ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 1, с. 31-50
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ =
УДК 518.5
ПРАКТИЧНЫЙ СПОСОБ ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
НА ОПТИМАЛЬНУЮ ПРОГРАММУ
© 2007 г. В. Л. Оглоблин
Санкт-Петербург, ПК НПК "Автоматизация" Поступила в редакцию 25.01.06 г., после доработки 25.07.06 г.
Рассматривается задача быстродействия для линейной системы с постоянными коэффициентами. Для кусочно-постоянной программы выводится матричное равенство вида
т -1
Р°т( Т) = £а с г+1( 0) • е-А\ i = 0
где левая часть зависит от конечной точки, а каждое слагаемое в правой части только от одного из переключений управления (ti - моменты переключений). Это соотношение выполняется на траекториях исходной системы.
Из этой формулы получено значение вектора уклонения от конечной точки при малых погрешностях моментов переключений. Далее указаны простые способы вычисления значений уклонений при погрешностях задания матриц управлений и коэффициентов, приводится новый способ решения задачи быстродействия и уточняется принцип максимума Понтрягина добавлением условия попадания в конечную точку. Рассмотрен численный пример.
Введение. Пусть дана система уравнений
йх/ & = Ах + Ьи, (0.1)
здесь х е Я", А е Я" х Я", Ь е Я" х Як, и е и с Як, а также начальная и конечная точки хн и хк из Я", где и - выпуклый замкнутый многогранник. Необходимо найти такую кусочно-постоянную функцию и(0 - программу, что решение этой системы, начинающееся в хн = х(0), при некотором Т > 0 удовлетворяет равенству х(Т) = хк, и для всех t е е [0, Т] выполнено включение и(^ е и. В статье рассматриваются только кусочно-постоянные программы, как в задаче с критерием: время Т - минимальное.
Известно немало численных алгоритмов решения этой задачи [1-6]. Они позволяют при точно известных значениях всех параметров найти программу, обеспечивающую попадание траектории в е-окрестность хк. Обычно в математическую модель добавляют неизвестные возмущения, чтобы учесть несоответствия с реальными условиями функционирования [7, 8]. Но изготовление системы регулирования (реализация) происходит с некоторой заранее известной инженеру точностью. Поэтому возможные отличия реальной системы от расчетной известны еще на стадии проектирования и инженер может учесть их.
В теории оптимального управления это особенно важно, так как некоторые параметры (управления) должны принимать экстремальные значения.
Малейшая неточность в их задании может сказываться на решении максимально. Таким образом, задачи теории оптимального управления принципиально высокочувствительны к погрешностям реализации.
Обычно инженер, проектирующий систему управления, знает, какова ожидаемая точность изготовления каждой ее части и в каких пределах могут меняться различные коэффициенты в матрице А. Ему также нетрудно указать влияние разных факторов (изготовление, износ, температура и т.д.) на вершины многогранника Ьи, которые используются расчетной программе. Поэтому кажется естественным дать инженеру алгоритм, позволяющий оценить влияние всех этих малых отклонений на точность попадания в хк.
Многие оптимальные программы - кусочно-постоянные и заключаются в переключениях управления с одной точки Ьи в другую (например, задача быстродействия). Для таких программ в статье получены следующие результаты:
1) выведена формула
Ах = Я^,
где Ах - вектор уклонения конечной точки расчетной траектории от хк, 5t - вектор неточности соблюдения моментов переключения (т.е. если переключения были сделаны не в моменты а в {ti + А^}, то из множества {А^} составляется вектор 50, а Я( - линейный оператор, из пространства
моментов переключении ство Я";
исходное простран-
ке матрицы А соответствует клетка тех же размеров и вида
2) обосновано выражение вида
Ах = ЯЫЬЬ,
в котором Ах - вектор уклонения конечной точки от хк, 5Ь7 - вектор неточности 7-И вершины многогранника Ьи (расчетной и получившеИся в результате изготовления регулятора), а ЯЬ7 - линеИныИ оператор, из Я" в Я" (8Ьi рассматривается как вклад погрешности в Ах + Ьи);
3) на основе предыдущей формулы получена аналогичная для нескольких вершин многогранника Ьи одновременно и независимо друг от друга, а также указано изменение этоИ формулы, если вариации линеИно согласованы (например, при изменении температуры линеИные размеры меняются согласованно, а угловые остаются прежними);
4) доказано равенство
Ах = ЯА8А,
где Ах - вектор уклонения конечноИ точки от хк, 5А - вектор, характеризующиИ изменение собственных чисел матрицы А, а ЯА - линеИныИ оператор, отображающиИ невязки 5А в отклонения Ах. Отметим, что вариации матрицы А, приводящие к изменению матрицы перехода в жорданов базис, описываются в терминах изменения вершин многогранника Ьи, а также хн и хк.
Полученные формулы (все, конечно, зависят от программы) позволяют оценить влияние неточности того или иного параметра (группы параметров) на точность попадания в хк, например через отношение Рэлея [9, 10].
1. Построение основного гомеоморфизма.
Для простоты понимания и краткости изложения мы взяли широко известную задачу быстродеИ-ствия для линеИноИ системы с постоянными коэффициентами [11]. В дальнеИшем будем считать, что матрица А неособенная, приведена к верхнеИ жордановоИ форме.
