ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3: 534.1
© 2013 г. Р. В. Гольдштейн, С. В. Кузнецов
ПОВЕРХНОСТНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДИАГНОСТИКЕ СЛОИСТЫХ СРЕД. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ВОЛН К ВАРИАЦИИ СВОЙСТВ ОТДЕЛЬНЫХ СЛОЕВ
Дан обзор исследований по применению поверхностных акустических волн для неразрушающей диагностики слоистых сред. Построена модель для описания поверхностных акустических волн горизонтальной поляризации в слоистых анизотропных (моноклинных) средах. Для получения решения разработан модифицированный метод передаточных матриц. Исследованы волны с горизонтальной поперечной поляризацией неканонического типа. Построены дисперсионные кривые для многослойного композита, контактирующего с анизотропным полупространством. Показано, что вариация физических характеристик и геометрии любого из внутренних слоев приводит к вариации дисперсионных кривых. Это открывает возможности применения дисперсионного анализа для неразрушающей диагностики свойств отдельных слоев.
1. Введение. Современное состояние проблемы. Методы неразрушающего анализа многослойных элементов конструкций и систем с многослойными покрытиями обычно основаны на использовании акустических или электромагнитных волн (включая волны рентгеновского спектра). Освоение и использование высоких частот в акустике позволяет анализировать как свойства весьма тонких слоев, так и внутренние дефекты в многослойных элементах конструкций. Современные акустические установки позволяют генерировать акустические волны с частотами порядка 1—10 ГГц [1—3], что делает возможным исследования физико-механических свойств многослойных структур, содержащих до 5—7 анизотропных слоев с толщинами от 0.1 до 1 мкм. Экспериментальное освоение частотного диапазона от 102 до 103 ГГц [4—6] открывает перспективы исследования многослойных сред, содержащих до 50 анизотропных слоев с толщиной слоя от 0.01 до 0.1 мкм.
Замечание 1. Увеличение частот акустических объемных волн сверх 4 • 103—5 • 103 ГГц невозможно, — при таких частотах длина акустических объемных волн для большинства материалов, применяемых в электронике, оказывается соизмеримой с расстоянием между соседними атомами [7—9].
Обычно определение физико-механических свойств слоев акустическими методами основано на измерении скоростей распространения и поляризации соответствующих волн. Эти измерения позволяют строить дисперсионные соотношения, связывающие фазовую скорость волны с частотой. Сравнение экспериментально определенных дисперсионных соотношений с найденными теоретически позволяет определить свойства любого из внутренних слоев.
Основные типы поверхностных волн, применяемых при неразрушающей диагностике. В слоистых упругих средах могут распространяться следующие типы акустических поверхностных волн:
волны Лэмба, распространяющиеся в отдельных слоях и имеющие эллиптическую поляризацию в сагиттальной плоскости (т.е. в плоскости, образованной нормалью к волновому фронту и нормалью к поверхности слоя),
волны Релея, распространяющиеся в полупространстве и имеющие такую же поляризацию, как и волны Лэмба, и экспоненциально затухающие по глубине,
волны Стоунли, на границе двух контактирующих при условиях полного сцепления полупространств, имеющие сагиттальную эллиптическую поляризацию и экспоненциально затухающие по глубине в полупространствах,
волны Лява, распространяющиеся в системе слой (слои) — контактирующее полупространство и поляризованные ортогонально-сагиттальной плоскости [10—15].
Для применений в неразрушающей диагностике наибольшее значение имеют волны Лэмба (Релея—Лэмба, если слои контактируют с полупространством) и Лява как обладающие дисперсионными свойствами (т.е. имеется зависимость частоты колебаний от фазовой скорости); оба типа волн позволяют по соответствующим дисперсионным кривым восстанавливать физико-механические свойства отдельных слоев в многослойных системах [16—24].
Развиваемая методика. Ниже развивается модифицированный метод передаточных матриц, основанный на использовании экспоненциальных фундаментальных матриц в представлении для поверхностных волн и предназначенный как для аналитического исследования волн Лэмба и Лява в анизотропных средах с небольшим числом слоев (от одного до трех), так и для численного анализа систем, содержащих большее число слоев. Далее решение строится с помощью шестимерного комплексного формализма. Для (гармонической) волны с плоским фронтом ниже используется представление
где и — поле смещений, Г — неизвестная комплексная амплитуда, г — волновое число, V — вектор единичной нормали к любой из поверхностей раздела слоистой среды, п — волновой вектор, с — фазовая скорость.
2. Основные соотношения. Ниже как слои, так и полупространство считаются однородными, анизотропными и линейно гиперупругими. Заметим, что в линейной теории упругости гиперупругость влечет симметрию тензора упругости, рассматриваемого как линейный оператор, действующий в шестимерном пространстве симметричных тензоров второго ранга [26].
