МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 534.23; 539.32
© 2014 г. Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН, В. А. ГОРОДЦОВ, Д. С. ЛИСОВЕНКО
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ РЕЛЕЯ И ЛЯВА ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ПУАССОНА ИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Выполнено сравнение поведения поверхностных волн Релея и первой моды волн Лява при положительных и отрицательных коэффициентах Пуассона изотропных сред. Показано, что скорость волн Релея растет с уменьшением коэффициента Пуассона, и особенно быстро при отрицательных коэффициентах меньших —0.75. Продемонстрировано, что при положительных коэффициентах Пуассона вертикальная компонента смещений волн Релея затухает с глубиной после некоторого начального возрастания, а при отрицательных коэффициентах Пуассона имеет место монотонное убывание. Для волн Релея характерны эллиптические траектории движения частиц со сменой направления вращения при критических глубинах и линейная вертикальная поляризация на этих глубинах. Установлена меньшая вытянутость эллиптических орбит и большие критические глубины при отрицательных коэффициентах Пуассона. Показано, что изменение распределений напряжений в волнах Релея с безразмерной глубиной происходит немонотонным образом с изменением коэффициента Пуассона при положительных и отрицательных его значениях. Лишь при стремлении коэффициента Пуассона к —1 напряжения сильно возрастают.
Найдено, что для первой моды волн Лява в случае несжимаемого тонкого покрывающего слоя скорость волн сильно увеличивается при отрицательных коэффициентах Пуассона материала в полупространстве. При большой толщине несжимаемого слоя волна очень слабо проникает в полупространство при любом его коэффициенте Пуассона. При отрицательных коэффициентах Пуассона для слоя и полупространства волна Лява в основном локализуется в покрывающем слое при любой его толщине, и слабо проникает в полупространство. Для первой моды волн Лява обнаружен сильный рост максимума одного из сдвиговых напряжений на границе раздела между покрывающим слоем и материалом полупространства с убыванием коэффициентов Пуассона обоих. Для другого сдвигового напряжения имеет место скачок напряжения на границе раздела и менее простая зависимость напряжения от коэффициентов Пуассона с двух сторон от границы раздела.
Ключевые слова: поверхностные волны, волны Релея, волны Лява, коэффициент Пуассона, дисперсионное уравнение, тонкий покрывающий слой, толстый слой, смещения, сдвиговые и нормальные напряжения.
1. Введение. Изложение классической теории упругости изотропных сред обычно ограничивается случаями положительных коэффициентов Пуассона V, несмотря на то, что термодинамически допустимый интервал их изменения включает в себя и область отрицательных значений: -1 < V < 1/2 [1, 2]. В то же время установлена отрица-
тельность коэффициента Пуассона для ряда кристаллов и изотропных материалов [3, 4]. В недавней работе [5], опираясь на анализ размерностей, оценивалось влияние коэффициентов Пуассона во всем возможном диапазоне их изменения на скорости (и только на скорости) упругих волн для ряда задач теории изотропной упругости и, в частности, задачи о поверхностных волнах Релея. Исследование безразмерных распределений смещений и напряжений в волнах Релея при положительных и отрицательных коэффициентах Пуассона было выполнено ранее в работе [6]. Однако анализ влияния коэффициента Пуассона на распределения смещений и напряжений в [6] нельзя считать вполне успешным, поскольку выбранные обезразмеривающие характеристики сами менялись с изменением коэффициента Пуассона. Ниже анализ волн Релея при различных коэффициентах Пуассона будет проведен с обезразмериванием на характеристики при фиксированном значении коэффициента Пуассона (например, при V = 0). Аналогичный анализ будет проведен для безразмерных распределений смещений и напряжений у первой моды сдвиговых волн Лява в изотропных средах.
2. Волны Релея. В полупространстве % < 0, занятом изотропной упругой средой, возможны два типа волн, распространяющихся параллельно его поверхности. А именно, объемные сдвиговые волны, "скользящие" вдоль свободной поверхности без затухания с глубиной, и поверхностные волны Релея, представляющие собой комбинацию затухающих с глубиной сдвиговой (поперечной) и продольной волн
их = (к?ае+ кЬе)соз£(х - с?), иу = 0
(2.1)
и% = (кае ' + К'Ье ' ^тк(х - с') Здесь а, Ь — амплитудные множители, а коэффициенты
к? = Ц1 - с2/с?2, К' = Ц1 - с2/с/,
характеризуют изменения поперечной и продольной волновых составляющих с глубиной. На больших глубинах из двух вкладов наибольшим оказывается вклад поперечных волн, поскольку их скорость с? меньше скорости продольных волн с.
На свободной поверхности упругого тела (при % = 0) должны исчезать компоненты напряжений ах%, ау%, а%%, что требует ограничений на смещения вида
дЬ. + ди = 0, иу = 0, (с'2 - 2с?2) ^ + с?2 ди = 0
л л ' у у \ I г / « 'л
д% дх дх д%
Из них следует линейная связь между амплитудными множителями а, Ь (один из них остается произвольным, что отражает линейность уравнений теории упругости для волн малой амплитуды) и дисперсионное ограничение вида
(к/ + к 2)а + 2к К'Ь = 0 (2.2)
(к2 + к2)2 = 4к2 к? К' (2.3)
Последнее дисперсионное соотношение может быть переписано в виде хорошо известного бикубического уравнения Релея
- 8^4 + 8^2
( 2\ / 2
3 - 2%|-16
с\
1 - %| = 0, ^ с . с,2; с?
Решение этого уравнения имеет единственный вещественный корень с ограничением £ < 1, следующим из вещественности к?, к, и определяющим зависимость безразмер-
С/С0
4 3 2 1 О
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 О 0.2 0.4 v Фиг. 1
ной скорости волны Релея ^ от безразмерного параметра с1 /с. В свою очередь, этот параметр зависит только от коэффициента Пуассона и не зависит от модуля Юнга и длины волны (волны без дисперсии):
с1 = 1 _ 1
с2 2(1 -V)
Это позволяет выразить зависимость V от ^ следующим образом:
8(£2 -1)
V = 1 +-—---
£2(£4 - 8£2 +Í
и при точности до двух значащих цифр свести ее к линейному соотношению ^ « 0.18у + 0.87. Поскольку скорость сдвиговых волн зависит от величины коэффициента Пуассона, то при анализе зависимости безразмерной скорости волны Релея более целесообразно обезразмеривать скорость делением на сдвиговую скорость при фиксированном значении коэффициента Пуассона, например, при у = 0. Тогда получим следующую простую зависимость безразмерной скорости от коэффициента Пуассона во всем диапазоне его изменения -1 < V < 1/2:
с 0.18v + 0.87 i E
" С0 " ^ ^=0 =
с0 VT+ v
Фиг. 1 наглядно отражает монотонно падающий характер этой зависимости. Причем изменения оказываются малыми как при положительных значениях v, так и при отрицательных коэффициентах Пуассона из диапазона -0.5 < v < 0. Лишь при меньших отрицательных v рост безразмерной скорости волн становится заметным и быстро увеличивается по мере приближения коэффициента Пуассона к —1.
Используя соотношения (2.2), (2.3), выражениям для "горизонтальной" и "вертикальной" компонент смещений (2.1) можно придать вид
ux = A(z) cos k(x - ct), uz = B(z) sin k(x - ct) (2.4)
V = -1
V = 0
V = 0.5
Фиг. 2
УКк
к )
(2.5)
Поскольку компоненты смещений в волне Релея сдвинуты по фазе на п/2, частицы двигаются по эллиптической траектории
На свободной поверхности упругой среды (при % = 0), полагая а > 0, для амплитуд имеем
что соответствует вращению частиц у поверхности по эллиптической траектории против часовой стрелки. При этом эллипс вытянут в направлении, перпендикулярном
На больших глубинах эллипсы также вытянуты вертикально, поскольку тогда В/А к к/к, > 1, но частицы вращаются по часовой стрелке в силу неравенств А > 0, В > 0. Эллиптическая траектория частиц на поверхности значительно изменяется с изменением коэффициента Пуассона. Как ясно видно из фиг. 2 эллиптическая траектория частиц на свободной поверхности значительно уменьшается по вертикальной оси с уменьшением коэффициента Пуассона и приближается к окружности при V, стремящемся к —1. На этой фигуре и далее для обезразмеривания смещений используется вертикальная компонента смещений при нулевом числе Пуассона
Характер влияния величины и знака коэффициента Пуассона на амплитуду волн Релея на разных глубинах хорошо иллюстрирует фиг. 3 (1 — V = -0.95, 2 — V = 0, 3 — V = 0.5). На ней безразмерные амплитуды вертикальной и горизонтальной компонент смещений В/В00, А/В00 даны в зависимости от безразмерного расстояния от свободной поверхности при различных коэффициентах Пуассона. Амплитуды сделаны безразмерными делением на амплитуду вертикальной компоненты на свободной поверхности при нулевом коэффициенте Пуассона В00, а глубина делением на длину волны X. Из фиг. 3, а (1 — V = -0.95, 2 — V = 0, 3 — V = 0.5) можно видеть, что при положительном коэффициенте Пуассона V = 1/2 безразмерная амплитуда вертикального смещения В/В00 меняется с глубиной не монотонным образом. Амплитуда В сначала не только не убывает, но возрастает более чем на 10%, и лишь при > 0.4 она становится меньше ам-
к 2 - 2 2 А0 = А(% = 0) = -ак, к-< 0, В = ВО = 0) = ак > 0
свободной поверхности ("вертикальном"), что видно из неравенства |В0/А0| = 1 /к, > 1.
В00 - В(% = 0)у=0 = 0.382ак
zЛ -0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
-3.0
0 0.2 0.4 0.6 0.
1.0 1.2 1.4
B/B00
zЛ
-0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5
-3.0 -0
-0.6 -0.4 -0.2
(Ь) 4 —
- 1%% ^ V
1 1 1
0.2
A/Boo
Фиг. 3
zЛ -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.13^>
-0.255
-0.413
-0.510
^-0.557
г^-0.766 1 1 1 1 1 1
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 V Фиг. 4
0
плитуды на свободной поверхности, и асимптотически экспоненциально спадает на большой глубине. В то время как при отрицательных коэффициентах Пуассона амплитуда B/B00 убывает при любом погружении и тем быстрее, чем более отрицателен коэффициент Пуассона. Из фиг. 3, Ь видно, что зависимость безразмерной амплитуды горизонтального смещения A/B00 от глубины не является монотонной при любых значениях коэффициента Пуассона и при небольших глубинах |%| /Х< 0.557 меняет знак. Изменение знака амплитуды A при положительности знака амплитуды B (фиг. 3) отражает изменение направления вращения частиц по эллиптическим траекториям на определенных глубинах. Обращени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.