научная статья по теме ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ И БЛЮСТЕЙНА-ГУЛЯЕВА В УПРУГИХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКАХ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЛАКСАЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ Математика

Текст научной статьи на тему «ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ И БЛЮСТЕЙНА-ГУЛЯЕВА В УПРУГИХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКАХ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЛАКСАЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 2, 2015

УДК 539.3:534.2

© 2015 г. В. А. Желнорович

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ И БЛЮСТЕЙНА-ГУЛЯЕВА В УПРУГИХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКАХ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЛАКСАЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ

Рассматриваются нелинейные уравнения, описывающие модели упругих пьезоэлектриков в электромагнитном поле при учете процессов релаксации диэлектрической поляризации. Предполагается, что релаксация определяется производной Яуманна вектора диэлектрической поляризации. Линеаризация точных нелинейных уравнений приводит к зависимости диэлектрической поляризации и тензора напряжений от тензора поворотов осей деформации при наличии постоянной составляющей вектора диэлектрической поляризации. Рассматриваются объемные волны и поверхностные волны Релея и Блюстейна—Гуляева при учете релаксации диэлектрической поляризации в пьезоэлектриках с осевой симметрией. Получены дисперсионные уравнения, вычислены скорости и декременты затухания таких волн. Учет релаксации диэлектрической поляризации приводит к дисперсии скорости волн. На низких частотах декременты затухания объемных и поверхностных волн пропорциональны квадрату частоты. При увеличении частоты волн декременты затухания стремятся к конечным постоянным значениям. Показано, что учет релаксации диэлектрической поляризации при описании волн Релея сводится к простой замене постоянного вещественного коэффициента в уравнении Релея на комплексный параметр, мнимая часть которого определяется временем релаксации.

Поверхностные волны в упругих пьезоэлектриках без учета процессов релаксации диэлектрической поляризации рассматривались многими авторами. Имеются обзоры таких работ с богатой библиографией [1, 2]. Поверхностные волны в упругих пьезоэлектриках при наличии релаксации диэлектрической поляризации ранее, по-видимому, не рассматривались. Используемая в этой статье система уравнений, описывающая модели упругих пьезоэлектриков с учетом релаксационных процессов, определяемых производной по времени Яуманна от вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, — частный случай более общих уравнений [3, 4]. Рассматривались [5, 6] и другие модели упругих пьезоэлектриков, в которых релаксация определялась производной по времени от компонент вектора диэлектрической поляризации, вычисляемых в сопутствующей системе координат или производной Ли в системе координат наблюдателя.

1. Модели упругих пьезоэлектриков. Для описания упругих пьезоэлектриков с учетом релаксации диэлектрической поляризации в электростатическом приближении можно использовать следующую систему уравнений:

Еа = -да Ф, д а (Е + 4 п Ра) = 0, Е = - ха + па

д Р в

ар = - ха4(р0+-+ -ре) +1 (Рап - ррпа) (1.1)

0(т) = - х1 х0

р т41 = - ^ + па\1ра + 1 Р\даих - 5^)1, р Т + + = О

йг

т-та ав

П = я

Ыг 2

+ 2 рХ(дв °х - дх ив)

д s

Ца = кавд т

Ц — —IV С/р Т

Здесь ха = дха/1в (а, в = 1, 2, 3) — дисторсия, х" — переменные инерциальной декартовой системы координат в трехмерном физическом пространстве, — переменные сопутствующей (лагранжевой) системы координат, — компоненты тензора конечных деформаций, вычисляемые в сопутствующей системе координат, ^ — компоненты метрического тензора, вычисляемые в системе координат с переменными х", Ц* = ёхХ^/Л — компоненты вектора скорости индивидуальных точек среды, да = д/дХ1, р — массовая плотность среды, Еа — компоненты вектора напряженности электрического поля, ф — потенциал вектора напряженности электрического поля, Ра — компоненты вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, рр = ха Ра — компоненты вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, вычисляемые в сопутствующей системе координат, 5 — удельная плотность, Т — температура, — компоненты вектора плотности потока тепла, Па — релаксационный член уравнения для диэлектрической поляризации. Компоненты тензоров второго ранга У*13 и ка|3 определяют положительно определенные формы и должны быть заданы как функции определяющих параметров среды и поля. Величина Л0 — часть полного лагранжиана (лагранжиан материи), соответствующего рассматриваемой модели упругой среды, она должна быть задана как функция параметров бар , ра и неварьируемых компонент тензоров Кс, определяющих, например, свойства симметрии среды.

