ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 539.3:534.2
© 2015 г. В. А. Желнорович
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ И БЛЮСТЕЙНА-ГУЛЯЕВА В УПРУГИХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКАХ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЛАКСАЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Рассматриваются нелинейные уравнения, описывающие модели упругих пьезоэлектриков в электромагнитном поле при учете процессов релаксации диэлектрической поляризации. Предполагается, что релаксация определяется производной Яуманна вектора диэлектрической поляризации. Линеаризация точных нелинейных уравнений приводит к зависимости диэлектрической поляризации и тензора напряжений от тензора поворотов осей деформации при наличии постоянной составляющей вектора диэлектрической поляризации. Рассматриваются объемные волны и поверхностные волны Релея и Блюстейна—Гуляева при учете релаксации диэлектрической поляризации в пьезоэлектриках с осевой симметрией. Получены дисперсионные уравнения, вычислены скорости и декременты затухания таких волн. Учет релаксации диэлектрической поляризации приводит к дисперсии скорости волн. На низких частотах декременты затухания объемных и поверхностных волн пропорциональны квадрату частоты. При увеличении частоты волн декременты затухания стремятся к конечным постоянным значениям. Показано, что учет релаксации диэлектрической поляризации при описании волн Релея сводится к простой замене постоянного вещественного коэффициента в уравнении Релея на комплексный параметр, мнимая часть которого определяется временем релаксации.
Поверхностные волны в упругих пьезоэлектриках без учета процессов релаксации диэлектрической поляризации рассматривались многими авторами. Имеются обзоры таких работ с богатой библиографией [1, 2]. Поверхностные волны в упругих пьезоэлектриках при наличии релаксации диэлектрической поляризации ранее, по-видимому, не рассматривались. Используемая в этой статье система уравнений, описывающая модели упругих пьезоэлектриков с учетом релаксационных процессов, определяемых производной по времени Яуманна от вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, — частный случай более общих уравнений [3, 4]. Рассматривались [5, 6] и другие модели упругих пьезоэлектриков, в которых релаксация определялась производной по времени от компонент вектора диэлектрической поляризации, вычисляемых в сопутствующей системе координат или производной Ли в системе координат наблюдателя.
1. Модели упругих пьезоэлектриков. Для описания упругих пьезоэлектриков с учетом релаксации диэлектрической поляризации в электростатическом приближении можно использовать следующую систему уравнений:
Еа = -да Ф, д а (Е + 4 п Ра) = 0, Е = - ха + па
д Р в
ар = - ха4(р0+-+ -ре) +1 (Рап - ррпа) (1.1)
0(т) = - х1 х0
р т41 = - ^ + па\1ра + 1 Р\даих - 5^)1, р Т + + = О
йг
т-та ав
П = я
Ыг 2
+ 2 рХ(дв °х - дх ив)
д s
Ца = кавд т
Ц — —IV С/р Т
Здесь ха = дха/1в (а, в = 1, 2, 3) — дисторсия, х" — переменные инерциальной декартовой системы координат в трехмерном физическом пространстве, — переменные сопутствующей (лагранжевой) системы координат, — компоненты тензора конечных деформаций, вычисляемые в сопутствующей системе координат, ^ — компоненты метрического тензора, вычисляемые в системе координат с переменными х", Ц* = ёхХ^/Л — компоненты вектора скорости индивидуальных точек среды, да = д/дХ1, р — массовая плотность среды, Еа — компоненты вектора напряженности электрического поля, ф — потенциал вектора напряженности электрического поля, Ра — компоненты вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, рр = ха Ра — компоненты вектора объемной плотности диэлектрической поляризации среды, вычисляемые в сопутствующей системе координат, 5 — удельная плотность, Т — температура, — компоненты вектора плотности потока тепла, Па — релаксационный член уравнения для диэлектрической поляризации. Компоненты тензоров второго ранга У*13 и ка|3 определяют положительно определенные формы и должны быть заданы как функции определяющих параметров среды и поля. Величина Л0 — часть полного лагранжиана (лагранжиан материи), соответствующего рассматриваемой модели упругой среды, она должна быть задана как функция параметров бар , ра и неварьируемых компонент тензоров Кс, определяющих, например, свойства симметрии среды.
