КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 519.61
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ ДЛЯ ФАКТОРИЗУЕМЫХ
ОПЕРАТОРОВ ЛАПЛАСА
© 2014 г. Е.С. Шемякова
Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН 119991 Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail: shemyakova.katya@gmail.com Поступила в редакцию 05.09.2013
Рассматриваются факторизуемые операторы Лапласа вида L = dxdy + adx + bdy + c, где коэффициенты a, b, c могут не быть константами. Для них рассматриваются преобразования Дарбу L —> Li, M € K[dx], определенные сплетающим соотношением NL = LiM. Показано, что возможны только следующие случаи: (1) либо ker M П ker dx + b = {0} и Li тоже факторизуем, (2) либо в ker M П ker dx + b есть ненулевой элемент. Для каждого случая мы доказываем, что преобразования Дарбу можно представить в виде произведения преобразований Дарбу порядка один. В случае
L
преобразований Дарбу операторов первых порядков.
1. ВВЕДЕНИЕ
Впервые преобразования Дарбу дифференциальных операторов были описаны в конце XIX-ого века в рамках классической дифференциальной геометрии для описания преобразований поверхностей. В 1970-х годах эти преобразования приобрели новое важное применение в теории интегрируемых систем (теории солитонов). Тогда на основе преобразований Дарбу стали разрабатываться алгоритмы для точного решения некоторых дифференциальных уравнений с частными производными, линейных и нелинейных.
Классические преобразования Дарбу были введены для одномерного оператора Шрёдинге-ра и для двумерных операторов Лапласа
Ь = дхду + адх + Ьду + с, (1)
где а, Ь, с не обязательно постоянные. Преобразования Дарбу для одномерного оператора Шрё-дингера возникают, например, в задаче интегрируемости КдВ, а преобразования операторов типа (1) возникают в задачах "2+1" интегрируемых систем [6].
С развитием теории интегрируемых систем появилась необходимость в обобщении преобразований Дарбу и их частного случая - преобразований Лапласа. Например, предложены обобщения преобразований Дарбу-Лапласа для операторов от многих переменных [4, 5], для систем дифференциальных уравнений [15], а также аналог преобразований Лапласа для дискретного случая [7].
Настоящая работа посвящена задаче классификации всевозможных преобразований Дарбу для данного оператора - задаче, которая возникла еще во времена Дарбу. Для одномерного оператора Шрёдингера она была решена в четыре этапа [1, 2, 9, 17]. Как и ожидалось еще самим Дарбу, любое такое преобразование раскладывается в произведение элементарных преобразований первого порядка. Для двумерных операторов вида (1) были сначала получены классификации преобразований Дарбу порядков один и два [10, 12].
Результат настоящей статьи - рассмотрение случая факторизуемых операторов вида (1) - является важным этапом в построении классификации преобразований Дарбу произвольного порядка. Теорема 7 сводит задачу классификации
преобразований Дарбу Ь Ь1 факторизуемого оператора Ь к двум случаям:
(1) либо кег М П кег дх + Ь = {0} (в этом случае Ь1 обязательно факторизуем),
(2) либо в кег М П кег дх + Ь есть ненулевой элемент.
Для каждого случая мы доказываем отдельно (теоремы 13 и 14), что преобразования Дарбу можно представить в виде произведения преобразований Дарбу порядка один. Случай (2) более сложный. В этом случае доказательство основано на том, что преобразования Дарбу операто-Ь
операторов первых порядков (теорема 9).
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ ФАКТОРИЗУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть К - дифференциальное поле характеристики ноль с коммутирующими операторами дифференцирования дх,ду, и К[дх,ду] - соответствующее ему кольцо линейных операторов с частными производными с коэффициентами из К. Пусть С - поле констант дифференциального поля К. Пусть С (ж) - множество элементов / е К со свойством ду (/) = 0, а С (у) - множество элементов / е К со свойством дх(/) = 0. Пусть К[дх] обозначает кольцо обыкновенных
дх
К
Операторы Ь е К [дх,ду ] имеют в ид Ь = дхд^, где а^ е К. Многочлен Яуш^ = а%]XгУ3 формальных переменных X, У
Ь
К
циально замкнутым, то есть содержащим решения (нелинейных в общем случае) дифференци-
К
бо просто предполагать, что все решения уравнений, которые будут встречаться, принадлежат этому ПОЛЮ.
