ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 12, с. 2253-2259
УДК 519.632.4
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ1)
© 2011 г. А. Н. Боголюбов, И. Е. Могилевский
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. фак-т) e-mail: bogan7@yandex.ru; mogilevsky@phys.msu.ru Поступила в редакцию 30.06.2011 г.
Построено представление решения эллиптической краевой задачи вблизи угловой точки линии разрыва коэффициента при старшей производной. В основе исследования лежит метод аддитивного выделения особенности, впервые предложенный В.А. Кондратьевым. Библ. 11. Фиг. 2.
Ключевые слова: эллиптические краевые задачи, угловая точка линии разрыва, аддитивное выделение особенности, численные методы выделения особенностей, задачи о волноводах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Весьма актуальным в настоящее время является исследование эллиптических краевых задач при наличии угловых точек на границах, а также угловых точек линий разрыва коэффициентов. Известно, что существование угловых точек на границе может приводить к особенностям в решениях краевых задач (см. [1]—[3]), что существенно осложняет применение численных методов для расчета подобных систем (см. [4]). В частности, в [5] показано, что при наличии ребер у волновода в решении для магнитного вектора Герца появляется добавочный член, учитывающий влияние угловой линии и имеющий логарифмическую особенность на ребре.
Одним из способов повышения эффективности численных методов является выделение особенностей решения в явном виде, т.е. построения асимптотики решения вблизи угловой точки. Впервые результаты по асимптотике решения эллиптических краевых задач получены В.А. Кондратьевым в [6], [7].
Эллиптические краевые задачи, возникающие при расчете волноведущих систем при наличии ребер на их границах исследованы в [8], [9]. Получено асимптотическое представление решения и доказана сходимость метода смешанных конечных элементов с использованием сингулярных пробных функций, позволяющих приблизить с заданной точностью решение, имеющее особенность вблизи ребра. При этом оценка скорости сходимости оказалась не хуже, чем в случае отсутствия особенности.
В настоящей работе рассматривается эллиптическая краевая задача, в которой линия разрыва коэффициента при старшей производной имеет угловую точку. В том случае, когда неизвестная функция u входит в уравнение только в виде div (s grad u), выписывается решение задачи в квадратурах при кусочно-постоянной диэлектрической проницаемости s. Если рассматривается уравнение с div (s grad u) в главной части, то удается лишь выписать представление решения в виде суммы сингулярной части и гладкой добавки, для которой может быть получена оценка в соответствующей норме.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим эллиптическую краевую задачу на плоскости для неизвестной функции u и с разрывным коэффициентом s, равным Sj в области Dt и s2 в области D2. На линиях разрыва C коэффициента s ставятся условия сопряжения:
Au = fy(M), M е D,
Au = f2(M), M е D2, (1)
[u]| с = 0
e —
. dn.
= 0,
с
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00146-а).
2253
¿>2
О
¿2
Фиг. 1.
где линия разрыва С коэффициента е представляет собой два луча С1 и С2, исходящих из начала координат и образующих угол величины ю0 (см. фиг. 1) Предполагается, что функция /, стоящая в правой части уравнения, финитна (или достаточно быстро убывает на бесконечности) и кусочно-непрерывна. Приведенные в данной работе результаты могут быть легко распространены на случай, когда линия разрыва представляет собой конечное число лучей, выходящих из начала координат и образующих разные углы.
Физически данная постановка может быть интерпретирована как задача о нахождении потен-
б/
—т"— в случае сектори-4п
циала электростатического поля электрических зарядов плотности р
ального" распределения различных диэлектриков в пространстве (см. [10]).