Полный тензор напряжений среды и поля определяется компонентами
рар = (е*Бр - 2/рЕХБ) + <) (1.2)
где = Е + 4пР — компоненты вектора индукции электрического поля. Компоненты рав удовлетворяют уравнению импульсов
йиа ар
Р йй = ^
Заменяя релаксационный член Па в выражении (1.1) для 0^) при помощи уравнения для Еа (третье уравнение в (1.1)), формулу для компонент полного тензора напряжений среды и поля рав можно преобразовать к виду
^ = 1 (^^ + Е£а - ^) - -5Л°
8 П
- 1 (Ра Хв + Рв )дЛ-°. 2 дРх
5б
Л- + 2 Рх Е
(1.3)
Контравариантные компоненты полного тензора напряжений paв, определенные формулой (1.3), симметричны: рав = рва.
Уравнения (1.1) — частный случай уравнений, рассматривавшихся ранее [3, 4].
2. Линеаризованные уравнения. Ввиду сложности нелинейных уравнений для сред с диэлектрической поляризацией во многих случаях целесообразно использовать уравнения, линеаризованные относительно равновесных состояний среды с постоянными значениями определяющих параметров. Приведем уравнения, линеаризованные относительно постоянных равновесных значений определяющих параметров, соответствующие системе уравнений (1.1).
Будем считать, что в начальный момент времени t = ^ декартова система координат наблюдателя и сопутствующая система координат совпадают. Пусть иа — компоненты вектора перемещений индивидуальных точек среды. Рассмотрим движения среды, при которых градиенты вектора перемещений иар = Зриа малы, а компоненты вектора диэлектрической поляризации Р", компоненты вектора электрической индукции Da и электрической напряженности Е^, температура Т, энтропия s, массовая плотность среды р и компоненты вектора скорости иа мало меняются относительно равновесных
постоянных значений Р^ , Еа , , Т0, s0, р0, иа = 0. Положим
па па а ,-та ,-та а у-* а у-* а <-. а
Р = Р0 + п , Е = Е- + е , Л = Л- + 5 , ^ = s- +
где па, ea, 8а, s1 — малые величины, рассматриваемые как малые первого порядка.
Линеаризация системы уравнений (1.1) приводит к системе линейных дифференциальных уравнений
да(еа + 4ппа) = -, даев - двеа = -
X * Ха т—г
е = Ь Па + С "аВ + / «1 + П
д2 а
и ~ Р--- = д,
д г
2
в
С^Ч, + <^4 + Ла\ + (Ра Пв - Рв Г!а)
Р-( Т- Т-) = Павиав + + /пХ, Р- ^О^-:1 = Кавда дв Т
(2.1)
Па I
= «
дг
пв+2 Ро(дв их- дх ив)
Постоянные коэффициенты С^^ , Ьав,Уа, пав, V выражаются через Л0 следующим образом:
С
д2Л-
+ Ра
д2Л-
+ РЛ
д2Л-
драРдрХЦ дб^дрр дбардР,
+ РаР
д 2 л -
др ,дР в
+
уаЯ дЛ- + ВЯ( 5Ао + радА-Л + ар( 5А- + „IдЛрУ
+ -^-О + Г \ ^ + ^ о-ор--) + Г I дР + Р ,
о
-Яар
2
л дЛ- 1 д Л-о_ + „а -- ----о
+
д2 Л Л
V дРр дРядбар дРядРр;
(2.2)
ар
V = -
дЛ^ар + д Ло + ра д2Л0 Л ( д2Л0 Л
дsдг,
д ^
( д2 Л Л д Л -
д/,
ар
дяд Рр
Яд Ра О
у = -( АЛ
/ ^д Р- д .
Символы ( )0 и [ ]0 означают, что величины, заключенные в скобки, вычисляются в начальном состоянии при Иар = 0, Ра = „а , 5 = 50.
