ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2004
УДК 62-50
© 2004 г. Баландин Д.В., Коган М.М., Федюков A.A.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
Рассматривается задача гашения колебаний высотных сооружений при сейсмических воздействиях с помощью активного управления. Построена математическая модель сооружения в виде цепочки упругосвязанных материальных точек, одна из которых связана с подвижным основанием. Получены оценки предельных возможностей управления в зависимости от точки приложения управления. Проведено сравнение этих оценок с минимально возможными уровнями гашения колебаний, достигаемыми с помощью й^-оптимального управления.
Сейсмические возмущения вызывают колебания сооружения, приводящие к потере его устойчивости и, в конечном счете, к разрушению. В связи с этим возникает задача гашения колебаний сооружения посредством дополнительно прикладываемых сил, рассчитываемых на основе текущих измерений, т.е. задача управления конструкцией по принципу обратной связи. На сегодняшний день наиболее активно применяются два принципиально различных способа организации такого управления: динамическое гашение колебаний с использованием дополнительных материальных тел и виброзащита, предполагающая изоляцию конструкции от подвижного основания. Основная сложность расчета подобных систем сейсмозащиты состоит в отсутствии достаточной априорной информации о характеристиках сейсмического воздействия.
В настоящей работе предлагается подход к управлению колебаниями конструкции в условиях неполной информации о действующих возмущениях, который можно реализовать в рамках указанных способов сейсмозащиты и других, возможно еще не отработанных на практике. Этот подход основан на теоретико-игровой интерпретации синтеза управления для получения наилучшего гарантированного результата и на методе расчета предельных возможностей управления [1]. В качестве математического аппарата используется теория й~-управления [2-4].
Математическая модель управляемого высотного сооружения. В качестве механической системы, моделирующей колебания высотного сооружения, рассмотрим одномерную цепочку упругосвязанных материальных точек (этажей или секций сооружения), одна из которых (основание) совершает поступательное движение, порождаемое сейсмическим воздействием. Предполагаем, что масса основания намного превышает массы остальных материальных точек, поэтому влиянием движения секций сооружения на движение основания можно пренебречь. В дальнейшем будем считать, что массы всех материальных точек (секций сооружения) одинаковы, а упругие и демпфирующие связи моделируются линейными элементами с одинаковыми коэффициентами упругости и демпфирования.
Уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид
4* 99
шу\ = - 2Ъу1-2 су1 + Ьу2 + су 2- шу0( г),
тук = -2Ъук-2сук + Ъук-1 + сук-1 + Ъук + 1 + сук +1 + и - ту0(г),
ту'п = - ъУп - суя + ъУП -1 + сУП -1 - ту'о(г),
где ук, к = 1, 2, ..., п - координата к-й материальной точки относительно основания; и - управляющая сила, приложенная к к-й материальной точке; у0 - координата основания относительно инерциальной системы отсчета; т - масса материальной точки; Ъ, с - коэффициенты демпфирования и упругости межсекционных связей.
Введем новые безразмерные переменные г', у', и, и: г = -У(т7с) г', у = (и*/с)у', и = и*и, у0 = -(и*/т)и, где и* - некоторая заданная положительная величина - масштаб управляющей силы. После такой замены уравнения (1) в векторной записи примут вид
у' = - в К у' - К у' + qu + р и, (2)
где у' = (у!, у2, у'п )Г, в = Ъ/4тс,
К=
( 2 -1 0 0 ... 0 > ( 0. ( ^
-1 2 -1 0 ... 0 0 1
0 -1 2 -1 ... 0 , q = 1 , Р =
0 -1 2 -1
V 0 0 0 -1 1 7 107 1 \)
Здесь лишь к-я компонента вектора q равна 1, остальные равны 0.
Запишем систему (2) в каноническом виде управляемой линейной системы
х = А х + Ви + ^и,
( у'
(3)
где х =
, А =
0 I
-К -вК
, В = и, р =
Предполагаем, что система (3) имеет нулевые начальные условия.
Постановка задачи гашения колебаний. Для системы (3) рассмотрим следующую задачу управления. Пусть внешнее возмущение и(г) представляет собой интегрируемую с квадратом на [0, кусочно-непрерывную функцию. В качестве допустимых управлений рассмотрим управления вида
-0 х,
(4)
при которых матрица А - В0 замкнутой системы является гурвицевой. На траекториях системы (3), (4) определим функционал
/(и, и) = |(xTQх + р2и2)йг,
(5)
где Q - симметрическая неотрицательно определенная матрица; р Ф 0 - заданный параметр.
Этот функционал характеризует качество колебательных процессов в механичес-
т
кой системе. Из уравнения (2) следует, что величина в у' К у' с точностью до посто-100
и
0
янного множителя совпадает с мощностью диссипативных сил, а соответствующий
/ \
(5) функционал с блочной матрицей Q = 00 характеризует работу диссипатив-
I 0 рк )
ных сил и затраты на управление. При выборе матрицы Q в блочном виде
Q
f \ K 0
(6)
„ 0 I ,
квадратичная форма в подынтегральном выражении (5) определяет полную механическую энергию системы при ее движении относительно основания.
