ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 9, № 2, 2013, стр. 3-10
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3:534.1
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2013 г. Д.Н. Шейдаков1, И.Б. Михайлова1
Целью настоящего исследования является изучение бифуркации равновесия нелинейно-упругих пористых плит с функционально-градиентной структурой. В рамках общей теории устойчивости трехмерных тел проведен анализ выпучивания прямоугольной плиты при двухосном сжатии-растяжении. Для описания поведения плиты использовалась модель микрополярной сплошной среды. При этом предполагалось, что упругие свойства материала изменяются по толщине. Такой подход позволил более подробно изучить влияние структуры материала на потерю устойчивости плиты.
Ключевые слова: нелинейная упругость, функционально-градиентные материалы, микрополярная среда, устойчивость деформируемых тел, влияние неоднородности, прямоугольная плита.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с ростом числа новых конструкционных материалов все более актуальной становится проблема анализа устойчивости тел со сложной микроструктурой. В частности, в последние десятилетия широкое применение получили различные конструкции, выполненные из пористых материалов, таких как металлические и полимерные пены [1-3]. Пены представляют собой ячеистые структуры, состоящие из твердого металла (например алюминия, стали, меди и т.д.) или полимера (полиуретан, полиизоцианурат, полистирол и т.д.) и содержащие большое количество заполненных газом пор. Они бывают двух типов - с открытыми и закрытыми порами. Определяющей характеристикой металлических и полимерных пен является очень высокая пористость - как правило, более 80, 90 и даже 98% объема составляют пустоты.
Конструкции, выполненные из пористых материалов, широко используются в современной аэрокосмической и автомобильной промышленности. Причина этого заключается в ряде их преимуществ: низкий удельный вес, высокая прочность, возможность поглощать энергию и т.д. Как правило, такие конструкции имеют функционально-градиентную структуру (например, пористое ядро, покрытое прочной и жесткой оболочкой). Это необходимо для защиты от коррозии и воздействия высоких температур, а также для оптимизации механических свойств в процессе нагружения.
1 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: sheidakov@mail.ru
ДВУХОСНОЕ СЖАТИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ
Настоящее исследование посвящено изучению устойчивости нелинейно-упругих пористых плит с функционально-градиентной структурой. Рассмотрим прямоугольную плиту длины Ь1, ширины Ь2 и толщины Н, поведение которой описывается моделью микрополярного упругого тела [4-9]. В случае двухосного растяжения-сжатия радиус-вектор R и тензор микроповорота ^ определяющие положение и поворот частицы среды, задаются следующими соотношениями [10, 11]:
R = а *1 e 1+ а2 х 2 e 2+/(х 3) e з, (1)
H = e 1 7 e 1+ e2 7 e2 + e3 7 e3, (2)
0< X1 < Ь1, 0< Х2< Ь 2, | х 31< Н
Здесь х1, х2, х3 - декартовы координаты в отсчет-ной конфигурации (лагранжевы координаты), ^^ e2, e3} - ортонормированный векторный базис декартовых координат, а1 и а2 - коэффициенты сжатия вдоль осей х1 и х2 соответственно, /(х3) -некоторая неизвестная функция, характеризующая толщинную деформацию неоднородной плиты.
Из представлений (1), (2) следует, что тензор изгибной деформации L равен нулю [12, 13]:
L X E = H) ■ H Т = 0,
а мера деформации типа Коши Y выражается следующим образом (здесь и далее штрих обозначает производную по х3):
Y = C ■ HТ = а1 e 1 7 e 1+ а2 e2 7 e2+/'e3 7 e3, (3)
где grad - градиент в лагранжевых координатах, В частном случае, когда характер изменения упругих параметров А, п, 1 по толщине одинаков,
А (*з) = Ао р (х з ^ п (х з) = По р (х 3 X 1 (хэ) = Ко р (х 3 ),
С = grad Я - градиент деформации, Е - единичный тензор.
Будем полагать, что упругие свойства плиты изменяются по толщине и описываются моделью выражение для функции /(х3) имеет достаточно физически линейного микрополярного материала простой вид: [14, 15]. Удельная потенциальная энергия дефор мации в этом случае имеет вид
/(хз) = азхз, «з = 1 +
Ж = |(ц(хз) + к(хз))1г((У - Е) ■ (У - Е)т) +
+|А(хз)1;г2(У - Е) + |п(хзМУ - Е)2 +
+| Tl(xз)tr2Ь + }с2(хзМЬ ■ Ьт) + 1
Ао(2- а1-[а2) Ао + 2по + Ко
+-Сз( xз)tr Ь2.
