научная статья по теме ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ Механика

Текст научной статьи на тему «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014

УДК 539.3

© 2014 г. Р. Н. НЕСКОРОДЕВ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА ИЗОТРОПНЫХ ПЛИТ

В статье предложено решение задачи изгиба изотропных пластин в уточненной постановке, имеющей систему дифференциальных уравнений шестого порядка. Дана методика нахождения общих решений соответствующих бигармонического и метагармонического уравнений. Указан способ удовлетворения граничным условиям. Представлены результаты численных исследований напряженного состояния бесконечной плиты с эллиптической полостью.

Ключевые слова: изгиб, плита, уточненная теория, напряжение, момент, эллиптическая полость.

1. Основные соотношения уточненной теории изгиба изотропных плит. В [1, 2] предложено обобщение теории изгиба Кирхгофа, учитывающее влияние на прогиб деформации поперечного сдвига. Первое решение задачи о концентрации напряжений в окрестности кругового отверстия, полученное средствами обобщенной теории, было дано в [2]. Разработке методов расчета концентрации напряжений возле отверстий, вырезов и включений при изгибе плит с учетом сдвиговой податливости посвящены работы [3, 4].

В настоящей статье строится решение бигармонического и метагармонического уравнений уточненной теории изгиба плит, полученных в [5]. Предлагаемое решение основано на использовании функций обобщенных комплексных переменных [6, 7]. Это позволяет проводить исследования для изотропных и анизотропных тел по одним и тем же алгоритмам. Приведены численные результаты для плиты, ослабленной эллиптической полостью.

Представим соотношения для напряжений, перемещений, моментов и перерезывающих сил, а также систему дифференциальных уравнений теории изгиба плит, предложенные в работе [5]. Рассмотрим изотропную плиту, имеющую толщину к и отнесенную к декартовой системе координат Охуг. Оси Ох и Оу расположены в срединной плоскости плиты, а 01 нормальна к этой плоскости. Представление для перемещений выбираются в виде

их = -г [Аф (х, у) -д 2V (х, у)], иу =-г [5 2Ф (х, у) + дх у (х, у)], и^ = п (х, у) (Ь^

Для построения уточненной теории изгиба плит используются [5] уравнения закона Гука в форме

Ох = Ё (б х у), о у = Ё (б у х), т ху = Оу ху, Т хг = Оу хг, т уг = Оу уг (1.

геометрические соотношения

Б х = дхих, Б у = д 2иу, У ху = ди + д 2 их, у хг = д и + дп, у уг = д зиу + д 2П (1.3)

трехмерные уравнения равновесия без учета объемных сил

3 Механика твердого тела, № 4

65

д]0 x + д 2Т xy + д 3Т xz = 0, д^xy + д2оy + д3тyz = 0, д1тxz + д2тyz + д3оz = 0 (1.4)

д1 =д/дх, д2 = д/ду, д3 = d/dz, E = E/(1 -v2), G = E/[2 (1 + v)]

Заметим, что к первым трем уравнениям закона Гука, являющимся уравнениями классической теории Кирхгофа, здесь добавлены еще два уравнения.

Из (1.2), а также из уравнений равновесия (1.4) найдены выражения для напряжений

üх = zSx > üу = zSy> тxy = zSxy (1-5)

т xz = ^ - 4Й ^, Т yz = J ^ - Ai) Syz (1)

а

= -V(z - S +11 ( +52Syz) (L7)

z 8 1 3h2 3,

т;г/Л2 Л2Ч /, л Л Л о

Sx = -E[(d2 + v52)9-(1 -v)did2^], Sy = -E[(d2 + ^2)ф + (i-v^y], Sxy = -E (1 - v) (did2Ф+2 (d2 - 5Ц, = 5iSx + 52Sy, Syz = + 52S

(1.8)

Напряжения статически эквивалентны моментам Mx, My, Mxy и перерезывающим силам Qx и Qy

(1.9)

А/2 3 А/2 3 А/2 3

Их = | сх^г = 5х, Му = | су^г = 5у, Мху = | тхуг^г = А$ху

-А/2 -А/2 -А/2

А/2 3 А/2 3

бх = | тхгЛг = ^2 Sxг, йу = I тугаг = А 5уг

-А/2 -А/2

Отметим, что представления для напряжений (1.6) и (1.7) удовлетворяют граничным условиям на плоских гранях плиты т хг = т уг = 0, а г = б при г = А/2 и т, = тж = а, = 0 при г = -А/2, если

