= НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА =
534.222
ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕНСИВНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ШУМОВ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ
© 2007 г. С. Н. Гурбатов, И. Ю. Демин, Вал. В. Черепенников, Б. О. Энфло*
Нижегородский государственный университет им. НИ. Лобачевского, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина 23 E-mail: demin@rf.unn.ru *Королевский технологический институт, S-10044 Стокгольм, Швеция E-mail: benflo@mech.kth.se Поступила в редакцию 14.02.06 г.
В работе исследовано распространение интенсивных шумовых акустических волн в задачах с неплоской геометрией. Показано, что спектр таких волн на больших расстояниях от источника, когда нелинейные эффекты становятся пренебрежимо малыми, будет иметь универсальную автомодельную форму. При этом амплитуда спектра определяется единственной константой Dм = DM(e, R0) (крутизной спектра в нуле), зависящей от двух безразмерных параметров: обратного акустического числа Рейнольдса е и безразмерного радиуса R0. Показано, что на плоскости безразмерных параметров (е, R0) существуют четыре области, в каждой из которых зависимость DM от безразмерных параметров универсальна. С помощью численного моделирования найдены численные коэффициенты перед этими константами.
PACS: 43.25.-x, 47.27.Eq
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 1, с. 55-72
УДК
1. ВВЕДЕНИЕ
В приближении геометрической акустики или для одномерных возмущений эволюция интенсивных акустических волн определяется совокупным действием трех процессов: нелинейности, высокочастотной диссипации и расходимости. Распространение плоских нелинейных волн описывается уравнением Бюргерса [1, 2], а распространение цилиндрических и сферических волн - обобщенным уравнением Бюргерса [3, 4, 5]. Из-за затухания и расходимости относительная роль нелинейных эффектов уменьшается и вдали от излучателя волна выходит на линейный режим распространения. При этом эволюция такой волны описывается линейным диффузионным уравнением. Из-за высокочастотного затухания на больших расстояниях "одномасштабные" входные возмущения приобретают универсальную форму. При этом характер затухания волны качественно различен для периодического сигнала и локализованного импульса. Периодический входной сигнал на больших временах имеет форму гармонической волны, и при этом ее амплитуда экспоненциально уменьшается. Локализованный импульс нулевой площади (К-волна) на больших расстояниях имеет универсальную форму - полинома Эрмита первого рода (первая производная от гауссова распределения), а амплитуда импульса уменьшается по степенному закону. Таким образом, для этих двух видов сигналов интегральное действие нелинейности и диссипации на началь-
ном (нелинейном) этапе распространения влияет только на величину одной константы, определяющей амплитуду синусоидальной волны или импульса на больших расстояниях. Для синусоидального сигнала и К-волны решения на больших расстояниях были изучены в ряде статей [6-15], где была установлена функциональная зависимость этих констант от параметров начального возмущения.
Более сложное поведение наблюдается для сигнала со сложной многомасштабной структурой. Так, для начального возмущения с фрактальной структурой [16-18] может появиться необычная последовательность стадий развития: нелинейная стадия может наступить позже линейной стадии. На нелинейной стадии такая волна затухает более медленно, чем периодическая волна или простой импульс. Такую же ситуацию мы имеем и для шумовых сигналов [36, 37]. Решение уравнения Бюргерса со случайными начальными условиями часто называется турбулентностью Бюргерса или акустической турбулентностью. Исследованию этой проблемы посвящены многочисленные статьи, книги и обзоры (см., например, [19, 20, 35]). В случае исчезающей вязкости непрерывное случайное начальное поле преобразуется в последовательность прямых линий с некоторым наклоном и со случайными местоположениями разрывов. Из-за слияния разрывов внутренний масштаб турбулентности увеличивается и случайная волна затухает более медленно,
чем периодический сигнал. Степень затухания зависит от поведения начального спектра энергии на низких частотах [19-23], а также чувствительна к статистике потенциала поля начальных скоростей [23-26]. Асимптотическое поведение случайных полей в случае конечной вязкости также сильно зависит от статистических свойств начального поля. Если в начальном спектре преобладают крупно-масштабные компоненты, то нелинейная стадия никогда не преобразуется в линейный режим распространения [19]. В противоположном случае заключительная эволюция волны зависит от закона спадания (хвоста) начального распределения плотности вероятности начального потенциала - интеграла от начального поля скорости [22, 26].
Физическая причина различия в эволюции шумов и периодических сигналов связана с тем, что для синусоидального возмущения период волны сохраняется, а для шумов многократное слияние разрывов приводит к увеличению характерного масштаба случайной волны. На спектральном языке это различие объясняется следующим образом. Для тонального возмущения нелинейность приводит только к генерации высших гармоник, которые на поздней стадии затухают, и асимптотически основной является первая гармоника. Для шумового же сигнала нелинейное взаимодействие приводит к генерации "разностных", медленно затухающих, низкочастотных компонент.