Из определений (2.2) следует, что коэффициенты С*рЯ ц , ^а|3,./", связаны тожде-
П*Р - п Р* ^ роур - рр^а с[*Р](Я0) = 2 (ра^Яв) - „р^(Я0))
По индексам в квадратных скобках, производится альтернирование, в круглых — симметрирование.
Для контравариантных компонент полного тензора напряжений среды и поля с точностью до малых первого порядка имеем
р = 1 (Е"Бр - 2/рЕЯБ^ + оР = о*р + оар + Nар 42 / ( )
где
0ар = С*ря Ч ц + арпЯ + пар^! + 2 ( Р* Пр - рр Г!а)
оар = - (р
^ + дЛо^ -^Л- +1 рЕ) + 1(брК -2яарЕЯБ дРр ' ' '
де.
ар 0
4п
= -1 ( Е*5р + Б0реа - /Б вх) 4 п
(2.3)
Компоненты тензора ста|3 входят в уравнение импульсов. Компоненты тензора напряжений о*р постоянны. В силу уравнений Максвелла выполняется уравнение др^13 = 0. Поэтому в уравнение импульсов величины не входят, однако эти величины входят в соотношения на скачках и граничные условия.
Из определений (2.2) видно, что компоненты тензора в общем случае несимметричны по индексам а и р. Поэтому уравнение для диэлектрической поляризации в
-
ствами
системе (2.1), если Ра Ф 0, связывает компоненты вектора напряженности электрического поля еа не только с компонентами Еар = 1 (иар + Ира) тензора малых деформаций (как в известных линейных теориях [1, 7—9], но, вообще говоря, также и с компонентами ^ар = 1 (иар — Ира) тензора поворота осей деформации [4] (в связи с этим см. также [2]).
Например, стандартные квадратичные члены во внутренней энергии упругого диэлектрика в нелинейной теории
-Ло = 2- Ь^РаРв + С^Яёар
где постоянные неварьируемые коэффициенты Ьав определяются равенствами
ьав = - ¡а¡в)+ь^Р (1а=ра /р0, р0=(рара )1/2)
приводят к линеаризованному уравнению для напряженности электрического поля
е = Ь Па + С бар + Ро(Ь|| - ь±)V ¡в
где
С"ав = С*ав + 1Р0 (Ь| + Ь± )(/¥ + ) + Р0 (Ь„- Ь±) Г Лу
Таким же образом член С^^9 и1в в уравнении импульсов в системе (2.1) может зависеть как от компонент тензора малых деформаций Еар, так и от компонент тензора поворота осей деформации ^ар. Если коэффициенты
СаВ^д I ав .а ав ав
Р , Ь , ц , Г, П , 5 (2.4)
в уравнениях (2.1) определяются безотносительно к нелинейной теории, то они могут быть связаны, например, с дополнительными предположениями относительно свойств симметрии среды. В частности, если среда обладает симметрией да ■ т или 6 ■ т (например, поляризованная пьезокерамика), то коэффициенты (2.4) в уравнениях (2.1) могут быть определены соотношениями
<^ав = ^ Г Ьх + + Сз + 8аХ ¡в
са/Хд = сРяав/д + СР (Лвд + + ср^аХ + СР + ) + + С*^ Г ¡Х + СР( + /т/3) + СР Г (2.5)
, ^а т ^а X т^ч 7 X та ^а г \а X ,ач X,
Ь^а = Ь±(/а - Г Г) + Ь|ГГ, п = П±(я - I ?) + V ' = х±(/а - ¡*Г) + Хп^¡а, Г = Ах
^а
в которых 1а — компоненты единичного вектора, направленного по оси симметрии. Коэффициенты СРРХд имеют симметрию
СарХд _ .^ХдаР
Р — С Р
Если С = СР = СР5 , то коэффициенты СРРХд симметричны по индексам а, в и X, ц
СарХд _ .^РаХд _ .^аРдХ
Р - СР - СР
Ес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.