ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 447, № 5, с. 511-514
МЕХАНИКА
УДК 533.6.011:51
ПОТЕНЦИАЛЫ ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИИ И НОВЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
© 2012 г. А. И. Рылов
Представлено академиком В.В. Козловым 17.08.2012 г. Поступило 20.08.2012 г.
1. Предварительные с в ед е н и я. Рассмотрим плоские потенциальные течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа. На плоскости потенциала (ф, у) они описываются нелинейными уравнениями Чаплыгина
+ = о,
На плоскости годографа (г, е) для них справедливы линейные уравнения Чаплыгина [1—4] первого порядка и эквивалентное им уравнение второго порядка
= 0.
(1)
фг + ку0 = 0, ф0 - уг = 0, кУее + У« = 0.
(2)
Здесь и далее ф — потенциал, у — функция тока, q и е — модуль и угол наклона вектора скорости, и и V — горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости на физической плоскости (х, у), М — число Маха, р — давление, р — плотность, а —
скорость звука, а также г =
Гр dq, }д
к =
1 - М 2
2
р
ф = Яг,е), у = g( г,е)
(3)
уравнений (2), а таких решений на плоскости годографа бесконечно много, на плоскости потенциала отвечает однородно-дивергентная система
kgф + У = 0, gч, -У = 0,
(4)
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
при этом дивергентному уравнению из (4) на физической плоскости отвечает дивергентное уравнение
/р и + gv) я + (/р V - gu)y — 0. (5)
Систему (4) следует рассматривать как аналог исходных нелинейных уравнений Чаплыгина (1).
Некоторые математические аспекты, объясняющие связь линейных уравнений (2) с бесконечным множеством законов сохранения (4) и (5), обсуждаются в [6].
2. Вернемся к дивергентным уравнениям из (4), для которых также рассмотрим потенциал дивергентного уравнения Я:
gv -/ = 0; Яф — g, — /, (6)
где g и / — достаточно гладкие функции г и е.
Из определения потенциала следует, что при переходе от точки а к точке Ь приращение потенциала таково:
Я - Я —
^(gd ф + /d у).
Газодинамические функции е и q, а также М, р, р, а, г, к, являющиеся известными функциями от q, в рассматриваемых дозвуковых течениях являются достаточно гладкими функциями на плоскости потенциала и на физической плоскости. Исключение составляют точки торможения, при обходе которых е меняется на конечную величину.
В работе [5] показано, что каждому решению
Если точки а и Ь лежат на одной линии тока, имеем
ЯЪ - Яа —
^ф.
Так как в дальнейшем потенциал Я будет присутствовать не только в виде своих производных, но и в явном виде, необходимо подчеркнуть, что Я содержит интегралы, в том числе вдоль линии тока, подынтегральные функции которых содержат газодинамические параметры. Поэтому Я является функционалом.
Рассмотрим вопрос построения для каждых двух дивергентных уравнений с индексами ' и ] нового дивергентного уравнения (дополнительного закона сохранения) и отвечающего ему потенциала Я(', у)
¿У> - №} — 0,
Я
(I,л
,ф - - • (7)
Ранее в [5] с использованием потенциалов Я было построено бесконечное множество дополни-
ъ
а
ъ
а
тельных законов сохранения, в частности, хорошо известный закон сохранения момента импульса. Но достигнуто это было благодаря специфике решений уравнений (2), полученных разделением переменных, так как каждой константе разделения уравнениям (2) отвечают четыре решения, на основе которых из соображений размерности формируются две пары дивергентных уравнений. Два дополнительных закона сохранения строятся так. Потенциал первого (второго) дивергентного уравнения первой пары умножается на первое (второе) дивергентное уравнение второй пары, после чего результаты складываются, что и приводит к первому дополнительному закону сохранения. Для построения второго дополнительного закона сохранения пары меняются местами. Как видим, в каждый из двух дополнительных законов сохранения потенциалы исходных законов сохранения входят несимметрично.
Отметим, что приведенный из [5] алгоритм построения дополнительных законов сохранения отдаленно напоминает методику нахождения интегрирующего множителя из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Еще раз подчеркнем, что описанный выше алгоритм отвечает лишь специфике решений уравнений (2), полученных разделением переменных. Для однородно-дивергентных систем (4), отвечающих полиномиальным решениям уравнений (2) [7], данный алгоритм неприменим. Тем более он неприменим для дивергентных уравнений (4), не связанных ни с разделением переменных, ни с полиномиальными решениями уравнений (2) на плоскости годографа, если таковые и существуют.
Тем не менее некоторые элементы приведенного выше алгоритма могут быть использованы при построении дополнительного закона сохранения на основе двух произвольных дивергентных уравнений, что видно из следующей теоремы.
Теорема. Для двух произвольных дивергентных уравнений с индексами I и ] и отвечающих им потенциалов
-/Ц = 0, ; £ = 0, В® (8)
имеет место следующий дополнительный закон сохранения и соответствующий ему потенциал:
Л* - = о,
g
RÍi,j) = r(0rOI
= RU)g(i) + R{í)g(j),
(9)
(10)
fi,j) _ R(j)+ Ri)fj)
Для доказательства достаточно умножить потенциал (потенциал R(,)) на дивергентное уравнение с индексом i (с индексом j) и сложить полученные результаты.