+5 2бу =-б (1.10)

Касательные напряжения тхг и туг через функции перемещений могут быть получены также из уравнений закона Гука (1.2). С учетом соотношений (1.1) и (1.3), находим

Т хг = О У хг = О (д^ - 01ф + д 2^), Т уг = О у уг = О (д 2W -д 2ф - д^)

Эти соотношения входят в противоречие с представлениями (1.6). Корректный результат можно получить для поперечных усилий

А/2 А/2

бх = I тхг^г = ОА (д^ -д^ + д2^), бу = I ту1йг = ОА (д2^ -д29-д^) (1.11)

-А/2 -А/2

Таким образом, для определения функций ф, у и имеем уравнения (1.9), (1.10) и (1.11). Подставляя бх и бу из (1.9) в (1.10), с учетом (1.8) получим

В ДДф = р, Д = 5? +д2, В = ЁАг /12 (1.12)

Сравнивая правые части соотношений для Qx и Qy из (1.9) и (1.11), с учетом (1.8) найдем

Ду- к V = 0, к2 = 2НО = 12, ш = <- - Дт, С = ОН (.13)

* - (1 -v) Н1 с у '

Таким образом, получена система уравнений изгиба плит (1.12), (1.13), имеющая шестой порядок. Это позволяет удовлетворить трем граничным условиям на боковой поверхности, имеющим место в теории изгиба плит.

2. Построение решений дифференциальных уравнений теории пластин. Для построения решения дифференциальных уравнений (1.12) и (1.13) воспользуемся функциями обобщенных комплексных переменных.

2.1. Бигармоническое уравнение. Введем в операторы Д = д дополнительные

слагаемые так, чтобы они приняли вид Д1 = (1 + е)2 д2 + дД2 = (1 - е)2 д2 + д2, где е — малый параметр [7]. Тогда бигармонический оператор ДД превращается в обобщенный бигармонический Корни характеристического уравнения теперь не являются кратными и имеют вид = (1 + е) г, ц2 = (1 - б) г, = - (1 + е) г, Ц2 = - (1 - б) г.

Общее действительное решение однородного уравнения (1.12) через произвольные функции обобщенных комплексных переменных можно представить так [6]:

ф = 2Яе [ф1 () + Ф2 (Т2)], Т] = х + ц ¡у

Функции ф/(гу) определены в областях S¡, которые получаются [6] из области S, занимаемой срединной плоскостью плиты, аффинными преобразованиями X/ = х, У] = (1 ±е) у.

2.2. Уравнение Гельмгольца. Рассмотрим способ решения уравнения (1.13) для

усложненного оператора Д = а д + д2, где а — вещественное число. Преобразуем уравнение к виду

[к2 - (52 )(д2 )] у = 0, Ц = ¿а, ц = -га (2.1)

Для интегрирования уравнения (2.1) введем обобщенную комплексную переменную z = х + и сопряженную ей величину Т = х + цу. Это позволяет ввести операторы

51 = А = А + 52 ^^А + рА (.2)

дх дт дТ ду дт дТ

Подставляя соотношения (2.2) в уравнение (2.1), получим

[д2/дтдт - ч V (х,У) = 0, ч2 = -кV(ц-Ц)2 (2.3)

Функцию у (х, у) представим в виде произведения функций различных аргументов

у = ю (г) п (5), г = 2чг, г = (тт)1/2, 5 = (т/Т)1/2 (2.4)

Подставим представление (2.4) в уравнение (2.3). Разделяя функции, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций ю(?) и п(5):

2 2

г ю" + гю' - г ю = сю (2.5)

2

п ''5 +п 5 - сп = 0 (2.6)

3* 67

Уравнению (2.6) удовлетворяют функции cnsn при значениях разделительного параметра c = n2 (n = 0, ± 1, ± 2,...) соответственно. Уравнение (2.5) получится таким:

t2юП' (t) +1( (t) - (t2 + n)(ùn (t) = 0 (2.7)

Общее решение уравнения (2.7) при целых значениях величины n имеет вид [8]

юп (t) = ^n1 n

(t) + fnKn (t)

где In (t), Kn (t) — модифицированные функции Бесселя, en, fn — произвольные постоянные.

