АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 55, № 4-5, с. 606-622
УДК 534.2
ПОВЫШЕНИЕ РАЗРЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ТОМОГРАФИРОВАНИЯ ПО ПОПЕРЕЧНОЙ КООРДИНАТЕ И РАЗДЕЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ УПРУГИХ И ВЯЗКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕИВАТЕЛЯ © 2009 г. О. Д. Румянцева, В. А. Буров, А. Л. Конюшкин, Н. А. Шарапов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы Тел.: (495) 939-3081; Факс: (495) 932-8820E-mail: burov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 24.07.07 г.
Рассматриваются пути повышения информативности практических методов акустической томографии. Предложен простой метод повышения разрешающей способности двумерного акустического томографа в направлении, перпендикулярном плоскости томографирования, за счет наклона преобразователей. Предложен алгоритм раздельного восстановления рефракционной, плотност-ной и поглощающей компонент рассеивателя при неполных данных рассеяния на трех частотах. Показана возможность оценки характера частотной зависимости коэффициента поглощения как дополнительного диагностического параметра.
PACS: 43.60.Rw, 43.60.Pt
1. ВВЕДЕНИЕ
Информативность практических методов акустической томографии можно повысить за счет формирования трехмерных или "почти" трехмерных (так называемых 2.5-мерных) изображений вместо двумерных и за счет одновременной реконструкции фазовой скорости звука с (г), плотности среды р(г) и зависящего от частоты ю амплитудного коэффициента поглощения а (г, ю) [1]. В большинстве прикладных задач оцениваемые неоднородности среды относятся к классу сильных рассеивателей, существенно искажающих внутреннее поле по сравнению с полем падающим. Для их реконструкции могут использоваться итерационные методы, являющиеся наиболее целесообразными в случае неполных экспериментальных данных и дополненные, при большой силе рассеивателя, процедурой "постепенного включения" эффектов перерассеяния [2, 3]. В настоящее время эти методы разработаны для высоко контрастных рассеивателей, когда приближение Борна несправедливо, а простые итерационные процедуры расходятся. Однако в основе каждого итерационного подхода лежит решение обратной задачи в приближении Борна со скорректированным по результатам предшествующих итераций значением внутреннего поля. Поэтому в настоящей работе приближение Борна рассматривается как отправной момент для организации итерационного цикла. Проведенный в данном приближении анализ основных вопросов можно обобщить на весь итерационный процесс.
Функция рассеивателя V (г, ю) характеризует отклонения функций с (г), р(г) и а (г, ю) от их средних значений с0, р0 и а 0( ю), предварительно измеряемых в однородной фоновой среде. В случае комплексного представления монохроматических волновых полей эта функция имеет вид [2]:
2 ( 2 Л
v(r-и) = 7 ('_ л)
co V c (r)
+
У
+
VP(T) v
1
_ _2„a(r,ю) -ao(ffl)
I I Z, I Ц.)
Vp(rV c(r)
при временной зависимости ~ ехр(-г'ю г). Данное выражение справедливо как при ю > 0, так и при ю < 0 с учетом знака круговой частоты ю и того, что а(г, - ю) = а(г, ю). Для дальнейшего анализа его удобно переписать как:
v(r, ю) = ю W(r, ю), где
W(r, ю) = g(r) + ()2 f Ц0
ю) V ю
(1)
V- 1
+ isgnю| -Iю | (юV- 1ga(v)(r))-
V®2 J
Три слагаемых в (1) соответствуют скоростной, плотностной и поглощающей компонентам рас-
2
o
сеивателя, которые описываются частотно-независимыми функциями
ем =1 -
с (г)
р(г) = с02ТР(Г)у2
1
л/р(Г)
(г) = -2
а(г,Ю2) -ао(ю2) со с(г)'
(2)
V ®2
При этом частотная зависимость коэффициента поглощения предполагается степенной и характеризуется показателем степени V = V (г):
а(г, ю) = (ю| /ю2)Уа(г, ©2);
(3)
в качестве ю2 > 0 может быть выбрана средняя частота в рабочем частотном диапазоне е [ю1, ю3]. В импульсном режиме падающее поле
ио(г, ек, Г) = Г А(ю)ехр
•—да
• ю • , 1—екг - lюt
V с0
суперпозицией плоских монохроматических волн, распространяющихся в направлении ек. Зондирование рассеивателя плоскими импульсами с амплитудным спектром А (ю) позволяет получить оценку У( г, А) функции V (г, А), связанной с функцией рассеивателя в монохроматическом режиме у (г, ю) соотношением [4]:
dю
является
^г, А) = со2|
2 В(ю,tо)da =
ю
(4)
= | Ж(г, ю)В (ю, t о)й ю.
