РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 5, с. 529-534
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 621.3.037.37
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ФИНИТНЫМ СПЕКТРОМ ФУРЬЕ В ВИДЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА1
© 2015 г. И. С. Дмитриев, М. П. Сличенко
АО "Концерн "Созвездие", Российская Федерация, 394018, Воронеж, ул. Плехановская, 14 E-mail: asp2010@mail.ru Поступила в редакцию 12.08.2013 г.
Получено замкнутое аналитическое представление периодических функций с финитным спектром Фурье в виде модифицированного ряда Котельникова, имеющего конечное число слагаемых. Показано, что такое представление позволяет точно вычислить значения производной данной функции произвольного порядка по значениям ее отсчетов.
DOI: 10.7868/S0033849415050034
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях науки и техники широко применяется дискретное представление непрерывных функций s (t) с финитным спектром Фурье через их эквидистантные по значениям аргумента отсчеты sk = s (kAt) при помощи ряда Котельникова [1]:
да
u (t) = Е s (kn) sinc (ш (t - ^jj, (1)
k
где s (t) — исходная и u(t) — восстановленная
функции; ю > юмаКс = 2я/маКс,/макс - верхняя частота финитного спектра Фурье представляемой функции, sinc(x) = sin (X)/x.
Данная интерполяционная формула широко применяется для функций различной физической природы в разных областях науки и техники. Однако при практическом использовании формулы (1) бесконечный ряд в ее правой части заменяется конечной суммой, в результате чего исходная функция s (t) представлена с некоторой ошибкой As (t) = s (t) - u (t), называемой ошибкой усечения [2]. При дискретном представлении непрерывных функций также имеют место следующие ошибки: наложения, обусловленные невыполнением условия о финитности спектра функции s (t); амплитудные ошибки, обусловленные ошибками измерения значений исходной функ-
1 Статья была подготовлена к 80-летию первой публикации работы В.А. Котельникова "О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи".
ции в отсчетных точках, в том числе ошибками квантования этих значений; ошибки дрожания, вызванные отличием моментов взятия отсчетов ^ от точек отсчета к А г.
При использовании разложения функций с финитным спектром Фурье в модифицированный интерполяционный ряд на основе преобразования Фурье атомарных функций (АФ), нули которых расположены регулярным образом [3—10], ошибка усечения уменьшается по величине. Спектры АФ убывают быстрее, чем функция 8тс(х), а следовательно, модифицированный ряд с функциями разложения вида спектров АФ сходится быстрее [5—7], чем (1). В соответствии с теоремой 3.1 в монографии [3] разложение функций с финитным спектром Фурье в ряд по спектрам АФ является точным, однако при этом требуется увеличить частоту отсчетов по сравнению с разложением в ряд Котельникова.
Использование конечного числа слагаемых интерполяционного ряда эквивалентно обнулению не участвующих в суммировании отсчетов функции. При фиксированном числе слагаемых ряда ошибка усечения растет с увеличением по модулю "обнуляемых" отсчетов за пределами интервала интерполяции. В связи с этим для класса неинтегрируемых в квадрате функций с финитным спектром Фурье интерполяционный ряд является расходящимся и ошибка усечения, как отмечено в [11], не убывает с увеличением числа слагаемых ряда.
В частности, классу неинтегрируемых в квадрате функций принадлежат периодические функции с финитным спектром Фурье. К таким функциям
может быть также отнесен широкий класс практически важных функций, например функций угла типа азимутальных диаграмм направленности антенных систем [7, 8], функций правдоподобия пеленга при азимутальном пеленговании [12].
Как будет показано ниже, при дискретном представлении периодических функций с финитным спектром ошибка усечения может быть сведена к нулю. Кроме того, для периодических функций с финитным спектром могут быть получены простые выражения для производной произвольного порядка через дискретные отсчеты функции, что упростит решение задачи численной оптимизации таких функций. Другими словами, разложение периодической функции с финитным спектром в виде бесконечного ряда Ко-тельникова, а также его модификаций на основе спектров АФ, может быть абсолютно точно представлено в виде конечной суммы.
Цель данной работы — получить точное замкнутое аналитическое представление периодических функций с финитным спектром Фурье в виде конечной суммы с нулевой ошибкой усечения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим периодическую функцию 5 ^) с финитным спектром Фурье и периодом Т, описывающую явления различной физической природы: например, функцию времени в радиотехнических приложениях, функцию угла в задачах пеленгования, функцию обобщенной координаты в теории колебаний. Здесь I — некоторая обобщенная скалярная переменная.
Вследствие периодичности функции последовательность ее эквидистантных отсчетов также является периодической. Если представить данную функцию в виде интерполяционного ряда Котельникова, в правой части (1) множителями функций 8те(-) будут элементы бесконечной периодической последовательности отсчетов функции. В результате указанных особенностей слагаемых интерполяционного ряда (1) для класса периодических функций с финитным спектром правая часть данного ряда может быть абсолютно точно представлена в виде конечной суммы.
2. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ РЯД КОТЕЛЬНИКОВА
Теорема. Для класса периодических функций 5 (?) с финитным спектром Фурье, сосредоточен-
ным в интервале (—F, F), справедливо точное разложение:
N-1
'(') = I G - N • N )•
n=0
где з„ = 5(пТ/Ы), п = 0, N -1; N — целое число отсчетов функции на периоде, удовлетворяющее неравенствуЫ > 2ТВ; ¥ (х, N) — функция, определяемая следующим выражением:
Y (x, N) =
1 sin (Nnx) ctg (nx), mod (N, 2) = 0,
N
sin (Nnx) cosec (nx), mod (N, 2) = 1,
mod (x, y) — остаток от целочисленного деления х на у.
Доказательство. Вследствие периодичности функции s (t) последовательность ее отсчетов sn, взятых в эквидистантных точках tn = nAt, A t = T/N, также является периодической и выражение (1) может быть представлено в виде
N-1 »
s (t) = ^ s (nAt) ^ sine (п (t/At - n - kN)) (2)
n=0
или
k=-a
N-1
,(t) = I SnGn (xд, N)•
(3)
n=0
где введены функции
Gn (x, N) = I sine (n (x - n - kN)), n = 0, -1; (4)
sn = s (nAt) — эквидистантные отсчеты функции, xA = t/ A t — нормированная на тактовый интервал безразмерная независимая переменная.
В соответствии с выражением (3) периодическая функция с финитным спектром может быть абсолютно точно представлена в виде конечной суммы, причем функции разложения (4) являются периодическими. Найдем точное аналитическое выражение для функций (4).
Результаты анализа бесконечных сумм (4) позволяют сделать вывод, что замкнутые аналитические выражения функций Gn (xA) имеют различный вид в зависимости от четности либо нечетности числа отсчетов интерполируемой функции.
В том случае, когда N — четное число, справедливо равенство
sin (п (xA - n - kN)) = sin (п (xA - n)),
эи
с учетом которого функции Оп (х) можно переписать как
1
(a)
Gn (хд) = sin (n (хд - n)) У ,
a - ky
k=-<»
где введены следующие обозначения: a = п (хд - n),
y = nN, n = 0, N -1.
Используя равенство [13]
E -k=1+2flE-
a - ky a -
1
n
- k2 y2 ytg(na/y)'
как
N-1
?(t) = E s»* (xt - N' N),
n=0
(5)
где xT = x д/ N = t/T — нормированная на период исходной функции s (t) независимая переменная, ¥ (x, N) — функция с периодом, равным единице, определяемая выражением
Y (x, N) = —sin (Nnx) ctg (nx), mod (N, 2) = 0,
N
—sin(Nnx)cosec (nx), mod(N,2) = 1.
(6)
s(t), u(t) 4
2
0
-2
/ - // // .-.У' |N \ Л \ \ \\ \\ х\ \ \ » \ - ^
7' N i 4 1 1 1
-0.5
кк=1 справедливое для всех действительных значений у Ф 0, функцию Оп (хд) можно представить в виде
Оп(хд) = (п(хд - п))(п(хд -п)/М), п = 0, N -1.
Аналогично можно показать, что в случае нечетного числа N отсчетов функции 5 (?) на интервале [0, Т) выражения для Оп (хд) имеют следующий аналитический вид:
Оп (хд) = -^п((хд - п))ео8ес (п (хд - n)/N), п = 0, N -1.
Таким образом, выражение (3) можно записать
0.5
(б)
1.0
1.5
Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим периодическую функцию с финитным спектром и единичным периодом:
5 (?) = 0.5 + 2.5 cos (2П) +
+ 0.6cos(4п? -я/4) + 0.5cos(Ш).
Поскольку индекс наивысшей гармоники в спектре этой функции равен 3, в соответствии с теоремой отсчетов данную функцию можно абсолютно точно представить в виде ряда (1), где отсчеты
As(t) 0.4 0.2 0 0.2 0.4
Рис. 1. Результаты интерполяции периодической функции с финитным спектром (а) и ошибки ее интерполяции (б).
функции взяты с шагом А? < 1/6 на всей числовой оси. Согласно теореме, доказанной в настоящей работе, имеет место точное разложение (5) данной функции в виде конечной суммы при числе отсчетов на периоде N > 6. Результаты численных расчетов при N = 7, А? = 1/7 дают абсолютно безошибочное представление данной функции по формулам (1) и (5).
Предположим теперь, что имеем последовательность отсчетов анализируемой функции не на всей бесконечной оси аргумента, а лишь на интервале периодичности функции 5 (?). На рис. 1а представлена анализируемая функция (сплошная кривая), ее дискретные отсчеты, а также результаты интерполяции функции усеченным рядом Ко-тельникова (штриховая кривая) и модифицированным рядом (кривая совпала с графиком исходной функции). На рис. 1б представлена ошибка Д5 (?) = 5 (?) - и (?) интерполяции исходной функции усеченным рядом Котельникова. Как видно из рисунка, при интерполяции данной функции по конечному числу ее отсчетов в соответствии с усеченным интерполяционным рядом (1) возникает ошибка усечения. Использование разложения (5) позволяет безошибочно восстановить функцию на всей числовой оси по конечному числу отсчетов функции.
со
0
t
t
y(xr, N)
3 _i_i_i_i_i_i_i_i_i_i
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Xt
Рис. 2. Графики функции ¥ (xt , N) для N = 9 (кривая 1) и N = 10 (кривая 2).
3. АНАЛИЗ ФУНКЦИИ РАЗЛОЖЕНИЯ
Проанализируем полученную функцию разложения (6). В отличие от спектров атомарных функций [3—5], и в частности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.