(4)
Здесь А, п - функции, описывающие изменение классических параметров Ляме, к, с1, с2, сз -микрополярные упругие параметры, зависящие от толщинной координаты.
Тогда для деформации двухосного сжатия (1),
ВОЗМУЩЕННОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛИТЫ
Рассмотрим малое возмущение описанного выше начального деформированного состояния. Точкой будем обозначать линейные части приращений различных величин, описывающих возмущенное состояние равновесия неоднородной плиты. Справедливы следующие соотношения [14]:
С = grad V, № = -Н х ~ У* = (grad V + С х ~) Нт, Ь* = grad ~ • Нт. (8)
(2) тензор моментных напряжений типа Пиолы С Здесь V - вектор добавочных перемещений, ~ -
равен нулю:
дЖ т
С = ■ Н = )Е + с2 Ь + Сз Ьт) ■ Н = о, дЬ
а тензор напряжений типа Пиолы Б задается соотношениями
дЖ
■д^- ■ Н = ( А? +1 (а1-1)) е 1 7 е 1 + дУ
Б
линейный вектор добавочного поворота, характеризующий малый поворот частиц микрополярной среды, отсчитываемый от начального деформированного состояния.
Линеаризованные уравнения равновесия микрополярной среды имеют вид [14]
div Б* = о, div в* + [grad vT • Б + Ст • Б]х = о. (9)
+(А? +1(а2-1))е2 7е2 + (А? +|(/' -1))ез 7ез(5) ? = а1 + а2+/' -з, | = 2п + к.
В случае неоднородного физически линейного микрополярного материала (4) линеаризованные тензоры напряжений и моментных напряжений При отсутствии массовых сил и моментов урав- типа Пиолы Б* и в* определяются из выра-
нения равновесия нелинейной моментной теории жений упругости записываются следующим образом
[11, 14]:
div Б = о, div в + (Ст • Б) х = о, (6)
где div - дивергенция в лагранжевых координатах.
Будем считать, что на лицевых поверхностях плиты (хз = ±Н/2) отсутствуют внешние нагрузки, а на плоскости хз = о нет вертикального смещения:
В' = (А(trУ')Е + (п + к)У' + пУ*Т) ■ Н -
- (А^(У - Е) Е + п(Ут - Е) + + (п + К)(У - Е)) ■ Н X (Ю)
в* = (с^ИЬ^Е + С2Ь* + СзЬ*т) • Н -- (7^гЬ)Е + с2Ь + сзЬт) • Н х (11)
ез ■ Б|хз=±Я/2 = о, Ло) = о.
(7)
Решая краевую задачу (6), (7) с учетом соотношений (5), находим функцию /(хз):
Линеаризованные граничные условия на лицевых поверхностях плиты (хз = ±Н/2) записываются следующим образом:
лз
/(х з) = $
(2- а1 - а2) А (х)
А (2 )+2п (г) + к (2)'
е з ■ Б'
| хз = ±Н/2 0, ез ■ в | хз=±Н/2
Будем полагать, что на краях плиты (х1 = о, Ь{; х2 = о, Ь2) отсутствуют силы трения и задано
о. (12)
& + х
з
о
постоянное нормальное перемещение:
e 1 $ О $ e 2! %\ =0, Ь1= e 1 $ D $ e з| х 1 = 0, Ь1= e 1 $ I Х1=0, ьг= e 1 $ С $ е 1! х1 = 0, 61= е 2 $ х1 =0, 61= е 3 $ Х! = 0, Й1 = 0'
е 2 $ О • $ е
1 I х2 = 0, Ь2
= е 2 $ О • $ е
з х 2 = 0, ь 2
е2 $ v 1 х2=0, Ь2=0,
е 2 $ в • $ е
2 I х2 = 0, Ь2
е 1 $ ~ I х2=0, ь2 = е з $ ~ I х2=0, ь2 = 0.
(13)
Запишем представление вектора добавочных перемещений V и вектора добавочного поворота ~ в базисе декартовых координат:
~ = м1е1 + м2е2 + ~3е3.