Новым и принципиальным здесь является то, что функции f и g, входящие в дивергентное урав-
нение (9), зависят уже не только от газодинамических параметров, но и от функционалов.
Замечание 1. Построенные функции j) и f(hj), так же как и потенциал течения ф, могут содержать линии разрыва. Например, при обтекании тела такой линией может быть линия тока, выходящая из точки схода.
Замечание 2. Ранее в [8, 9] построено конечное число законов сохранения трехмерной нестационарной газовой динамики. На законы сохранения из [8, 9], справедливые для плоских стационарных течений газа, практически без изменений распространяется приведенная выше теорема. Отметим в частности, что потенциал течения ф, являясь и потенциалом дивергентного уравнения uy — — vx = 0, может быть записан в виде интеграла вдоль прямой y = const:
Ф = фа + Judx.
3. Рассмотрим пример дополнительного закона сохранения для двух дивергентных уравнений, отвечающих полиномиальным решениям первой степени [5, 7]:
- 0, = о, R(1);
+ K, = 0, R(2).
(11)
Дивергентные уравнения из (11) отличаются от системы (1) лишь правомерной заменой к^ на Кр,
где К = |к = |к (т)йг.
Дополнительный закон сохранения, согласно (9) и (10), имеет вид
(1Я(2) - 0Я( )^ - (0Я(2) + КЯ( 1 )<р = 0,
я(2) = я(я( 2)
4. Рассмотрим четыре сопоставимых по размерности дополнительных закона сохранения, два из которых построены в [5] (о них вкратце говорилось выше), а два других получены с помощью вышеприведенной теоремы. Для этого напомним четыре дивергентных уравнения, отвечающих решениям уравнений (2), полученных разделением переменных с константой разделения X = 1 [5]:
-fi) = 0, Rw, i = 1, 2, 3, 4,
Ji)
J2)
sin 0
cos 0
f(l) = cos0
pq
f (2) = sim
pq
2
g(3) = psin0, f(3) = p+pqq-
q pq
cos0
14) _ P
-cos 0, f q
(4) = p + p q
pq
sin 0
(12)
(13)
(14)
(15)
X
a
ПОТЕНЦИАЛЫ ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
513
Потенциалы R(i), i = 1, 2, 3, 4, дивергентных уравнений (12)—(15) имеют вид
R1 > = y, R2> = х, R(3) = X, R(4) = Y. Здесь x и y — физические координаты, а для объяснения обозначения X приведем выражение для горизонтальной силы, создаваемой отрезком a, ф линии тока, которую временно считаем твердой стенкой, выше которой вакуум: ф Ф
Jg(3)^ = sin0^ф = R(3) - R(3 = X- X,.
а а
Аналогично объясняется равенство R(4) = Y
Для приведенных четырех законов сохранения в [5] были построены два несимметричных дополнительных закона сохранения
(yXv + xYv)v - (yXv + xY4= 0, (16)
(ХУф + Yx(„\ - (Xyv + YXy)ro = 0.
(17)
Выражения для производных хф, ..., У^ через газодинамические параметры приведены в (12)—(15).
Закон сохранения (16) давно и хорошо известен как закон сохранения момента импульса. В то же время закон сохранения (17), если не считать [5], является новым и его физический смысл, скорее всего, нигде не обсуждался. Поэтому представляет интерес некоторое простое соотношение, связывающее потенциалы приведенных несимметричных законов сохранения с потенциалами симметричных законов сохранения, также отвечающих константе разделения X = 1.
Итак, закону сохранения (16) при перемещении от точки а до текущей точки 8 отвечает приращение потенциала
s
М - Ма = ^(уХф + хУф)йф + (уХч + хУч)йу) =
= |( у йХ+х йУ),
а
а закону сохранения (17) м* - М* = |((Хуф + УХф)йф + (Хуч + Ухч)йу) =
а
= |(Хйу + Уйх).
а
Физический смысл потенциалов у, х, X, У и М вполне понятен. В то же время такого очевидного толкования для потенциала М* нет. Некоторую ясность могут дать следующие соотношения, связывающие все шесть указанных потенциалов, два из которых М и М* отвечают дополнительным несимметричным законам сохранения из [5], а
также потенциалы Я(1,3) и Я(2,4) симметричных законов сохранения из настоящей работы:
(М + М *) - (М + М * )а = |( й(уХ) + й(хУ)) =
а
= (уХ + хУ) - (уХ + хУ)а =
= 3) + Я(2' 4)) - 3) + Я(2' 4))а.
Иными словами, суммарное приращение потенциалов двух дополнительных несимметричных законов сохранения из [5] равно суммарному приращению потенциалов двух дополнительных симметричных законов сохранения из настоящей работы.
5. Рассмотрим дозвуковое обтекание тела равномерным и горизонтальным слева на бесконечности потоком. Рассматривается такая схема течения, при которой точки растекания и схода находятся на теле. Для определенности считаем, что в точке растекания потенциал течения ф = 0. Из этого сразу следует, что в точке схода и на линии схода возможен разрыв потенциала ф, некоторых потенциалов из предыдущего раздела У, М, М*, ^(2,4) = хУ и бесконечного множества потенциалов других законов сохранения. Других линий разрыва потенциалов в рассматриваемом течении нет.
Применительно к данному обтеканию, в первую очередь, представляют интерес те законы сохранения, для каждого из которых приращение потенциала при прохождении замкнутого контура, охватываю
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.