В двумерной задаче В(ю, t0) = |га| 1/2 А(ю) х х (1 + Isgnю)ехр(-гю^), в трехмерной задаче В(ю, t0) = (с0/ |га|)А(ю) ехр(-гю^); фиксированный момент времени t0 определяется из условия макси-
/•да
мума величины |Б|, где Б = I В(ю, t0)dю. Тогда
•—да
аналогом функции Ж( г, ю) является (в импульсном режиме) функция W(г, А) = V(г, А)/Б, которая с учетом (1) и (4) приводится к виду:
Ж(г, А) = ес(г) +1р(А)е р(г) + иаМ(А)еаМ(г), (5)
где
1 Г" 1
(А) = -1 I -1В (ю, tо)dю и 1аМ(А) =
Б ^ ю
1 Г® V 1
= — I sgnю|ш|^ В(ю,t0)dю — числовые коэффициенты (возможно комплексные), зависящие от спектра зондирующего сигнала. Таким образом, в функциях Ж(г, ю) и Ж( г, А) информация об упругих (с, р) и вязких (а, V) характеристиках рассеивателя "смешана". Поэтому после получения оценок этих функций посредством обработки
экспериментальных данных может возникнуть необходимость разделить вклад от с-, р-, а(ю)-компонент рассеивателя. Процедура разделения обсуждается далее в п. 3. Другой важный для диагностики вопрос — нахождение разрешающей способности предлагаемой томографической схемы, тесно связанной с понятием аппаратной функции.
При восстановлении характеристик рассеива-теля, в выражении для и0(г, е к, 0 и, следовательно, во всех последующих выражениях, содержащих интегрирование по частоте, нужно рассматривать частоты ю только одного знака. Это означает, что при обработке используются комплексные аналитические сигналы. Аналитический сигнал получается добавлением к измеряемому в эксперименте действительному сигналу мнимой части, являющейся гильбертово сопряженной (по переменной времени 1) к действительному сигналу.
Для дальнейшего рассмотрения вначале нужно дать определение и построить аппаратные функции в монохроматическом режиме у 5(г|г0,ю). Аппаратная функция является реакцией у(г, ю) ~ У8(г|г0, ю) того или иного рассматриваемого алгоритма обработки на рассеянный сигнал от "точечной" неоднородности у(г) ~ 8(г - г0), находящейся в точке г0. Эту тестовую неоднородность (по скорости, плотности или поглощению) с очень малыми размерами и большим контрастом следует рассматривать как идеализацию, служащую для целей построения аппаратной функции. С математической точки зрения, У5(г|г0 = г', ю) является ядром интегрального уравнения типа локальной свертки, описывающего процесс воспроизведения внутренней структуры произвольного рассеивателя у(г, ю) томографическим прибором: У(г, ю) = V 5(г|г', ю)у(г', ю ^г',
где ^ — область рассеяния. Размерность аппаратной функции определяется обратной размерностью ее аргумента, и поэтому пробному 5-образ-ному возмущению по скорости, плотности или поглощению не приписывается размерность возмущения соответствующего типа. Все эти вопросы достаточно очевидны, однако в ряде случаев они ускользают от внимания и приводят к некоторым размерностным "недоразумениям".
Рассмотрение ведется в приближении плоских волн. Это оправдано тем, что данные, получаемые от кольцевой антенной решетки, легко пере-считываются в амплитуду рассеяния (Т-матрицу) плоских волн. Однако даже без использования этой операции, в пределах области, где аппаратная функция существенно отлична от нуля (эти размеры составляют 1—2 длины волны), кривизна фронта проявляется достаточно слабо, и он может рассматриваться как плоский.
2
да
2. КВАЗИТРЕХМЕРНЫЕ СХЕМЫ ТОМОГРАФИРОВАНИЯ С НАКЛОННЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ
Системы двумерного акустического томогра-фирования в частотном диапазоне от одного до нескольких МГц предполагают излучение зондирующей волны с пренебрежимо малой кривизной фронта вдоль третьей координаты (т.е. в направлении, перпендикулярном плоскости томографи-рования) в пределах прожекторной зоны соответствующей протяженности. Обычная протяженность области зондирования (10—20) см и длина волны в мягких биотканях (0.5—1) мм определяют толщину прожекторной зоны около (1—2) см, за счет чего разрешающая способность по третьей координате более чем на порядок уступает разрешающей способности в плоскости томографиро-вания [5, 6]. Реализация схемы полного трехмерного томографирования [7, 8], обеспечивающей высокую разрешающую способность изображения по всем трем измерениям, требует существенного усложнения как самого томографического устройства, так и ее алгоритмической стороны. В связи с этим ниже предлагается компромиссный вариант усовершенствования двумерного томографа, не требующий, в целом, принципиального усложнения приемоизлучаю-щей антенной решетки и алгоритма обработки, но повышающий в несколько раз (по сравнению с чисто двумерным вариантом томографирова-ния) разрешение по третьей координате за счет наклона преобразователей.
Теоретические исследования были выполнены на основе схемы разрабатываемого (при участии авторов) акустического ультразвукового томографа [9, 10]. Каждый из преобразователей с рабочей поверхностью выпуклой цилиндрической формы может работать как излучатель и как приемник. Далее вертикальная ось соответствующего цилиндра (она параллельна образующим цилиндрических поверхностей) будет называться вертикальной осью преобразователя, или просто осью. Расположение преобразователей на кольце существенно отличается от расположения, предложенного в [5, 6]. В рассматриваемом ниже случае антенная решетка разрежена специальным образом, и преобразователи расположены на кольце неравномерно. Используются всего 26 преобразователей, однако антенная решетка может вращаться с угловым шагом дискретизации Дф = 2п/256. Благодаря этим особенностям — разреженной решетке и вращению — получаемый объем экспериментальных данных рассеяния эквивалентен объему данных, которые могут быть получены в случае неподвижной антенной решетки, содержащей 256 приемоизлучающих преобразователей. При облучении используется импульсный режим. Разреженная решетка позволя-
ет работать с преобразователями, имеющими значительные волновые размеры и большую рабочую
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.