Введем полярную систему координат с центром в угловой точке, угол ф отсчитывается от луча С1. Используя понятие обобщенной производной разрывной функции (см. [11]), получаем
/ = Шу grad и - (е grad и, grad1) = ёгу grad и -
е grad и,
5с 1 =
= divgradи -1 [е^т, г 2\ дФ
1
LеJ
5с ) =
= divgradи -1 [е^т г 2\ дф
С1
5с, I-1 [
(2)
ди дф'
С2 >
где
8 с, = 8(ф), 8с2 =5(ф-®о),
1 - .1 = е 2 -61 8, 8 2 818 2
.1 - 1 = 8, - 82 8 2
1
L8J 1
.8J
8, 8182
Все равенства в (2) понимаются в смысле обобщенных функций. В третьем равенстве использована формула обобщенной производной разрывной функции (см. [11])
/ = {/} + [/)5»'
где {/} — классическая производная функции /(х) (там, где она существует), 3 — поверхность, на которой функция / испытывает разрыв, п — внешняя нормаль к поверхности 3, [/— скачок
функции / при переходе через поверхность 3. Функция непрерывна при переходе через ли-
дф
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
2255
нию разрыва коэффциента, функция терпит разрыв I рода на Cl и C2. Определим на Cl и C2
следующим образом:
du дф
du дф
5ф
= 1 {du (r, 0 + 0) + du (r, 2п - 0)},
C 21дф дФ
дф
= 1 (дм 2 \дф
(r,W0 + 0) + дф (r,W0 - 0)
При таком определении (2) может быть переписано в виде
div grad u = -262+61& (r, 0)5(Ф) - -262+61 & (r, Ш0)5(Ф - Ш0) + f (r, Ф).
r 61 + 62 дф
r2 61 + 6 2 дф
Введем обозначение
(3)
(4)
a =
s2 - Si
61 + S2'
3. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Чтобы характеризовать поведение решения в окрестности угловой точки линии разрыва коэффициента и на бесконечности, аналогично тому, как это сделано в [6], введем пространство у!{ с нормой
II Ни,
I
j+Ik <1
Jd ф|r
0 0
2(y—+j)
дj+ku
3rJ дф k
2 2п да
rdr + Jd ф|r 2(y-; +j) ffl„ 0
дj+ku
drJ' дфк
rdr
где I > 0 — целое, у — любое действительное число. Пусть /(И) е Vу' (/(И) е Ь2 ^ /(И) е У00).
Следуя [6], проведем замену переменных т = ¡и1 и домножим получившееся уравнение на
г
е-2т. Исходное пространство преобразуется в полосу П = (те (-да,+да), 0 < ф < 2п}. Уравнение (6) примет вид
!-|(х, ф) + т4(т, ф) = 2а(т, 0)5(ф) - 2а^ (т, юо)8(ф - юо) + /(т, ф)е~2т.
дт2
дф
дф
дф
Обозначим F(т, ф) = f (т, ф)е 2т. Сделаем преобразование Фурье по т:
= Ju(т,ф)е ,Xxd т.
Тогда последнее уравнение примет вид
2 л л д u _ о„ du
к2й(к, ф) + d-uf = 2аdu(к, 0)5(ф) - 2adu(к ю0Жф - ю0) + F(k, ф),
дф
"дф
дф
где
F(^'ф) = Jf(t' 'Xxd т = if (г'Ф)г 'X+ldr.
(5)
Для фурье-образа F^, ф), на основании теоремы Планшереля (см. [12]), справедлива оценка
, <x>+ih
I J l^IFMI*'-k(0,2n) ^ Cll
h = I + 1 - y.
k=0 .
-ю+ih
+да
Решение уравнения (5) удобно выписать с помощью функции Грина оператора
/\ 2 л д2 л Ьи = -X и(Х, ф) +--2 и(Х, ф)
дф
при периодических граничных условиях. Функция Грина представляет собой решение задачи
-X 2О(ф, § + ^ Оф § = 5(Ф - & 0 < Ф < 2п,
Оф
ОВД = О(2л^),
которое может быть построено явно:
_ -1 [ + Хф), 0 <ф<£,
(Ф' 2Хб^яА.)[с^пА, + - Аф £ < ф < 2п.