Полный тензор напряжений среды и поля определяется компонентами

рар = (е*Бр - 2/рЕХБ) + <) (1.2)

где = Е + 4пР — компоненты вектора индукции электрического поля. Компоненты рав удовлетворяют уравнению импульсов

йиа ар

Р йй = ^

Заменяя релаксационный член Па в выражении (1.1) для 0^) при помощи уравнения для Еа (третье уравнение в (1.1)), формулу для компонент полного тензора напряжений среды и поля рав можно преобразовать к виду

^ = 1 (^^ + Е£а - ^) - -5Л°

8 П

- 1 (Ра Хв + Рв )дЛ-°. 2 дРх

Л- + 2 Рх Е

(1.3)

Контравариантные компоненты полного тензора напряжений paв, определенные формулой (1.3), симметричны: рав = рва.

Уравнения (1.1) — частный случай уравнений, рассматривавшихся ранее [3, 4].

2. Линеаризованные уравнения. Ввиду сложности нелинейных уравнений для сред с диэлектрической поляризацией во многих случаях целесообразно использовать уравнения, линеаризованные относительно равновесных состояний среды с постоянными значениями определяющих параметров. Приведем уравнения, линеаризованные относительно постоянных равновесных значений определяющих параметров, соответствующие системе уравнений (1.1).

Будем считать, что в начальный момент времени t = ^ декартова система координат наблюдателя и сопутствующая система координат совпадают. Пусть иа — компоненты вектора перемещений индивидуальных точек среды. Рассмотрим движения среды, при которых градиенты вектора перемещений иар = Зриа малы, а компоненты вектора диэлектрической поляризации Р", компоненты вектора электрической индукции Da и электрической напряженности Е^, температура Т, энтропия s, массовая плотность среды р и компоненты вектора скорости иа мало меняются относительно равновесных

постоянных значений Р^ , Еа , , Т0, s0, р0, иа = 0. Положим

па па а ,-та ,-та а у-* а у-* а <-. а

Р = Р0 + п , Е = Е- + е , Л = Л- + 5 , ^ = s- +

где па, ea, 8а, s1 — малые величины, рассматриваемые как малые первого порядка.

Линеаризация системы уравнений (1.1) приводит к системе линейных дифференциальных уравнений

да(еа + 4ппа) = -, даев - двеа = -

X * Ха т—г

е = Ь Па + С "аВ + / «1 + П

д2 а

и ~ Р--- = д,

д г

2

в

С^Ч, + <^4 + Ла\ + (Ра Пв - Рв Г!а)

Р-( Т- Т-) = Павиав + + /пХ, Р- ^О^-:1 = Кавда дв Т

(2.1)

Па I

= «

дг

пв+2 Ро(дв их- дх ив)

Постоянные коэффициенты С^^ , Ьав,Уа, пав, V выражаются через Л0 следующим образом:

С

д2Л-

+ Ра

д2Л-

+ РЛ

д2Л-

драРдрХЦ дб^дрр дбардР,

+ РаР

д 2 л -

др ,дР в

+

уаЯ дЛ- + ВЯ( 5Ао + радА-Л + ар( 5А- + „IдЛрУ

+ -^-О + Г \ ^ + ^ о-ор--) + Г I дР + Р ,

о

-Яар

2

л дЛ- 1 д Л-о_ + „а -- ----о

+

д2 Л Л

V дРр дРядбар дРядРр;

(2.2)

ар

V = -

дЛ^ар + д Ло + ра д2Л0 Л ( д2Л0 Л

дsдг,

д ^

( д2 Л Л д Л -

д/,

ар

дяд Рр

Яд Ра О

у = -( АЛ

/ ^д Р- д .

