РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 6, с. 734-742
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ
УДК 621.372.8
ПОТЕРИ В ОДНОМОДОВЫХ ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДАХ НА ОДНОКРАТНЫХ ИЗГИБАХ ПО МАЛОМУ РАДИУСУ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
© 2004 г. В. А. Аксенов, В. В. Волошин, И. Л. Воробьев, Г. А. Иванов, В. А. Исаев, А. О. Колосовский, С. К. Моршнев, Ю. К. Чаморовский
Поступила в редакцию 17.11.2003 г.
Теоретически и экспериментально исследованы потери на однократных изгибах по малому радиусу (~1 мм) в одномодовых волоконных световодах с близкими к прямоугольному профилями показателя преломления. Использован метод конформного отображения. Получены аналитические зависимости потерь от параметров волокон. Результаты подтверждены экспериментом.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема потерь в волоконных световодах (ВС) на изгибах малого радиуса возникла с их появлением [1-7]. Одним из продуктивных методов теоретического решения этой проблемы является метод конформного отображения (МКО) изогнутого ВС в прямолинейный с перекошенным профилем показателя преломления (ПП) [1-5]. Экспериментаторы этот метод также часто используют, так как он позволяет легко представить физическую картину процесса выхода излучения из сердцевины в оболочку.
В работе [3] получены довольно громоздкие формулы, позволяющие сравнивать теорию с экспериментом, но без учета изменения ПП, связанного с изгибными деформациями. В экспериментальных работах [6, 7] не проведено сопоставление полученных результатов с теорией. Численные расчеты (см., например, [8, 9]), как правило, проведены для конкретных значений параметров ВС и не допускают количественного сопоставления с экспериментальными результатами.
В данной работе при использовании метода МКО получены аналитические выражения, позволяющие определять зависимость потерь на изгибе от различных параметров ВС.
ВС представляет собой в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, существенно неоднородную среду, в которой можно выделить сердцевину и оболочку, различающиеся ПП пс и п0 соответственно. Фазовая скорость единственной моды заданной поляризации, канализируемой одномодовым ВС, принимает промежуточное значение между фазовыми скоростями распространения волн в однородных средах оболочки с/п0 и сердцевины с/пс. Выбор фазовой скорости определяется решением волновых уравнений в сердцевине и оболочке и последующей сшивкой полученных волновых функций на границе сердцевина-оболочка. Последняя
операция позволяет определить константу распространения в, ее эффективный ПП пв = 0/к0, п0 < в/к0 < пс, где к0 - волновой вектор в пустоте, и фазовую скорость с/пв канализируемой волны.
В изогнутом по радиусу Я на угол изгиба ф волокне (рис. 1) внешний слой упруго растянут до длины ф(Я + г), а внутренний сжат до ф(Я - г), где г - радиус волокна. Геометрическое удлинение оптического пути на внешней поверхности изгиба частично компенсируется уменьшением ПП, связанным с уменьшением плотности вещества при растяжении. Однако даже при изгибе по радиусу Я = 1 мм удлинение оптического пути составляет 90% от геометрического удлинения. В изогнутом ВС фрагменты волны, идущие по его внешнему краю, за одно и то же время должны проходить больший путь по сравнению с осевыми фрагментами, т.е. должны двигаться с большими, чем в неизогнутом ВС, скоростями. При малых радиусах Я вполне возможна ситуация, когда крылья волны должны двигаться по внешнему краю ВС со скоростью, большей скорости света в оболочке. Это будет означать, что волна непрерывно теряет интенсивность за счет отставания фрагмен-
Я + г
Я - г
Рис. 1. Деформация ВС на изгибе.
г
ф(Я + r)
ф(К - r)
Рис. 2. Отображение изогнутого волокна в прямолинейный отрезок.
тов крыльев волны. В данной работе нас будут интересовать именно эти потери.
Цель данной работы - расчет потерь канализируемой модности излучения на однократных изгибах одномодовых ВС с углом изгиба ф = п/2 для сравнительно малого радиуса R (до R = 1 мм) и экспериментальная проверка полученных результатов.
Используем известный метод [1, 2] конформного преобразования на комплексной плоскости W = exp(Z/R), где W и Z - комплексные числа, переводящего внутреннюю часть полукруга в верхнюю полуплоскость. Это преобразование превращает изогнутый по радиусу R световод в прямолинейный, а указанную выше разницу в оптических путях переводит в изменение профиля ПП. Метод требует некоторых пояснений.
На рис. 2 приведен прямолинейный участок волокна, полученный в результате конформного преобразования из изогнутого отрезка. При таком преобразовании на границе с внешней средой ничего не должно измениться, т.е. путь ф^ + r) волна должна пройти со скоростью c/no. Волна, идущая на расстоянии x от оси в изогнутом волокне, проходит путь ф^ + x), однако в рассматриваемой модели она, как и все другие волны, должна пройти путь ф^ + r), т.е. должна двигаться быстрее и модельный эффективный показатель преломления пэф может быть определен из соотношения ф^ + x)/(c/no) = ф^ + г)/(с/пэф), откуда (с учетом малости отношений r/R и x/R) получим (как и в МКО)
^эф
[ 1 - r/R + x / R ] no.
