АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2007, том 41, № 2, с. 186-189
УДК 521.13
ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ДВУКРАТНО-ОСРЕДНЕННОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
© 2007 г. Ä. Г. Мамедли
Батабатская астрофизическая обсерватория Нахчыванского отделения НАН Азербайджана Поступила в редакцию 18.03.2005 г. После исправления 08.06.2006 г.
Рассмотрен плоский случай параболической ограниченной задачи трех тел. В рамках двукратно осредненной задачи проинтегрированы уравнения движения в случае, когда в разложении возмущающей функции берется лишь первый член. Показано, что при умеренном сближении возмущающего тела с центральным размер и форма орбиты возмущаемого тела остаются постоянными, изменяется лишь ее ориентация.
PACS: 95.10.Се
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим параболическую ограниченную задачу трех тел. Пусть возмущающее тело Р' имеет массу т' и движется относительно точки Р0 с массой т0 по параболической орбите. Требуется изучить движение пассивно гравитирующей точки Р.
Рассмотрим случай, когда все три тела движутся в одной плоскости. Выберем прямоугольную систему декартовых координат Р0ху с началом в точке Р0 и направим ось Р0х в перицентр орбиты тела Р' (см. рисунок).
Тогда дифференциальные уравнения движения точки Р имеют вид (Дубошин, 1975)
d2x + fm0 x
А j2 3
dt r
d2y+fmo y
•J 3
dt r
dR
д x'
dR dy'
(1)
с возмущающей функцией
r = fm (1 - —
yy
(2)
Здесь/- постоянная тяготения, х, у - декартовы координаты точки Р, г - модуль радиус-вектора этой точки, а соответствующие величины, относящиеся к Р, будем отмечать штрихами. Тогда
22 r = x
■у
22 r = x ■
y
А2 = (x - x' )2 + (y - y )2.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Движения возмущающего тела Р' и пассивно гравитирующей точки Р происходят в одной и той же плоскости. Поэтому наклон орбиты точки Р и
долготу восходящего узла ее орбиты следует считать равными нулю, т.е. 1 = 0 , О = 0. Кроме того, эксцентриситет орбиты возмущающего тела в = 1. Далее выберем в качестве независимой переменной истинную аномалию и' тела Р, которая связана со временем соотношением
r'2d и' = Jf (m 0 + m) p'dt.
(3)
Тогда уравнения Лагранжа (Субботин, 1968) для оскулирующих элементов орбиты точки Р с новой независимой переменной примут вид:
da , гдV — = 2 V a , d и' дМ
de
d и'
JT-
e2dV + 1-в2 д V
>Ta д® ej~a дМ
Система координат
предельный случаи
187
d(fl du'
e2 dV
г Ja de'
(4)
dM du'
Jm0 + m' (1 + cos u')2
_ ГЭV 1-e2BV - 2 „Ja ---
3/2
V =
-R,
(5)
fjmjmj+m') p где p - параметр орбиты возмущающего тела P.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Употребляя для кеплеровых элементов общепринятые обозначения, для величин r, r' и А имеем выражения:
r = a( 1 - г" ) , r = Р' , 1- e cos U 1 + cos и"
А2 = r2 + r'2-2 rr'cos y , Y = и + ю - u'.
Здесь и - истинная аномалия точки P, а Y - угол между радиус-векторами r и r'. Тогда для функции V, определяемой формулой (5), получим следующее выражение:
= (1 - rcosy^
V = 4
JP
I ?
4 =
m'
(6)
лии М, но и истинной аномалии и'. Заметим, что изменение и' в промежутке [-п, +п] соответствует изменению времени t в интервале Обо-
значая результат осреднения через V* и ограничиваясь первым слагаемым в разложении (7), будем иметь (Аксенов, 1967; 1977)
да ^а де'
где а и е - большая полуось и эксцентриситет орбиты точки Р, ю и М- ее аргумент перицентра и средняя аномалия соответственно. Функция V связана с возмущающей функцией Я следующим образом:
V* =
=_!_ и ^^ (a
-п 0
3 2 2e
(8)
или
3/2
V * = 4 (a J ^ {'+2 e2
(9)
Рассмотрим теперь упрощенную задачу, а именно, считая сближение умеренным, положим р > а. Тогда, полагая в уравнениях (4) V = V*, где последнее определяется равенством (9), приходим к системе
du'
du'
d( 3 ( a V'2 Г—
3/2
(10)
dM du'
|imo
m' (1 + cos u')
3/2
21£Г - 4( О, I (7 + 3e').
41p
3/2
Полагая r < r' и вводя полиномы Лежандра Pn(cos y), разложим функцию V в ряд по степеням отношения r/r'. Это даст
Из первых двух уравнений следует, что a = const, e = const. Следовательно, размеры и форма орбиты точки P остаются постоянными, изменения претерпевает лишь ее ориентация в плоскости.
Интегрируя систему (10), получим
V = лг
p'
P2( cosY) +4-p= j-) pk(cosY),
k = 3
(7)
где отброшено слагаемое, соответствующее значению к = 0, так как оно не зависит от координат точки Р и при последующем дифференцировании возмущающей функции по элементам орбиты этой точки никакого вклада не дает.