Определим преобразования Дарбу [3] следующим образом. Оператор Ь е К[дх,ду] отображается в оператор Ь1 е К[дх, ду] с тем же главным символом с помощью оператора М е К[дх,ду], если для некоторого оператора N е К [дх, ду] выполнено
ЖЬ = Ь1М. (2)
Из равенства (2) следует, что главные символы операторов N и М совпадают. В данной статье мы рассматриваем преобразования, порожденные М е К[дх].
Определим порядок преобразования Дарбу как М
ЬМ
дает переопределенную алгебраическую систему уравнений на коэффициенты операторов N и Ьь
М
ни одного, одно, или же несколько, или же бесконечно много различных преобразований Дарбу.
В настоящей работе мы рассматриваем преобразования Дарбу операторов Лапласа Факторизации такого оператора могут быть двух видов:
Ь = Му Мх
Ь = МхМу
где
Му = дх + Ь, Мх = ду + а.
Всего оператор вида (1) может иметь 2, 1 ми 0 факторизаций.
Оператор вида (1) всегда можно представить в виде неполной факторизации:
Ь = Му Мх + Л, = Мх Му + к,
(3)
(4)
где Л = с—ах—аЬ и к = с—Ьу—аЬ. То есть условие Л = 0 соответствует одному типу факторизации, к=0
Для факторизуемого оператора всегда есть тривиальное преобразование Дарбу. Для операторов Ь с Л = 0 имеем
(ду + п) (дх + Ь) (ду + а) = (ду + п) (дх + Ь) (ду + а),
4-V-' 4-V-'
Ь Ьг
а для операторов Ь с к = 0 имеем
(дх + п) (ду + а) (дх + Ь) = (дх + п) (ду + а) (дх + Ь) .
4-V-' 4-V-'
Ь Ьг
Заметим, что для таких преобразований верно,
кег Ь П кег М = {0}. (5)
Тривиально или нет пересечение ядер операто-ЬМ
сификации преобразований Дарбу (см. подробнее в [13]).
3. КОЛЬЦО ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Кольцо обыкновенных дифференциальных операторов существенно отличается от кольца дифференциальных операторов с частными производными [8]. Различные факторизации на неприводимые множители одного и того же оператора имеют одинаковое число множителей и сами множители попарно "похожи", а также в работе [14] предложен алгоритм, перечисляющий всевозможные факторизации. Для операторов с частными производными это, в общем случае, не верно. Например, верно равенство:
(дх + 1)(дх + 1)(дх + хду) =
(д2х + хдхду + дх + (2 + х)ду + 1)(дх + 1) ,
где оператор второго порядка неприводим над любым расширением 0>(х,у).
Так же для обыкновенных дифференциальных операторов верно, что любому ненулевому решению соответствует некоторые правый множитель. А именно, верна следующая теорема.
Теорема 1. [8] Пусть ф - ненулевой элемент, в ядре оператора М е К[дх]. Тогда для некоторого Мг е К [дх]
М _ Мг ■ (дх - фхф-1) .
Аналогичное утверждение для операторов с частными производными неверно. Легко доказать и следующее утверждение для обыкновенных дифференциальных операторов.
Теорема 2. Для оператора М е К[дх] множество его правых делителей с точностью до умножения на f (у) е С (у) находится, во взаимно-однозначном, соответствии с й-мерными подпространствами в ядре операМ
й
висимых (над С (у)) элемент ов фг,... ,фх ядра, оператора М порядка, й, где М - оператор, у которого коэффициент при старшей производной
М
61
повить единственным образом, по формуле
_ Ш (ф,фг, ...,фа) _ _ Ш (фг,...,фа) _
ф дх(ф) . .. д?(ф)
фг дх(фг) . .. д^(фг)
фа дх(фа) . .. дх(фа)
фг дх(фг) .. . дХ-г(фг)
фа дх(фа) .. . дхх-1(фх)
Теорема 4. Для операторов Ь и Ь2 порядков п и к над С (у) существуют и единственны операторы Ьг и К над С (у), т,акие что
Ь _ ЬД2 + Я и порядок оператора Я строго меньше чем к.