(14)
С учетом представлений (8), (14) выражения линеаризованной меры деформации типа Коши У и линеаризованного тензора изгибных деформаций Ь примут вид
• дд , У ' = —- е ^
дх 1
дд 2 дх2
дд 2
Удх 1 дд 1 ^ дх 2
/ дд 1
\ дх 3
- «1 ~3 |е 1'
«2~3 |е2(
-1'~2 )е3
дд 3 ,дх 1
дд 3 дх 2
/ дд 2
\ дх3
,• д~1 Ь = ——е ^
дх 1
д~2 дх 1
дд 3 дх 3
+ а1 ~ )е 1 7 е3 +
- «2 ~1 )е 2(
+/' ~1 )е 3 7 е 2; (15)
дм3
дх 1
дм1
дх 2
дм1 дх 3
д~2 -1
дх 2
д~2 -1
дх 3
дм3 дх 2
дм3 дх 3
(16)
дх 1
е 2 $ О' $ е 3 = (п + к)
л дд 1 „ дд2
е 2 $ О $ е 2 = А^ + (А +1)—
дх 2
дд 2
дх 3 дд 3 дх 1 дд 3 дх 2
е 3 $ О' $ е 1 = (п + к)
дд 3 дх 2 дд 1 дх 3
-п
• дд 2 е3 $ О $ е2 = (п + к)—+ П
дх 3
, дд 1 . дд2 е 3 $ О $ е 3 = А —--+ А
+ А ^
дх 3
+В1
+ В 2 ~2,
- В1 ~1
дх 1
дх 2
(А +1)
дд 3 дх3
• д~ е 1 $ в $ е 1 = т—- + Т1 ■
дх 1
• дм1
е 2 $ в $ е 2 = 71 ~ + т-
дх 1
• дм1
е 3 $ С $ е 3 = 71 ~ + 71 дх1
дм3
71
дх 2 дх3
дм3
71
дх 2 дх 3
дм2 дм3
дх 2 + 7
дх3
• дм2 д~
е 1 $ в $ е 2 = 72 ^ + 73
дх1
• дм1
е 2 $ С $ е 1 = 72 ^ + 73 дх2
• дм3
е 1 $ в $ е 3 = 72 ^ + 73 дх1
• дм1
е 3 $ с $ е 1 = 72 ^ + 73
дх3
• дм3
е 2 $ в $ е 3 = 72 ^ + 73
е 3 $ в • $ е 2
72
дх2 д~2 дх 3
+ 73
дх2 д~2 дх1
дм1 дх3 дм3 дх1
д~2 дх3 дм3 дх 2
(17)
(18)
Согласно соотношениям (2), (3), (10), (11),
(14)-(16), компоненты линеаризованного тензора Для сокращения записи здесь использованы напряжений типа Пиолы О и моментных напряжений типа Пиолы С записываются следующим образом:
е 1 $ О • $ е 1 = (А +1) е 1 $ О • $ е 2 = (п + к) е 1 $ О • $ е3 = (п + к)■ е2 $ О • $ е 1 = (п + к)■
дд 1 дх1
дд 2
дх 1 дд 3 дх 1 дд 1 дх 2
дд 2 _
дх2 дд 1 дх 2 дд 1 дх 3
дд 2
дх 1
дд 3
дх 3
В3 М3,
- В2 ~2
- В3 М3 ,
следующие обозначения:
В1 = А («1-3) + ( А + п )(«2+/')-1, В 2 = А («2-3) + ( А + п )(«1+/')-1, В3 = А(/' - 3) + (А + п)(«1+ «2)-1,
7 = 71 + 72+ 73.
Выражения (9), описывающие возмущенное состояние равновесия неоднородной плиты, представляют собой систему шести уравнений в частных производных относительно шести ком-
v = д1е1
д2е2 + д3е3
понент векторов возмущений о1, о2, оз, м1, м2, ~з • Подстановка
У1 = Г1(хз)эт З1 х 1008 32 х 2, V2 = ^(хз ) 008 З1 хlSin З2х2, Vз = ¥з(хз) 008 31 х 1 008 Згх2,
~ = Х; (хз)008 31 х 1sin32х2,
<~2 = Х2(хз>Ш З1 х1 008 З2х2 , ~ = Хз(х 3)sin 31 х^т 32 х 2,
(19)
31 =
гт,
Ь1
32 =
гт2
т
1,2
о,1,2,
Линеаризованные граничные условия (12) примут вид
(п + К) V' - 31 пГз + В2Х2 | хз=!Н/2 = о, (21) (п + К) VI - 32 п Vз - В1X | хз =±н/2 = о, А31 Vl+ А32 V2 + (А +1) ^|хз = ±Н/2 = 0,
С 2 Х1+ Сз 31 Хз | хз=±н/2 = о, С2Х2 + Сз 32Хз | хз=±н/2 = о,
С1 31 Х1 + С1 32Х2 - (С1 + С2+ Сз)Х3|хз = ±Н/2 = о. Таким образом, исследование устойчивости не-
однородной плиты из микрополярного материала сводится к решению линейной однородной крае-приводит к отделению переменных х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.