Цель этой работы состоит в описании распространения неплоских шумовых волн. Показано, что на линейной стадии спектр шума имеет универсальную форму, зависящую от одного единственного параметра Б - крутизной спектра в области нулевых частот. Эволюция сферических и цилиндрических волн определяется тремя физическими явлениями: нелинейным искажением, вязкой диссипацией и геометрической расходимостью. Соответственно можно ввести три характерных масштаба: гп1 - масштаб проявления нелинейных эффектов, г1 - расстояние линейного затухания и г0 - радиус источника. В работе показано, что на плоскости безразмерных параметров (е = гп1/гь К0 = г0/гп) существуют четыре области, в каждой из которых зависимость от безразмерных параметров универсальна. С помощью численного моделирования найдены численные коэффициенты перед этими константами.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В бегущей системе координат распространение плоской или расходящейся интенсивной акустической волны описывается обобщенным уравнением Бюргерса [3]
д V + у V в ддХ - Ь д V дг 2г с2 ^ 2с3р д^2'
где ^г, 7) - скорость волны, с - линейная скорость звука, р - невозмущенная плотность среды, Ь -коэффициент вязкости, г - расстояние от источника, в = (у + 1)/2 - параметр нелинейности среды. Число у определяет тип волны: у = 0, 1, 2 для плоской, цилиндрической и сферической волны соответственно.
Предположим, что начальное возмущение ^(0 = г = г0) характеризуется некоторой типичной амплитудой v0 и частотой ю0. Тогда для плоской волны мы можем ввести два расстояния:
гп, -
Р®0 V0
г -
_ 2 с р
Ьюо
(2)
На расстоянии проявляются нелинейные эффекты, в то время как г1 есть характерное расстояние линейного затухания. Их отношение дает акустическое число Рейнольдса Яе = г ¡/гп1, которое является единственным безразмерным параметром, определяющим эволюцию плоской волны. Обратную величину числа Рейнольдса
е - 1/Яе - гы/г
(3)
иногда называют числом Гольдберга. Определение (3) Яе отлично от определения из [3] на множитель 2^, который порядка единицы для воздуха и для воды. Для расходящихся волн появляется другой важный масштаб - радиус источника г0. Таким образом, мы можем определить "начальный безразмерный радиус" К0 как отношение
Ко - го/гп1 -
вгоЮо Vо
Переходя к безразмерным переменным:
V ^
1 гп ) V,
Т - Юо 7,
г - г о
х -
о
п
получаем из (1) уравнение:
д£_ дх
К
Ко
V д V Vr— - е
дт
д2У д т2 '
(4)
(5)
(6)
с граничными условиями
V(Т, х - о) - Vо(т) - Vо(Т/Юо)^о, (7)
где V) - амплитуда входного поля v0(t). Как видно из вышеприведенного уравнения, для расходящихся волн относительное влияние нелинейности на эволюцию поля уменьшается с увеличением расстояния от источника. Это обстоятельство очень полезно в использовании уравнения (6) для численного моделирования расходящихся волн.
2
Однако для асимптотического рассмотрения более удобна другая форма уравнения (1):
Э V dV d2V
5R " V ЭТ = (R >5?'
V(Т, R = 0> = V„(г). (8)
Здесь для плоской геометрии x = R и (8) можно записать как:
dV Э V Э2 V
dR " ^ = V V(Т'R = 0> = Vo(T>■
(9)
R = 2 R0
R0 + хЛ 2
R
- 1
8(R> = 1 + 2RT' a°)
и для сферических волн:
R = R0ln
R
Ro
g (R > = exp | RR | ■
(11)
v(t, R = 0> = V0(т) = sin(t)■
(12)
Для шумового возмущения предполагаем, что источник генерирует Гауссов случайный процесс
v(Т, R = 0> = v„(г) =
Э^о (Т ) Эт
(13)
bv (т) = < vo (t + t)vо (t» = -
J By ( т ) J Т2
1
EV(ю) = — I Bv(t)exp(/ют)Jt■ 2 n J
(14)
(15)
имеющие степенное поведение на низких частотах. Из условия (16) следует:
Y2 = 1/(n - 1), а = (n - 1 )(n + 1)/2/Г((n + 1)/2),
где Г(^) - Гамма-функция.
(18)
Для неплоских волн функция g(R) увеличивается с ростом R, что означает относительное увеличение влияния линейной диссипации с расстоянием. При этом для цилиндрических волн:
Для регулярных волн будем считать, что граничное условие к уравнению (8) представляет гармоническое возмущение:
3. ЭВОЛЮЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН
В этом разделе приведены результаты об асимптотическом поведении плоских гармонических и случайных волн, которые могут быть получены на основе точного решения уравнения Бюргерса. Здесь же эти результаты получены качественно на основе идей работы [27], в которой была предложена сшивка нелинейной и линейной стадий эволюции. Эти результаты являются основой для рассмотрения цилиндрических и сферических случайных волн, когда отсутствуют точные решения обобщенного уравнения Бюргерса.
3.1. Замена Хопфа-Коула. Асимптотические решения на больших расстояниях и в случае исчезающей вязкости
Известно, что для плоских волн уравнение Бюргерса (9) заменой Хопфа-Коула [32, 33]
V(Т, R) = 2е= 2ефТ Эт ф
(19)
сводится к линейному диффузионному уравнению
ЭФ = еЭ_Ф
dR
Эт
2
(2°)
с корреляционной функцией и энергетическим спектром
Граничное ус
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.