Символы ( )0 и [ ]0 означают, что величины, заключенные в скобки, вычисляются в начальном состоянии при Иар = 0, Ра = „а , 5 = 50.

Из определений (2.2) следует, что коэффициенты С*рЯ ц , ^а|3,./", связаны тожде-

П*Р - п Р* ^ роур - рр^а с[*Р](Я0) = 2 (ра^Яв) - „р^(Я0))

По индексам в квадратных скобках, производится альтернирование, в круглых — симметрирование.

Для контравариантных компонент полного тензора напряжений среды и поля с точностью до малых первого порядка имеем

р = 1 (Е"Бр - 2/рЕЯБ^ + оР = о*р + оар + Nар 42 / ( )

где

0ар = С*ря Ч ц + арпЯ + пар^! + 2 ( Р* Пр - рр Г!а)

оар = - (р

^ + дЛо^ -^Л- +1 рЕ) + 1(брК -2яарЕЯБ дРр ' ' '

де.

ар 0

4п

= -1 ( Е*5р + Б0реа - /Б вх) 4 п

(2.3)

Компоненты тензора ста|3 входят в уравнение импульсов. Компоненты тензора напряжений о*р постоянны. В силу уравнений Максвелла выполняется уравнение др^13 = 0. Поэтому в уравнение импульсов величины не входят, однако эти величины входят в соотношения на скачках и граничные условия.

Из определений (2.2) видно, что компоненты тензора в общем случае несимметричны по индексам а и р. Поэтому уравнение для диэлектрической поляризации в

-

ствами

системе (2.1), если Ра Ф 0, связывает компоненты вектора напряженности электрического поля еа не только с компонентами Еар = 1 (иар + Ира) тензора малых деформаций (как в известных линейных теориях [1, 7—9], но, вообще говоря, также и с компонентами ^ар = 1 (иар — Ира) тензора поворота осей деформации [4] (в связи с этим см. также [2]).

Например, стандартные квадратичные члены во внутренней энергии упругого диэлектрика в нелинейной теории

-Ло = 2- Ь^РаРв + С^Яёар

где постоянные неварьируемые коэффициенты Ьав определяются равенствами

ьав = - ¡а¡в)+ь^Р (1а=ра /р0, р0=(рара )1/2)

приводят к линеаризованному уравнению для напряженности электрического поля

е = Ь Па + С бар + Ро(Ь|| - ь±)V ¡в

где

С"ав = С*ав + 1Р0 (Ь| + Ь± )(/¥ + ) + Р0 (Ь„- Ь±) Г Лу

Таким же образом член С^^9 и1в в уравнении импульсов в системе (2.1) может зависеть как от компонент тензора малых деформаций Еар, так и от компонент тензора поворота осей деформации ^ар. Если коэффициенты

СаВ^д I ав .а ав ав

Р , Ь , ц , Г, П , 5 (2.4)

в уравнениях (2.1) определяются безотносительно к нелинейной теории, то они могут быть связаны, например, с дополнительными предположениями относительно свойств симметрии среды. В частности, если среда обладает симметрией да ■ т или 6 ■ т (например, поляризованная пьезокерамика), то коэффициенты (2.4) в уравнениях (2.1) могут быть определены соотношениями

<^ав = ^ Г Ьх + + Сз + 8аХ ¡в

са/Хд = сРяав/д + СР (Лвд + + ср^аХ + СР + ) + + С*^ Г ¡Х + СР( + /т/3) + СР Г (2.5)

, ^а т ^а X т^ч 7 X та ^а г \а X ,ач X,

Ь^а = Ь±(/а - Г Г) + Ь|ГГ, п = П±(я - I ?) + V ' = х±(/а - ¡*Г) + Хп^¡а, Г = Ах

в которых 1а — компоненты единичного вектора, направленного по оси симметрии. Коэффициенты СРРХд имеют симметрию

СарХд _ .^ХдаР

Р — С Р

Если С = СР = СР5 , то коэффициенты СРРХд симметричны по индексам а, в и X, ц

СарХд _ .^РаХд _ .^аРдХ

Р - СР - СР

Ес

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком