ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
МЕХАНИКА МАШИН
УДК 531.1
© 2013 г. Ганиев Р.Ф., Балакшин О.Б., Кухаренко Б.Г.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ КОЛЕБАНИЙ И ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА ПРИ ФЛАТТЕРЕ ЛОПАТОК РОТОРА ТУРБОКОМПРЕССОРА
Работа посвящена обоснованию возможности и определению условий, подтвержденных экспериментально, ограничения амплитуды флаттера рабочих лопаток аксиальных турбокомпрессоров при стабилизации частоты вращения ротора. Анализируются две составные задачи: роль вкладов конструкционного демпфирования и пульсаций давления потока воздуха в устойчивость колебаний лопаток ротора турбокомпрессора, и параметрические условия ограничения амплитуды флаттера лопаток при стабилизации частоты вращения ротора. Показано, что стабилизация амплитуды флаттера лопаток достигается за счет увеличения квадратичного демпфирования акустической диаметральной моды пульсаций давления воздушного потока.
Флаттер с предельным циклом колебаний лопаток ротора турбокомпрессора. Известно, что стабилизация частоты вращения ротора компрессора, как правило, не ограничивает рост амплитуды флаттера лопаток ротора [1]. Флаттер в турбокомпрессоре — это составная часть рабочего режима, при котором аэродинамическое демпфирование становится отрицательным и превышающим конструкционное демпфирование колебательной системы "лопатки—ротор". Технический прогресс обеспечил изготовление конструкции, в которой лопатки и ротор изготавливаются совместно из одной металлической поковки (блиск — от английского blisk — integrally bladed disc). Для блиска конструкционное демпфирование сокращается, что способствует возникновению флаттера лопаток. Рассматривается флаттер лопаток ротора конструкции типа блиска при бифуркации траектории резонанса, связанный с изменением сдвига фаз между колебаниями лопаток ротора [2, 3]. Последующее развитие флаттера происходит по короткому временному сценарию, поскольку амплитуда флаттера лопаток огранивается преимущественно квадратичным трением потока воздуха, возрастающим с ростом давления в аксиальном турбокомпрессоре.
В [2, 3] приведены временные зависимости для частоты вращения ротора fR ее второй и третьей гармоники. Эта частота ответственна за резонанс, предшествующий флаттеру. Частота вращения fR стабилизируется при t = 80 с. В записи крутильных колебаний лопатки ротора x = x(t) (рис. 1) при t = 60 с становится заметным резонанс, а при t = 80 с начинает развиваться флаттер лопаток на крутильной частоте fT = 666 Гц, амплитуда которого стабилизируется при t = 100 с. Исследуем условия и механизм этой стабилизации амплитуды флаттера.
Г В
,8 _ -0,25 -
' _I_I_I_I___
0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
г, с г, с
Рис. 1 Рис. 3
Рис. 1. Запись крутильных колебаний лопатки при флаттере
Временные зависимости крутильной частоты /т лопатки и ее второй и третьей гармоник определяются по методу Прони [1]. Спектральная декомпозиция Прони последовательного сегмента записи колебания (временного ряда) имеет вид
где р — число полюсов сегмента ряда; г[/] = ехр(8[/] + у'2п/ [/]), I = 1, р — полюса, где 8[/] и / [I] — соответственно, фактор демпфирования (логарифмический декремент с обратным знаком) и частота; г[1] = а[/]ехр(у'ф[/]), I = 1,р — вычеты в этих полюсах, где а[1] и ф[/] — соответственно, амплитуда и фаза; п[к] — аддитивный шум. Оценка временной зависимости спектров факторов демпфирования и частот |8[/],/[/], I = 1, р } и
соответствующих им спектров амплитуд и фаз |а[/], ф[/], I = 1, р} осуществляется по записи колебания в результате последовательных нецелых сдвигов временного окна фиксированной длины N = 2000 (1).
Для г е [86, 200] с, частота/тмонотонно убывает от 666,3 до 665,3 Гц, частота 2/ттакже убывает от 1333 до 1330 Гц, а частота 3/т убывает от 2000 до 1995 Гц. Значения амплитуд а^, а /, а / этих гармоник для нескольких моментов времени приведены в
таблице. Из таблицы следует, что лопатки ротора при флаттере совершают периодические колебания с частотой/т « 666 Гц, т.е. для г > 100 с после удаления аддитивного шума из записи колебания на рис. 1 формула для х = х(г) имеет вид
х(t) « а^т(2пТ) + а28т(4пТ) + а38т(6п+ ..., (2)
где а1 > а2, а3 и а2 > а3 (таблица).
Предположение о постоянстве амплитуд в (2) законно, поскольку величина логарифмического декремента мала и амплитуды медленно меняются по сравнению с периодом колебаний.
После синхронизации колебаний каскада лопаток ротора стабилизация амплитуды колебаний учитывается добавлением нелинейных членов в правую часть модели крутильных колебаний лопатки в сосредоточенных параметрах
р
х[к] = У г[/](г[/]))-1 + п[к], к = 1, N,
(1)
t, с a, , В JT aif , В 2 fT , В 3JT
85 0,0080 0,0008 0,0008
115 0,1123 0,0028 0,0011
145 0,1130 0,0029 0,0012
175 0,1132 0,0033 0,0012
199 0,1146 0,0030 0,0016
где J, cT, kT характеризуют момент, коэффициент линейного демпфирования и крутильную упругость лопатки ротора: M1(x, fR), M2 (^Х, fR) — аэроупругий момент и
демпфирование встречного потока воздуха, соответственно [4—6].
Для рассматриваемого аксиального турбокомпрессора в уравнении движения (3) должно присутствовать нелинейное демпфирование
Mi(x> fR) = кА (fR )х + Jn1(fR )х2 + J^f)^
^(gfR) = ^g + JP10i)(g 2Sign(f + УР2(«Й) 3- (4)
В (4) коэффициент kA(fR) при линейной аэроупругости считается положительным, а коэффициенты ni(fR) и n2(fR) при квадратичной и кубической — отрицательными. При этом коэффициент линейного демпфирования встречного потока cA( fR) < 0, а коэффициенты квадратичного и кубического демпфирования в1( fR) > 0 и в2( fR) > 0. Более того, cT + cA( fR) = —2JS( fR), где 8( fR) — фактор демпфирования (логарифмический декремент с обратным знаком), а для колебаний лопаток ротора рассматриваемого турбокомпрессора 8( fR) > 0 (неустойчивость) [2, 3].
Покажем, что квадратичного демпфирования модели (4) достаточно для стабилизации колебаний лопатки, описываемых уравнением (3).
В [7] показано, что работа, выполняемая встречным потоком над лопаткой за один
период крутильных колебаний, имеет вид
f-1
W = - J(Mi(x, fR) + M2л)) § dt. (5)
0
Поскольку работа консервативных сил за период крутильных колебаний равна нулю, то выражение для работы (5) с учетом квадратичного демпфирования имеет вид
Л1
W = - J (- Wr) f + JPl f)(§ 2 Sign (g) g*. (6)
0
При анализе динамики систем в распределенных параметрах под воздействием аэроупругих моментов (4) обычно учитывается только кубическое демпфирование потока [8, 9]. Используя (2) и учитывая, что для колебаний лопаток турбокомпрессора
2
имеем a1 > a2, a3 (таблица), тогда пренебрегая в выражении (6) членами порядка a2 ,
22 a3 по сравнению с членами порядка a1 , получаем выражение для работы
Ж = -2к/т(-21Ьа\ + ^/¿вх а3). (7)
В (7) для краткости зависимости 8 и в1 от частоты вращения ротораопущены. Положительное значение работы Ж означает, что энергия потока передается крутильным колебаниям лопатки, а отрицательное — что энергия крутильных колебаний рассеивается в поток. Работа Ж = 0 при а1 = а10, где
азо = 3 8/8/твз. (8)
При Ж = 0 (т.е. а1 = а10) производная
2 2
дЖ =-3п Л> < 0 (9)
да3 2в3
и состояние а1 = а10 является устойчивым. В фазовом пространстве (х, йх/й?) условие (9) порождает предельный цикл крутильных колебаний лопаток на собственной частоте /т (рис. 2). Переменная йх — это первая разность временного ряда х, т.е.
йх = х[2,1ещШ(х) ] — х[ 3,1ещШ(х) - 3 ]. Для ? > 1 0 0 с, фактор демпфирования 8 « 0,02 с-1 [2, 3]. По данным таблицы а10 « 0,24 В. В таблице представлены амплитуды комплексных составляющих, поэтому они в два раза меньше амплитуд в (2). Формула (7) оценивает величину коэффициента в1 « 5 ■ 10-5 В-1 в (4). Рассмотренный механизм квадратичного демпфирования показывает, что достижение стабилизации амплитуды колебаний при флаттере лопаток ротора аксиального турбокомпрессора связано с необходимостью увеличения квадратичного демпфирования потоком с ростом давления в проточной камере турбокомпрессора.
Моды потока при стабилизации флаттера лопаток ротора турбокомпрессора. Бифуркация резонанса при наступлении флаттера лопаток для ротора конструкции типа блиска в аксиальном турбокомпрессоре позволяет независимо определить частоту вращения ротора и ее третью гармонику 3/л, при которой имеет место (неполный) резонанс, и собственную (крутильную) частоту лопаток /т (частоту флаттера) [2, 3]. Синхронизация колебаний лопаток ротора происходит через поток воздуха, в котором при флаттере возникают акустические диаметральные моды пульсаций давления. Определение частот акустических диаметральных мод для пульсаций давления потока воздуха, сопутствующих флаттеру, позволяет связать частоту вращения ротора и собственную крутильную частоту лопаток /т по формулам для частот диаметральных мод и определить частотные условия возникновения флаттера лопаток ротора исследуемого турбокомпрессора.
Флаттер лопаток ротора турбокомпрессора описывается моделью круговых мод синхронных колебаний
Щ - 3
и(0 = £ Лтехр и(2/ + (I - 3)ат)], (10)
т = - Щь + 3
при которых лопатки ротора колеблются с одинаковой частотой /т и постоянным сдвигом фаз
Стт = Цт, т = 0, ±3, ±2, ..., ±(Щ- 3), (11)
где N — число лопаток в роторе турбокомпрессора [4, 5].
dx, В 0,3
<Ы, В • 10-3 1,5
-0,1 -0,3 -0,5
-1,5 -
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 х, В
-0,02 -0,01
0,01
0,02
x, В
Рис. 2
Рис. 2. Предельный цикл для колебаний лопатки на частоте ^
Рис. 5
Порядок m определяет число узлов круговой моды и называется также числом ее узловых диаметров. Формула для частот сопутствующих флаттеру акустических диаметральных мод пульсаций давления потока получается аналогично подходу [10], но используя переход от вращающейся системы координат, связанной с ротором, в неподвижную систему координат, связанную со статором. В системе координат, связанной с колесом ротора, каждой круговой моде синхронных колебаний лопаток с числом m узловых диаметров соответствует круговая мода пульсаций давления потока с тем же числом m узловых диаметров, называемая акустической диаметральной модой порядка m. Пусть ф — угол по окружности колеса ротора. В системе координат, связа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.