Соотношения (2.4) с учетом найденных решений запишутся так:

Vn = оп [enIn (t) + fnKn (t)]sn (2.8)

Общее решение уравнения (2.1) представляется в виде суперпозиции функций (2.8):

ад

v (x, y) = 2 Re X [EnIn (t) + FnKn (t)] sn (2.9)

n=0

где En и Fn — произвольные комплексные постоянные.

При рассмотрении задач для неограниченных областей в представлении (2.9) следует выбрать убывающую на бесконечности ветвь. Соответствующее решение примет вид

ад ад

v (x,y) = 2Re X FnKn (t) sn = 2Re £ Fjvn (2.10)

n=0 n=0

В представления для перемещений, напряжений, моментов и перерезывающих сил

входят производные от функции у. Производные от функций уn = Kn (t) sn найдены путем использования соотношений, связывающих функции Бесселя с различными индексами [8]:

Vn = Kn (t) Л Vln = dlVn = -q(Kn-1S"-1 + Kn+1S"+1) V 2n = д 2V n = -q(^Kn-lSn-1 +^Kn+lSn+1)

Vlln = d2V n = q 2(Kn-2Sn-2 + 2KnSn + Kn+2Sn+2) (2.11)

^2 2 / 2 rs- n-2,^ ^ jy n , ^2 jy n+2\

V22n = д2Vn = q (Ц Kn-2S + l^KnS + Ц Kn+2S ) Vl2n = dld2Vn = q2(^Kn-2Sn-2 + (ц + Ц) KnSn + ^Kn+2Sn+2)

3. Граничные условия на боковой поверхности. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние плиты, ослабленной криволинейной полостью, боковая поверхность которой представляет собой цилиндр с образующими, нормальными плоским граням. Граничные условия для криволинейного края с нормалью n определяются способом закрепления и нагружения поверхности. Пусть P ( x, y, z ) — нормальная, а T ( x, y, z ) и N ( x, y, z ) — касательные составляющие внешних сил, приложенных к боковой поверхности полости. Если P = T = N = 0, то край считается свободным от усилий. На внешней боковой поверхности также могут быть заданы усилия интенсивности

cx = PZ, o0y = qz и T°xy = tz. Полагаем, что внешний контур находится вдали от полости и их взаимным влиянием можно пренебречь. Тогда граничные условия на боковой поверхности полости примут вид

no x + n2T xy = nl ( P - pz ) - n2 (T + tz )

nlTxy + n2Cy = nl (T - tz) + n2 (P - qz), nlTxz + n2Tyz = N

Направляющие косинусы при параметрическом задании контура будут такими

ni = cos (n, x) = dy/dl, n2 = cos (n, y) = -dx/dl; dl = \j dx2 + dy2 (3.2)

Рассмотрим случай, когда внешние усилия представлены в форме

P (x,y, z) = zPi (x,y), T(x,y,z) = zTi (x,y), N(x,y, z) = ^[i - ^ Ъ (x,y)

Тогда в соответствии с представлениями (1.5)—(1.6), условия (3.1) запишутся так:

niSx + n2Sxy = ni (Pi - p) - П2 (Ti + t),

nSxy + n2Sy = ni (Ti - t) + n2 (Pi - q), niSxz + n2Syz = Ni

Подстановка представлений (1.8) в (3.3) дает уравнения для определения функций ф и ^:

2

2Re X(nilj + nrj)ф" + [nirndid2 + 2 - SJ2)] у = ni (Pi - p) - n2 (Ti +1)

y=i

2

2Re X(n^; + n2r2j)фУ + [^^did2 + nrj(d2 - dj2)] V = ni (Ti -1) + n2 (Pi - q) (3.4)

j=i

2

2Re X (n^y + n2?4j) фУ + — (n^d2 + ) \|/ = N j=i h

2 2 3 3 E(i + v ц J) Ец j

Ф; = д у,/дzJ, ф7 = д /dzj, ^ = —i _v2 , = -—

2

Е(ц; + v) E 2

r2 J =--:-—, = -2 (i + И j ), r4j = Ц jr5j, (j = Щ

i - v i - V

E E E E

ri3 =T~' r23 = ' r63 = -Г7.-Г, r53 =-—, r43 = -r53

i + v i + v 2 (i + v) i + v

Интегрирование граничных условий (3.3) с учетом однородного уравнения (1.10), а также соотношений (3.2) дает

2 (i +2) 1 2Re EX (—V|j) Фj - E (i - v) = (py - tx) - J(Pi

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком