МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.4
© 2008 г. А.А. МОВЧАН, Л.Г. СИЛЬЧЕНКО
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СПЛАВА С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ, ВЫЗВАННАЯ ОБРАТНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ МАРТЕНСИТНЫМ ПРЕВРАЩЕНИЕМ
Решена задача об осесимметричной потере устойчивости круглой пластины из сплава с памятью формы, претерпевающей обратное мартенситное превращение под действием сжимающей нагрузки, происходящее после прямого мартенситного превращения под действием, вообще говоря, другой (растягивающей или сжимающей) нагрузки. При решении не привлекались упрощающие допущения относительно поперечного размера зоны дополнительного фазового превращения, связанного с выпучиванием. Математически проблема свелась к нелинейной задаче на собственные значения. Предложен алгоритм ее решения. Установлено, что критическая нагрузка потери устойчивости при обратном превращении, полученная с учетом развития фазовых деформаций может быть многократно ниже той же величины, найденной в предположении упругого поведения материала даже для наименьших (мартенситных) значений упругих модулей. Критическое усилие потери устойчивости при обратном превращении уменьшается с ростом величины модуля нагрузки, действовавшей на предварительном этапе прямого превращения, и слабо зависит от того, была ли эта нагрузка растягивающей или сжимающей.
В сплавах с памятью формы (СПФ) могут происходить взаимосвязанные процессы деформирования и прямых (из аустенитной фазы в мартенситную) или обратных термоупругих фазовых переходов. Прямое превращение происходит при охлаждении и (или) росте напряжений и сопровождается существенным (около трех раз в никелиде титана) уменьшением модуля Юнга. Если прямое превращение происходит под действием напряжений с ненулевым девиатором, то оно сопровождается накоплением макроскопических фазовых деформаций, интенсивность которых может доходить до 8%. При обратном превращении, происходящем при нагреве и (или) разгрузке модули возрастают, а накопленная деформация снимается.
Для пластин, сжатых в своей плоскости, в случае равномерного распределения температуры по толщине можно выделить тривиальные процессы, при которых пластина деформируется, оставаясь плоской, а параметр фазового состава имеет равномерное распределение по толщине. При достаточно высоких сжимающих нагрузках тривиальный процесс равномерного сжатия может стать неустойчивым в том смысле, что при наличии малых возмущений прогиба пластины, температуры, параметра фазового состава или нагрузки соответствующий возмущенный процесс может существенно отличаться от невозмущенного.
Результаты некоторых опытов по потере устойчивости элементов из СПФ приведены в [1, 2], постановке и решению соответствующих краевых задач посвящены работы [3-11]. Экспериментальные исследования [2] и некоторые аналитические решения для стойки Шенли [3, 4], стержней [5-7],
прямоугольных пластин при прямом [8] и обратном [9] превращениях показали, что процессы термоупругих фазовых превращений могут существенно (в несколько раз) уменьшать критические нагрузки потери устойчивости по сравнению с их упругими значениями, вычисленными для наименее жесткого мартенситного состояния материала. Кроме того, потеря устойчивости происходит не в однофазном мартенситном состоянии, когда упругие модули минимальны, а в двухфазном, когда значения объемных долей аустенитной и мартенситной фаз примерно равны. Наибольшее удивление этот факт вызывает для исследуемой в данной работе потере устойчивости при обратном превращении, в процессе которого модуль Юнга от момента начала фазового перехода и до момента потери устойчивости возрастает примерно в полтора раза.
В работах [3-9], а также в данной публикации используется статический критерий потери устойчивости, следуя которому критической нагрузкой считается такая, при действии которой возможно нетривиальное решение соответствующей квазистатической задачи. При решении задач устойчивости стержней и пластин из СПФ в случае добавления к малым возмущениям прогиба (от амплитуды которых критическая сила не зависит) малых возмущений внешней нагрузки, критические силы меняются в зависимости от величины последних [5, 8, 9]. Таким образом, задача устойчивости элементов из СПФ при наличии малых возмущений нагрузки становится неопределенной. Меняет решение задачи устойчивости элементов из СПФ учет или неучет малых возмущений параметра фазового состава и тензора фазовых деформаций.
В соответствии с этим задачи устойчивости для элементов из СПФ можно решать в рамках ряда постановок (концепций, гипотез), различающихся тем кругом величин, малые возмущения которых допускаются (учитываются) при решении. Совокупность этих постановок в применении к потере устойчивости элементов из СПФ при прямом мартенситном превращении кратко описана в [4, 5]. Однако в применении к процессу потери устойчивости при обратном превращении ряд формулировок должны быть изменены.