Пусть собственные числа матрицы А принадлежат полю Г, Г = Я (вещественные числа) или Г = 2 (комплексные числа). Если у матрицы А все элементарные делители попарно взаимно просты, то все матрицы С, перестановочные с А, имеют [12] квазидиагональныИ вид (напомним, что А в жордановом виде). КаждоИ диагональноИ клет-
с1 с2 сз . • с-
0 с1 с2 • с-1
0 0 с1 • с-2
0 0 0 . • с! ,
где с1, с2, ..., с- - произвольные числа из Г. Матрицы, перестановочные с А, образуют "-мерное подпространство в пространстве всех матриц. Отметим следующее, почти очевидное своИство: пусть даны х, у е Г". Для большинства указанных пар наИдется матрица С, такая, что АС = СА и Сх = у.
ДеИствительно, используя вид клетки матрицы С, достаточно показать, что существуют такие с1, с2, ..., с, что выполнено равенство
0 С!
0 0 ...
с \
х1 х2
( \
у1 У 2
у
а это эквивалентно решению относительно с7 та-коИ системы:
х- х- -1 0 х,-
0 0
-1
/ л у1
у2
у
(проверяется непосредственно). Эта система разрешима единственным образом всегда при х- Ф 0. Таким образом, если у заданного вектора х в каж-доИ группе х- Ф 0, то такая матрица существует и единственна. Множество векторов х е Г", у которых хотя бы в одноИ группе компонентов х- = 0, образует линеИное подпространство в Г" меньшеИ
размерности. Взяв вектор х* = (х* , х*
х*)
из условия х* = х-, при х- Ф 0, иначе х* = £ Ф 0, получим, что для вектора х* и любого заданного у такая матрица С существует и единственна. Отметим, что эта матрица С будет обратима, если только и у- Ф 0 для каждоИ группы. Мы пользовались тем, что матрица А приводима к жордановоИ форме в исходном поле Г. Для комплексных чисел (Г = 2) это всегда так. Если же исходное поле было вещественным (Г = Я), это не всегда верно: у матрицы А могут быть комплексно-сопряженные собственные числа. В таоИ ситуации справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть в пространстве Я" задана матрица А и вектор х. Тогда:
1) для любого е > 0 существует вектор х* е Я", такой, что ||х - х* || < е и для любого у е Я" найдется матрица С е Я" х ", перестановочная с А, и Сх* = у (х* не зависит от у);
2) для прозвольного 5 > 0 и у е Я" имеется вектор у* е Я", такой, что ||у -у*|| < 5 и среди матриц С, определенных в первой части утверждения для вектора у* будет обратимая.
Доказательство этого утверждения дано в [11]. Отметим, что если у матрицы А не все элементарные делители попарно взаимно просты, то перестановочные матрицы могут иметь и другой вид (не только диагональные блоки могут быть ненулевыми), но в настоящей работе такие не рас-сматривются.
Замечание 1. При переходе от одной системы уравнений к другой проделаем следующие операции: преобразуем вектор х в матрицу X(это сумма компонентных матриц, умноженных на компоненты вектора х), а матрицу С - в вектор с (вектор коэффициентов в разложении матрицы С по компонентным матрицам). Далее будем часто пользоваться подобным приемом, например, рассматривая произведения векторов (не скалярное), понимая под этим преобразование первого вектора в матрицу и умножение матрицы на вектор. (п.1 Приложения и в [11]). Сведения о компонентных матрицах можно найти в [12, с. 9, 111, 155].
Фиксируем некоторый вектор х е Я", такой, что построенная по нему матрица не вырождена (т.е. в каждой группе ху Ф 0). Тогда на основании известной теоремы о непрерывной зависимости решения линейной системы от свободного члена получаем взаимно однозначное, взаимно непрерывное соответствие (гомеоморфизм) между векторами у е Я" и матрицами С, перестановочными с данной. От вектора х этот гомеоморфизм будет зависеть как от параметра, причем тоже кусочно взаимно однозначно и взаимно непрерывно (за исключением случая попадания на гиперплоскость х^ = 0 или уу = 0). Следовательно, не умаляя общности, можно считать, что все заданные нам векторы - это матрицы, перестановочные с А.
Замечание 2. Очевидно, что при введении подходящих норм построенный гомеоморфизм будет и локальным диффеоморфизмом.
2. Преобразование исходной задачи в терминах матриц. Допустим, что для решения задачи попадания из хн в хк нам потребуется время Т и мы сделаем т переключений. Набор используемых управлений занумеруем в порядке возрастания: и0 - начальное управление, и1 - управление, на которое мы переключимся с и0, и т.д. В дальнейшем будем пользоваться только ими (среди управлений могут быть и одинаковые, т.е. и1 = иу при i фу)
и рассматривать все зависимости на траекториях системы (0.1).
Введем обозначение: Р(х, и) = Ах+Ьи. Если управление неизменно, то Р(*) будет зависеть от времени так
йР/Ж = АР. (2.1)
При переключении управления с и1 на иу значение Р(х, и) изменится. Положим
Сг]Е( х, щ) = Р( х, и у). (2.2)
Матрица Су обладает свойством линейности по второму индексу, т.е. если в некоторый момент времени сделать переключение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.