Задача гашения колебаний состоит в том, чтобы найти допустимые управления, обеспечивающие гашение внешних возмущений в заданном отношении у, т.е. выпол-
нение неравенства
Г Т 2 2 Г 2 2
I (х Qx + р и ) дХ/1 и дХ < у для всех ненулевых допустимых воз-
0 о
мущений, и оценить минимально возможный уровень гашения колебаний у. Если ввести выход системы как
»а х+(0) и ^
то последнее неравенство принимает вид | |z|2
J| z|2 dtlJV dt < y2.
00
Предельные возможности гашения колебаний. Рассматриваемая задача относится к задачам Д°°-управления. Известно, что не при всех значениях у такая задача имеет решение, а только при тех, для которых существует неотрицательно определенная симметрическая матрица Р, удовлетворяющая матричному уравнению Риккати
АТР + РА - р2РББТР + у-2Р¥¥ТР + Q = 0, (8)
—2 Т —2 Т
и такая, что матрица А(р ББ Р + у № Р) гурвицева. В этом случае одно из допусти-
:
управлении определяется соотношением
u = -р 2BTPx. (9)
Наряду с нахождением управления (9) при заданном у значительный интерес представляет отыскание его минимально возможного значения, характеризующего минимальный уровень гашения возмущении. До настоящего времени отсутствуют теоретические результаты, позволяющие наИти этот уровень. Вместе с тем в [1] получена оценка снизу этого уровня и приведены примеры, в которых она является неулучшае-моИ. Применим этот подход к рассматриваемой механической системе.
Для системы (1), (7) и любого допустимого управления (4) передаточная функция имеет вид
H(s) = (-pQ^CsI - A + B0)-1 F. (10)
Из [1] следует, что для нее справедливо неравенство
H(iю)|2 > G(®), Vrae [0,<~), (11)
где
G(ra) = FT [ S1 (ю) - S1(®) BS¡1(ra) BTS1(ra)] F,
, (12)
T -1 -1 T 2
S1(ra) = (AT + ¿ю!) Q(A - iюI) , S2(ю) = BTS1 (ю)B + p21.
Функцию G(o>) можно интерпретировать как квадрат передаточной функции замкнутой системы при некотором идеальном законе управления, использующем полную информацию о возмущении. Уровень гашения гармонического возмущения данной частоты не может быть ниже значения функции G(ra) при этой частоте. Поскольку уровень гашения возмущений в системе при любом заданном управлении определяется соотношением у2 = max |H(iю)|2, то с учетом (11) искомая оценка для у примет вид
юе [0,~)
у2 > max G(ra). (13)
юе [0,~)
Целью дальнейшего исследования будет сравнительный анализ различных стратегий управления рассматриваемой механической системы с точки зрения достижимости минимально возможного уровня гашения возмущений.
Результаты эксперимента. Рассмотрим результаты вычислительных экспериментов в среде MATLAB с механической системой при различном числе n материальных точек, различных значениях параметра в, характеризующего упруго-диссипативные свойства системы, а также при различных значениях к, определяющего номер материальной точки, к которой приложено управление. Матрица Q, определяющая квадратичную форму в подынтегральном выражении (5), имеет вид (6), а параметр р = 1.
На рисунке представлены три графика функций Z (i = 1, 2, 3) от частоты ю. Кривая 1 — функция Z1 = G(ra), определенная в (12) и характеризующая предельные возможности управления. Кривая 2 — функция Z2 = |HM(ira)| , являющаяся квадратом модуля амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы при оптимальном
-управлении (с минимально возможным уровнем у). Кривая 3 — функция Z3 = = |H2(ira)| , являющаяся квадратом модуля амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы при оптимальном линейно-квадратичном управлении с функционалом вида (5). Максимум кривой 1, согласно (13), дает искомую оценку предельных возможностей управления.
Рис. а и б соответствуют двухмассовой системе (n = 2) при к = 2, а рис. в — многомассовой системе (n = 10, к = 6). Кривые рис. а и в отвечают значению в = 1, а рис. б — значению в = 0,1. Видно, что на низких частотах кривая 2, соответствующая H-уп-равлению, расположена сравнительно близко к кривой предельных возможностей управления (кривая 1), в то время как на высоких частотах линейно-квадратичное оптимальное управление имеет существенное преимущество. Характерной особенностью Н~-управления, ярко выраженной на рис. б и в, является слабая зависимость уровня гашения колебаний от частоты.
Из вычислительных экспериментов (рисунок) следует, что оценка предельных возможностей управления может совпадать с минимально возможным уровнем гашения колебаний, достигаемым с помощью Н°°-управления. С другой стороны, из рис. б видно, что минимально возможный уровень гашения колебаний, равный в этом случае 3,1, может быть больше, чем получаемая оценка, равная 2,8. Отметим, что при 2,8 < у2 < 3,1 соответствующее уравнение Риккати (8), согласно стандартной процедуре MATLAB, не имеет требуемого решения.
к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 Y i 2 Y 0 3287 3287 1128 1128 556 557 313 315 191 193 131 132 110 113 126 140 152 174 185 208
В таблице даиы предельные оценки у2 и минимально возможные уровни у 0 гашения колебаний для п = 10, в = 1 при различных значениях к-номера точки приложен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.