Основной вопрос, на который необходимо ответить при решении задачи устойчивости элементов из СПФ, состоит в том, учитываются или не учитываются малые возмущения параметра фазового состава (объемной доли мартенситной фазы д), поскольку соответствующий выбор наиболее существенно меняет результаты решения задач устойчивости. Если при переходе в смежную форму равновесия фазовый состав всех точек тела считается неизменным, то речь идет о концепции "фиксированного фазового состава". Противоположный подход можно квалифицировать как концепцию "дополнительного фазового превращения" (происходящего при переходе в смежную форму равновесия). Следует отметить, что из-за наличия у СПФ температурного гистерезиса параметр фазового состава в СПФ может испытывать только односторонние малые вариации. Если речь идет о потере устойчивости при обратном превращении, то вариация объемной доли мартенситной фазы не может быть положительной.
Параметр фазового состава не является независимой величиной, типа нагрузки или температуры, а меняется, в силу определяющих соотношений вместе с изменением температуры и, в рамках связных моделей для большинства СПФ, при изменении действующих напряжений. Поэтому наличие или отсутствие вариации д связано с наличием или отсутствием вариаций температуры, прогиба и нагрузки, а также с используемой системой опреде-
ляющих соотношений. В рамках несвязных моделей, не учитывающих влияние действующих напряжений на параметр фазового состава, концепция "фиксированного фазового состава" соответствует отсутствию вариаций температуры. Вариации параметра фазового состава могут отсутствовать и в случае использования связной модели при специально подобранных значениях вариаций температуры и (или) внешней нагрузки, а также для СПФ типа СиМп, для которых влияние действующих напряжений на фазовый состав отсутствует или весьма незначительно.
В рамках гипотезы "фиксированного фазового состава" задача устойчивости для элементов из СПФ имеет решение, по форме совпадающее с решением соответствующей упругой задачи, в котором постоянные упругие модули заменены на соответствующие функции параметра фазового состава.
В рамках концепции "дополнительного фазового перехода" результат решения задачи устойчивости существенно зависит от того, учитываются или нет при решении малые возмущения внешних нагрузок. Дело в том, что при решении задачи в связной постановке зона дополнительного фазового перехода занимает, вообще говоря, не все, а только часть сечения пластины, причем расположение границы этой зоны зависит от наличия и величины этих малых возмущений. Точнее, наличие сколь угодно малых возмущений действующей нагрузки может привести к конечным изменениям конфигурации зоны дополнительного фазового перехода, а значит, и критических значений нагрузки.
Здесь необходимо выделить гипотезы "фиксированной нагрузки", в рамках которой возмущения внешних нагрузок не допускаются и "варьируемой нагрузки" в противоположном случае. Условия отсутствия вариаций внешних нагрузок дают добавочные уравнения для определения границы зоны дополнительного фазового перехода. При совместном использовании концепций "дополнительного фазового перехода" и "фиксированной нагрузки" решение задачи устойчивости для СПФ однозначно определено в том же смысле, в каком однозначно определено решение задачи упругой устойчивости при статическом подходе.
В рамках концепции "варьируемой нагрузки" результат решения задачи устойчивости для СПФ теряет однозначность. Однако удается установить верхнюю и нижнюю грани для критических сил, которые соответствуют случаям полного отсутствия дополнительного фазового перехода (верхняя граница для критической нагрузки, совпадающая с определяемой в рамках концепции "фиксированного фазового состава") и нижняя граница (соответствующая случаю, когда все сечение пластины испытывает дополнительный фазовый переход). Первый вариант в дополнительном названии не нуждается, а второй подход можно обозначить как гипотезу "повсеместного дополнительного фазового перехода".
В данной работе изложенные выше положения иллюстрируются на примере решения задач об осесимметричной потере устойчивости круглой свободно опертой или жестко защемленной пластины, претерпевающей обратное мартенситное превращение под действием равномерно распределенной по контуру внешней нагрузки. Найдены аналитические решения в рамках всех перечисленных выше постановок за исключением случая свободного опирания в рамках гипотезы "фиксированной нагрузки", для которого получено численное решение.
1. Постановка задачи. Рассматривается сплошная однородная круглая пластина, имеющая постоянную толщину И и радиус Я, изготовленная из СПФ. Пластина отнесена к полярной системе координат г, 0, оси которой расположены в срединной плоскости, а начало в центре пластины. Она нагружена по торцу г = Я равномерно распределенной по толщине и окружной координате и не меняющейся при фазовом переходе внешней нагрузкой, действующей в радиальном направлении. Положительной считается сжимающая нагрузка. Температура всех точек пластины в каждый момент времени считается одинаковой.
Предполагается, что в процессе предварительного прямого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.