Отсюда получаем
2п
«(X, Ф) = 2а |ф (X, 0)0(ф, 0) - 2а |ф (X, юо)О(ф, юо) + ]Ь(Ф, ^(7)
о
Продифференцируем по ф соотношение (7):
ди
2п
(X, ф) = 2а Ц (Я, 0)с;(ф, 0) - 2а Ц (Я, ®о)о;(Ф, ®о) + | о;(ф, ^(Я, ^ (8)
дф4 'т/ дф4"' ' ' ~дф Из (3) вытекает, что
0) = 1 {ди (Ъ 0 + 0) + (Ъ 2п - 0)
дф 2 |дф дф
|(Х,Шо) = 1 {{о + 0) + |ф(Х,Шо - 0)
(9)
Положим ф = 0 ± 0, ф = ю0 ± 0 в (8) и подставив в (9), получим для ^(Х, 0) и ди^(Х,а0) систему ли-
дф дф
нейных алгебраических уравнений
2п
^0)-а^(Х,Шо)= - Г$, дф дф 8ИтсХ 28ИтсХ
о
®о
адй{К о) *Ь(пХ-Хшо) _М(^Юо) = - Г *Ь(пХ + Х$-Хшо)
дф 8ИтсХ дф 28ИтсХ
о
2п ®о
В случае, когда линия разрыва коэффициента е представляет собой не два, а к лучей, выходящих из начала координат, мы получаем систему из к уравнений.
о
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Решая такую систему, находим соотношения
2257
ди(Х о) = _
дф 2 ■ 2
1
2(а (пХ - Х»0) - пХ)
пХ 1(пХ - ДХ, %)й\
- а (пХ - Хю0)
1(пХ + Х£, - Хю0)ДХ, £,)- 1(пХ - Х£, + Хю0)ДХ, £,)
0
(10)
ди п ч
дф(Х ю0) = —тл"
- пХ
1(пХ - Х£)ДХ, £)
^ 0
2п
2(а (пХ - Хю0) - пХ) [
2п -
- 1(пХ - Х£, + Хю0)ДХ, £,)+ а(пХ - Хю0) 1(пХ - Х2,)ДХ, £,)>. ш0 0 Подставляя (10) и (11) в (8), для и(Х,ф) получаем
г 2п
и(Х, ф) = | -а |[(пХ)О,(0, £) + а(пХ - Х»0)О,(»0, £)] ДХ, £)^с1 - хХ ф )
+
а |[(пХ)о;(»0, £) + а(пХ - Х»0)О,(0, £)] ДХ, £)^
сИ ( п Х - Х | » 0 - ф | )
Х пХ
0
1
X -2
1
1
2п
(пХ) - а(пХ - Х»0) (пХ) + а(пХ - Х»0)-
+
|О(фД)ДХ, £)^.
(11)
(12)
Если на прямой 1т X = Л = I + 1 - у нет полюсов функции и(Х, ф), то для и(Х, ф) из неравенства (6) и представления (12) вытекает оценка
I+1 х+гИ
X / |х|2к||и(х,ф)||
Н+1-к (0,2п) й ^ СЖ' ' И = 1 + 1 -У-
к=0 .
х+гИ
Возвращаясь к переменным (г, ф), получаем решение задачи (3) или задачи (1), принадлежащее
пространству v!| +1. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Пусть /(г, ф) е у!1 и на прямой 1шХ = Л = I + 1 - у нет полюсов функции и(Х, ф), определяемой формулой (12). Тогда существует единственное решение и(г, ф) е V4{ +1, при этом справедлива оценка \\и(г, ф)||у1+1 < С\\/(г, ф)||у1.
Отметим, что решение единственно только в данном пространстве V
I+1
4. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ (ПО ГЛАДКОСТИ) РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ СЕКТОРИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕД
Пока построенное решение (12) определено лишь на прямой 1шХ = Л = -у + I + 1. Для построения его асимптотики необходимо, чтобы решение было определено в некоторой полосе Л1 < 1шХ < Л2, а для этого потребуется, чтобы правая часть уравнения (1) принадлежала пересечению пространств у!{ с разными индексами I и (или) у.
2
п
2
ш
п
ш
ю
0
2
п
+
0
• Im X Im X = h2
Im X = h1
-
-N N Re X
Фиг. 2.
Пусть /(г, ф) е У^ п У!^, У1 > у2, 11 и 12 таковы, что Н1 = 11 + 1 - у 1 и Н2 = 12 + 1 - у2 удовлетворяют условию Н2 > к1, а также на прямых 1шХ = к1 и 1шХ = Н2 нет полюсов функции й(Х, ф), определяемой формулой (12). В силу указанных условий функция Р(Х, ф) — аналитическая функция в полосе Н1 < 1ш X < Н2, а й(Х, ф) — мероморфная функция. Теорема о вычетах позволяет перейти от интегрирования по прямой 1ш X = к1 к интегрированию по прямой 1ш X
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.