов облучения (90 = 0° и 0 = 90°). Кривая 1 соответствует стальной вытянутой сфероидальной оболочке, облучаемой вдоль оси вращения Z(90 = 0°). Кривая 2 относится к идеальному мягкому сфероиду при том же угле облучения. Кривая 3 дает
дада
m
дада
20
10
2
10 C = kh0
Рис. 2. Относительные сечения обратного рассеяния вытянутых сфероидальных тел.
представление о ст0 стального сфероида, облучаемого под углом 90 = 90° (трехмерная задача). Кривая 4 относится к жесткому вытянутому сфероиду: £0 = 1.005, 90 = 90°; кривая 5 — к мягкому вытянутому сфероиду: £0 = 1.005, 90 = 90°. Все кривые рис. 2 даны в зависимости от волнового размера рассеивателя C = М0. Результаты расчетов задач дифракции на упругих телах сфероидальной формы использовались при оценке точности эксперимента по исследованию рассеянного звукового поля упругими полыми цилиндрическими оболочками [13].
Представленные в статье
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.