Оператор Я называется остатком от деления справа оператора Ь на оператор Ь2. Операторы Ьг и Я строятся то операторам Ь и Ь2 явно: алгоритм деления операторов с остатком основан на приведенной выше формуле для старшего члена произведения операторов и абсолютно аналогичен алгоритму деления с остатком полиномов от одной переменной.
С(у)
Ниже мы будем использовать то, что операторы из К [дх] линейны н ад С (у), а в операторы некоторых других видов можно представить С(у) С(у)
нелинейного члена.
Теорема 5. Пусть М е К[дх]. Тогда действие операторов видов
Ь _ М (ду + а) (6)
Ь _ (ду + а) М (7)
на, элементах f (у)ф, где ф е К и f _ f (у) е С(у)
Ьи(у)ф)_ f (у)Ь(ф) + f'(у)М(ф).
Доказательство. Для операторов вида (6) имеем
Ь^(у)ф) _ М (ду + а) (f (у)ф)
_ М (¡'(у)ф + f (у) (ду + а) (ф)) _ Г(у)М(ф) + f (у)М (ду + а) (ф) _ f'(у)М(ф) + f (у)Ь(ф).
Для операторов вида (7) имеем
Ь(/(у)ф) = (ду + а) М(/(у)ф) = (ду + а) /(у)М(ф) = /'(у)М(ф) + /(у) (ду + а) М(ф) = / '(у)М (ф) + / (у)Ь(ф).
□
Эту теорему можно обобщить и на случай не
Ь
ду дх
нако ниже понадобится это утверждение только для операторов вида (1).
Теорема 6. Пусть ф е К и / = / (у) е С (у), тогда для операторов вида (1) верна следующая формула:
Ь(/(у)ф) = / (у)Ь(ф) + / '(у)Му (ф).
Теорема доказывается прямым вычислением.
5. РАЗДЕЛЕНИЕ НА СЛУЧАИ: кег М П кег Ь = {0} И СЛУЧАЯ, В КОТОРОМ Ь1
Теорема 7. Пусть для Ь = (ду + а) (дх + Ь) существует преобразование Дарбу порожденное М е К [дх]. Тогда
(1) л,ибо кег М П кег Му = {0} и Ь1 факторизуе-к1 = 0
(2) л,ибо в кег М П кег Му есть ненулевой эле-
кег М П кег Ь = {0}
Доказательство теоремы.. Сначала докажем две леммы.
Ь
есть одновременно два решения:
ф , / (у)ф
г(9е ф = 0 м / (у) е С (у) не константа, то
(1) Ь факторизуемо (к =
(2) Му(ф) = 0.
Доказательство. Используя теорему 6, вычисляем
0 = Ь(/(у)ф) = / (у)Ь(ф) + /'(у)Му (ф) = /'(у)Му (ф).
Так как /'(у) = 0 по условию леммы, то
Му (ф) = 0.
С другой стороны, используя представление Ь
0 = Ь(ф) = МхМу (ф) + кф = кф.
Из этого следует, что k = 0.
□
Лемма 7.2. Пусть ф £ K порождает, семейство, параметризованное некоторым f (y) £ C (y) в ядре оператopa L = MxMy;
{f (у)ф I f(У) £ C(y)} С ker L. (8)
Тогда My (ф) = 0.
Доказательство. Заметим, что
0 = L(f (у)ф) = (dy + a) My(f (у)ф) = (dy + a) f (y)My(ф).
Предположим, что u = My(ф) = 0, тогда в ядре dy + a есть семейство элементов {f (y)u}, что невозможно, так как ядро dy + a одномерно над C(x). □
Я
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.