Уравнения движения однородной анизотропной гиперупругой среды могут быть представлены в виде
где р — плотность среды; четырехвалентный тензор упругости С предполагается положительно определенным:
ул 3 (А • С ••Л) - X АС'МпАтп > 0 (2.2)
Лехут(Л ), Л*0
Подставляя представление (1.1) в уравнение (2.1), получим дифференциальное уравнение относительно амплитуды Г
[25]
и(х, ?) = ЩгХ) ехр (;г(х • п - с?)); х' = х • V
(1.1)
А(дх,5?)и = ШухС --Vхи -ри = 0
(2.1)
(Л ^ 2"+ л 2д х- + л з)г (х") = о
,2
(2.3)
где
2
Л! = V • С - у, Л2 = п • С • у + у • С • п, Лз = п • С • п -рс I
x" = ^' — безразмерная комплексная координата. Введение еще одной функции
у(х") = а Г (х") ах
позволяет записать уравнение (2.3) в форме Коши
аХ(х") = О • X; X = ГГ1; О = | 0 | I (2.4)
ах [\) \-А- 1 • А3 -А- 1 • А2)
Общее решение уравнения (2.4) можно представить с помощью экспоненциальной фундаментальной матрицы [27, 28]
X(х ") = ехр (Ох ") • С (2.5)
где C — шестимерный вектор коэффициентов, определяемый из граничных и контактных условий, обсуждаемых ниже.
Одиночный слой. Для слоя толщины 2h со свободными поверхностями граничные условия могут быть записаны в виде
1V -V С ..Уи|х,=±ь = 0 (2.6)
При учете представления (1.1) с точностью до фазового множителя ехр (;>(х • п - сг)) для вектора усилий имеем
1 у = (А 1а + А 4) • Г, А 4 = ^ С • п (2.7)
\ ах" /
Объединение уравнений (2.5)—(2.7) позволяет представить граничные условия в терминах вектора C ([29], гл. 2, § 5)
( (А4, А1) • ехр С = 0 (28)
^(А4,А1)• ехр (-1гОН)) . )
где (А 4, А1) — блочная (3 х 6)-матрица. Требование обращения в нуль определителя матрицы в левой части уравнения (2.8):
ГСА4,А 1)-ехР0^1 = 0 (2.9)
ЦА 4, А1)• ехр (-1гОН))
дает искомое дисперсионное уравнение для волн Лэмба и Лява в одиночном анизотропном слое.
Модифицированный метод передаточных матриц для многослойной пластины. Пусть пластина состоит из N упруго-анизотропных однородных слоев толщиной 2Нк (к = 1,..., Ж) в условиях идеального механического контакта, причем внешние поверхности пластины свободны от усилий.
Смещения и усилия на нижней поверхности верхнего слоя (при k = 1) с точностью до множителя ехр (;>(х • п - сг)) могут быть представлены в виде
Г и 1 - г -. С г - -( (1,0) ■ ехр НО*) 1 (210)
11V) ^ - 2 С; 21 -1((А4)1, (А1)1) ■ ехр (->ОЛ) (2.10)
где г- — первая передаточная матрица, определяющая смещения и усилия на нижней грани первого слоя.
В силу сделанных предположений об идеальном механическом контакте на контактных поверхностях, перемещения и усилия на верхней границе второго слоя совпа-
дают с соответствующими векторами, определенными по формуле (2.10). Это позволяет записать перемещения и усилия на нижней поверхности второго слоя в виде
= Z-
: '=-ho
■(Z+Г
Z- ■ C
(2.11)
Передаточная матрица Z2 отличается от Z2 знаком показателя экспоненты. Учитывая равенства (2.10), (2.12), усилия на нижней поверхности последнего слоя можно записать с помощью передаточных матриц Z± (к = 1,..., М) в виде
( N-1 \
t
vl x=-hN
= ((A 4 )N, (A! )N )exp (-irG NhN)
П (Z++i)-1Z-V k=1
Ci
Можно заметить, что на верхней грани пластины ^ = 1) усилия определяются выражением
t
x ■=+hi = ((A 4 Ь (A 1)1) exp (i>Gihi) Ci
Объединение последних двух равенств позволяет по аналогии с формулой (2.9) записать искомое дисперсионное уравнение для волн Лэмба и Лява в многослойной пластине
(
det
((A 4)i,(A i)i)exp (irGihi)
(n-i
\
((A 4)n ,(Ai)n )exp (-irG NhN )
П (Z++i)-iZ-
V k=i
= 0
(2.12)
Замечания. 2. Уравнения (2.9), (2.12) инвариантны по отношению к типу волн (Лэмба или Лява) и наличию группы симметрии тензора упругости. В случае моноклинной симметрии (и более высокой группы симметрии) всех слоев поверхностные усилия для волн Лэмба лежат в сагиттальной плоскости, а для волн Лява — ортогональны этой плоскости [28].
3. Вообще говоря, задачи о распространении волн в многослойных средах можно решать с применением техники, отличной от метода перередаточных матриц. Разработаны методы глобальной матрицы (см. [12]), метод асимптотического интегрирования [30], применявшийся для анализа дисперсионных соотношений в случае слоистых сред, содержащих тонкие покрытия из нематиков. Известен подход [31], в котором для исследования распространения волн, возникающих при решении внешней задачи Лэмба для слоистой анизотропной среды, применен метод динамических функций Грина. В этом подходе для обеспечения численной устойчивости компоненты решений с экспоненциальным ростом (по глубине слоя) исключаются из расчетов.
4. Было показано [32], что в топологии дисперсионных кривых появляется неустойчивость, вызванная небольшой вариацией в расположении сагиттальной плоскости и плоскости упругой симметрии анизотропного слоя. Такого рода неустойчивость может представить интерес для диагностики расхождения в направлениях (misalignment) главных осей анизотропии отдельных слоев.
3. Численные результаты. Волны Лява в десятислойной среде. Для анализа распространения волн в средах с большм числом слоев был разработан численный алгоритм, использующий ариф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.