(1)
n х 1000 1480 г
1470 1460 -1450 -1440 J— 1430 1420 1410
1400
-40 -30 -20 -10 0
10 20 30 40
x, мкм
В МКО скорость распространения волны по внешнему краю световода соответствует ПП оболочки, тогда чем ближе к оси изгиба, тем быстрее должна двигаться волна, чтобы успевать за периферийным фрагментом. В используемой модели нет катастрофических отрывов мощности волны вследствие невозможности движения быстрее скорости света. В то же время появляется возможность тунеллирования и распространения в оболочке в многомодовом режиме. Это приводит к перекачке мощности волны, идущей по сердцевине, в оболочечные моды, т.е. к потерям канализируемого излучения.
Рис. 3. Перекосы профиля ПП при изгибах по различным радиусам Я. Кривые 1-3 соответствуют Я = 1 м; 8 мм; 2 мм. В профилях показаны уровни Р/£0 первой моды, пунктиром дана ширина барьера.
В такой задаче весьма уместно использовать квантово-механические аналогии, отмеченные еще Ферми [10]. В частности, квадрат ПП в обычном волновом уравнении соответствует энергии в волновом уравнении Шредингера. Профиль ПП ограничивает распространение электромагнитной волны точно так же, как потенциальная энергия ограничивает движение квантовой частицы (потенциальная яма). Квадрат эффективного ПП волны
= (РД0)2 будет соответствовать уровню энергии в потенциальной яме: п2(г) и т.д. Поскольку в квантовой механике решено очень много простых задач на движение в ограниченном пространстве, такие аналогии весьма наглядны.
Типичные перекосы профиля ПП, связанные с изгибами по различным радиусам Я, приведены на рис. 3. Предлагаемая задача переходит в задачу определения потерь вследствие тунеллирования излучения между сердцевиной и оболочкой. Из рисунка видно, что уменьшение радиуса изгиба Я приводит к большему перекосу профиля ПП, это сокращает толщину барьера, сквозь который тунне-лирует излучение. На практике это означает, что сравнительно небольшое уменьшение радиуса изгиба может привести к радикальному увеличению потерь (от пренебрежимо малых до ~3.. .5 дБ).
1. ТЕОРИЯ ПОТЕРЬ НА ИЗГИБЕ
Расчет потерь одномодового ВС на одиночном изгибе радиусом R с углом изгиба ф будем строить на основе МКО согласно работам [1, 2]. Пусть р -радиус сердцевины, тогда в линейном приближении эффективный ПП n(x) можно представить как функцию расстояния x от оси ВС:
Гпс[ 1 - r/R + x/R] при 0 < |x| < р, п (x) = i (2)
[no[ 1 - r/R + x/R] при р < \x\ < r.
Введем функцию f(x) согласно равенству f(x) = = 1 - r/R + x/R и обозначим ее значения на границе сердцевина-оболочка через ^ и на оси ВС через f0:
f г = f (x = р) = 1- r/R + р /R, f 0 = f (x = 0) = 1- r/R.
(3)
ßR/ko = n(x•).
(5)
ßR/kо = (ß/kо)[ 1- (r/R)] = n,fo,
(6)
V = ко р л/n
а константу у, определяющую затухание волны оболочке, запишем в виде
= к о рл/ф/ко)
2 2 - По.
(8)
Тогда численное решение волнового уравнения для прямоугольного профиля ПП в интервале 1.1 < V < < ^тс имеет вид (см., например, [12])
v = 1.1428 V - о.996.
(9)
Подставляя (9) в (8) и учитывая (7) можно получить выражение для определения константы в:
(в/к0)2 = пв2 = п20 + (V/V)2(п1- п1). (10)
Интеграл в выражении (4) с учетом (2), (3), (6) и (10) имеет вид
Эти константы упрощают математические выкладки.
Как видно из рис. 3, для прямоугольного профиля вертикальные стенки сердцевины остаются вертикальными. Наклон п(х) увеличивается с уменьшением радиуса Я. При некотором радиусе изгиба в оболочке возникает область, в которой эффективный ПП волны пв = в/к0 становится меньше, чем п(х) (так же как в сердцевине), т.е. для распространяющейся по сердцевине моды возникает в оболочке разрешенное состояние, в которое эта мода может перекачивать мощность в процессе ту-неллирования. Между разрешенными состояниями в оболочке и состоянием в сердцевине существует барьер, в котором амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону. Вероятность ту-неллирования сквозь этот барьер (для интенсивности волны) определяют по формуле
О = ехр | -2 к о (в я/ко)2- п (х) йх (4)
где вЯ - значение константы распространения в эффективном профиле ПП; хб - вторая граница барьера, определяемая из условия
= JVn2 f2 - [По f о + (По/R)x]2dx = р
x6
= ( R/По )J Jnf-y dy,
(11)
где сделана замена переменных:
У = п0/о + (п0/Я) х; (Я/п0) йу = йх. (12) Вторую границу барьера хб определим из (5):
хб = (п, - по) / о Я/по. (13)
Взяв интеграл (11), получим 5 = (Я/2п0 )х
• (14)
х{ Wn, f2- У2 + п2 f о arcsin (y/n, fо)}
x = р
При подстановке предела х = хб в выражение (14) функция у(х = хб) = п/ поэтому корень в (14) обращается в нуль, а значение агс8т (1) = п/2. При подстановке предела х = р функция у(х = р) = п/г. Вероятность тунеллирования О имеет вид
D = exp
22
коRf0 п,,
х { П/2 - arcsinM - W1 - M2}
(15)
Несмотря на перекос профиля ПП, уровень в/к0 почти не сдвигается относительно сдвинутых эффективных значений пс и п0, поэтому можно записать
где для определения пв выбирают стандартное решение волнового уравнения для цилиндрического в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.