УРАВНЕНИЯ ДВУКРАТНО ОСРЕДНЕННОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
Осредним возмущающую функцию V по всему диапазону изменения не только средней анома-
( = 3I^J ^- e2u' + Cl'
M =
2m'
_ |mo(p)3/2( u' 1 3 u1
a J 1*2+3*2 J-
3/2
(11)
-4 (pa) (7 + 3 e2 )u' + c2.
где с1, с2 - произвольные постоянные.
Поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только разность Дю начального и конечного
2
188
МАМЕДЛИ
Изменения параметра Дю для внешних планет в зависимости от параметра р
Аю, град
p, а. е.
Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон
200 0.800 1.981 5.657 11.129 16.152
300 0.435 1.078 3.079 6.058 8.792
400 0.283 0.700 2.000 3.935 5.711
500 0.202 0.501 1.431 2.815 4.086
600 0.154 0.381 1.089 2.142 3.109
700 0.122 0.302 0.864 1.700 2.467
800 0.100 0.248 0.707 1.391 2.019
900 0.084 0.207 0.593 1.166 1.692
1000 0.072 0.177 0.506 0.995 1.445
значений ю, а и' изменяется от -п до +п, то из (11) окончательно получим
Аю = 2 п. (12)
ПРИЛОЖЕНИЕ К СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
По-видимому, на протяжении своей истории Солнце испытывало сближения с другими звездами (Огородников, 1958). Поэтому представляется интересным оценить его сближение со звездой солнечной массы, которая движется по параболической орбите.
Положив в равенстве (12) | = 1/^/2, или что то же самое, т' = т0 и произведя вычисления для орбит всех планет Солнечной системы, элементы которых брались из руководства (Абалакин и др., 1976), приходим к результатам, представленным в таблице. Эта таблица содержит выраженные в градусах величины Дю для внешних планет в зависимости от значений параметра р. Для внутренних планет максимальное значение Дю не превышает величины 0°,13 в рассматриваемом диапазоне значений р'.
Таким образом, далекие сближения со звездами, движущимися по параболическим орбитам, приводят лишь к незначительному смещению перигелиев орбит планет, не оказывая влияния на их размеры и форму. Эти выводы соответствуют результатам работы Холшевникова и Мищука (1983), в которой рассмотрена гиперболическая ограниченная задача трех тел и дана оценка влиянию движения звезды с массой Солнца на орбиты планет при ее сближении с Солнцем на расстояние q от 10 до 1152 а. е. Показано, что при умеренном сближении такой звезды с Солнцем размеры орбит планет не претерпевают никаких изменений, т.е. большая полуось а = const. При сближении звезды с Солнцем на расстояние q > 100 а. е. наклон, эксцентриситет, долгота восходящего узла и аргумент перицентра изменяются достаточно мало. Заметим, что q > 100 а. е. соответствует значению p > 200 а. е. в нашей работе.
В работе Garcia-Sanchez и др. (1999) проанализирована возможность сближения комет из облака Оорта с Солнечной системой на основе наблюдений, полученных с помощью ИСЗ Hipparcos. Установлено, что за 1.4 млн. лет только звезда Gliese 710 может сблизиться с Солнечной системой на расстояние 0.4 пк (около 82.5 тысяч а. е.), другие звезды - на расстояние 1 пк в интервале ±10 млн. лет. На основе моделирования данных Hipparcos показано, что сближения указанных звезд с Солнечной системой не приводят к увеличению потока долгопериодических комет в направлении орбиты Земли.
В нашей модельной задаче сближение с Солнечной системой составляет от 100 до 500 а. е., что на 2-3 порядка меньше, чем реальное сближение Gliese 710 с Солнечной системой.
В дальнейшем предполагается рассматривать аналогичную задачу о пространственном движении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абалакин В.К., Аксенов Е.П, Рябов Ю.А., Гребени-ков Е.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 862 с.
Аксенов Е.П. Осредненная ограниченная круговая задача трех тел // Тр. Ун-та Дружбы народов им. П. Лумумбы. Сер. Математика. 1967. Т. 21 . Вып. 2. С. 184-202.
Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 360 с.
Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 799 с.
Огородников К.Ф. Динамика звездных систем. М.: ГИФМЛ, 1958. 627 с.
Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
189
Холшевников КВ., Мищук Ю.Ф. Влияние звездных Garcia -Sanchez J., Preston R.A., Jones D.L., et al. Stellar сближений на планетные орбиты// Вестник ЛГУ. encounters with the Oort cloud based on HIPPARCOS
1983. Т. 7. С. 72-81. data // Astron. J. 1999. V. 117. P. 1042-1055.
The Limiting Case of the Double-Averaged Parabolic Restricted
Three-Body Problem A. G. Mammadli
Batabat Astrophysical Observatory, Azerbaijan National Academy of Sciences, Nakhchivan Branch, Azerbaijan
Abstract—The planar case of the parabolic restricted three-body problem is considered. The equations of motion are integrated within the framework of the double-averaged problem taking into account only the first term in the expansion of the perturbing function. It is demonstrated that, at moderate approaches to the central body, the size and the shape of the orbit of the perturbing body are invariable and only the orientation of the orbit changes.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.