ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2011, No 2, с. 72-76
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 004.92+004.94
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА КАК ЕДИНСТВЕННЫЕ ВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
© 2011 г. Екатерина Шемякова,
Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН 119991 Москва, ул. Вавилова, 40 E-mail: shemyakova.katya@gmail.com Поступила в редакцию 31.08.2011
Работа посвящена преобразованиям Дарбу - эффективному алгоритму нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений с частными производными. Нам удается доказать, что Вронскиан-формулы, предложенные Г. Дарбу для линейных операторов второго порядка на плоскости описывают все возможные дифференциальные преобразования с M вида Dx + m(x, y) и Dy + m(x,y) за исключением преобразований Лапласа.
1. ВВЕДЕНИЕ
Преобразования Дарбу для линейных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости являются классикой символьных алгоритмов и широко используются для решения уравнений возникающих в физике, геометрии и проч. Получены многочисленные обобщения классической теории Дарбу как для гиперболических задач (для систем уравнений на плоскости [4, 6, 8, 2], для уравнений с более чем двумя независимыми переменными (например [3]), так и для негиперболических: например [5, 9].
В данной работе мы исследуем классические для теории Дарбу операторы вида
L = DxDy + a(x, y)Dx + b(x,y)Dy + c(x,y) . (1.1)
Пусть u = u(x,y), L(u) = 0, M - линейный дифференциальный оператор с частными производными, и v(x, y) = Mu. В общем случае множество всех таких v будет удовлетворять переопределенной системе линейных дифференциальных уравнений, и лишь при особом выборе M получается только одно новое уравнение: Liv = 0, где Li того же вида (1.1), но с измененными коэффициентами
(обозначим их ai(x, y), ci(x, y), bi(x, y) = b(x, y)). В таком случае мы имеем дифференциальное преобразование [9] или преобразование Дарбу (ПД) оператора L в Li с помощью оператора
M, L —\ Li и для некоторого оператора M1 имеет место равенство
Mi о L = Li о M ,
задающее левое наименьшее общее кратное ILCM (L,M) в кольце K [D] = K [Dx,Dy ] линейных дифференциальных операторов на плоскости.
Дарбу [1, Ch.VIII] доказывает (см. подробнее Теорему 3), что, используя достаточное число линейно независимых решений исходного уравнения и Вронскиано-подобные формулы, можно построить оператор M любого порядка, который задает ПД для соответствующего исходного оператора вида (1.1).
В настоящей работе нам удается понять все ли ПД "чистого" порядка один описываются формулами, предложенными Дарбу. А именно, доказано, что все ПД с M вида Dx + m(x,y) и Dy + m(x, y) за единственным исключением преобразований Лапласа (см. Определение 2) описываются через одно частное решения исходного уравнения С(ф) = 0. Подобный
результат в частности подчеркивает особенность преобразований Лапласа, которые, являющиеся "простым" частным случаем ПД возникают во многих задачах как "точки вырождения".
Автор благодарит С.П.Царева за полезные замечания.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ
Пусть К - дифференциальном поле характеристики ноль с коммутирующими дифференцированиями дх,ду, К[Д] = К[Дх,Ду] -кольцо линейных операторов с частными производными с коэффициентами из К, где Дх, Ду соответствуют дифференцированиям дх, ду
Операторы С € К[Д] имеют вид
у
С
^^ aij Дх ДУ
i+j=0
Определение 2. Преобразованиями Лапласа оператора С = ДхДу + аДх + ЬДу + с € К [Д] называются два ПД, определенные посредством операторов М = Дх + Ь и М = Ду + а.
Преобразования Лапласа - наиболее широко изученный случай ПД. Они обладают обратимостью и многими другими свойствами [1].
3. ПОЛНОТА ФОРМУЛ ДАРБУ ДЛЯ ПД ПОРЯДКА 1
Один из наиболее известных результатов Дарбу сформулирован в следующей теореме.
Теорема 3 (Дарбу). Пусть фь...,фт+п € Кег£ линейно независимы, тогда
где ау € К. Многочлен
йуш£ = ^ ау
i+j=d
формальных переменных X, У назовем символом С.
Поле К можно либо предполагать дифференциально замкнутым, то есть содержащим решения (нелинейных в общем случае) дифференциальных уравнений с коэффициентами из К, либо просто предполагать, что все решения уравнений, которые будут встречаться, принадлежат этому полю.
Определение 1. Мы будем говорить, что оператор С1 = ДхДу + а1 Дх + Ь1 Ду + с1 € К [Д] является результатом дифференциального преобразования или преобразованием Дарбу (ПД) оператора С = ДхДу + аДх + ЬДу + с € К [Д] посредством оператора М € К [Д], если для некоторого оператора М1 выполняется равенство
М1 о С = С1 оМ . (2.1)
Подчеркнем, что коэффициенты операторов не обязательно константы.
Такое ПД влечет преобразование ядер операторов:
Кег С ^ Кег С1 : ф ^ М(ф) .
М(ф) = Шт.п(ф, ф1, . . . , фт+п) определяет некоторое ПД для С.
(3.1)
Здесь Шт. п - Вронскиано-подобная функция (см. рис. 1).
То есть ПД порядка т+п может быть построено по т+п частным решениям уравнения С(ф) = 0. Дарбу доказывает это утверждение в [1]. Нас интересует любое ли ПД поддается такому описанию.
Заметим, что формула (3.1) может задавать только операторы без смешанных производных. В [1] Дарбу показал, что все остальные ПД сводятся к таким ПД. Естественно ввести следующее определение степени:
Определение 4 ((т,п) би-степень). Оператор М имеет би-степень deg М = (т,п), если т -его максимальная степень относительно Дх и п -относительно Ду.
Мы будем рассматривать случай т + п = 1, то есть
М(ф) = Ш1.о(ф, Ф1) = -ф1 Дхф + ф1хф ,
М = -ф1Дх + ф1х ,
или
М(ф) = Шо.1(ф,ф1) = -ф1Дуф + ф1уф ,
М = -ф1 Ду + ф1у .
ф ф1
ф
ШЕМЯКОВА
г(ф,ф1, . . . ,фт+п) =
т+п
Дхф Дхф1
Дхф'
Дт Ф Дт ф1
Ду ф Ду ф1
х фт+п
Дт фт+п Ду фт+п
Рис. 1
дпФ Дпф1
Дп фт+п
Лемма 5 (М можно умножить на функцию слева). Пусть существует ПД оператора С с помощью оператора М. Тогда для любого обратимого элемента р € К существует ПД оператора С с помощью оператора рМ.
Доказательство. Из условия леммы следует, что для некоторых М1, С1 выполняется (2.1), из чего следует, что
рМ1 о С = рС1р-1 о рМ .
Так как символ оператора С1 является инвариантом относительно калибровочных преобразований, то оператор рС1р-1 является оператором вида (1.1) и утверждение леммы доказано.
□
Из леммы следует, что достаточно рассмотреть следующие операторы:
М
Дх-
ф_ ф1
1х
М = Ду - ф*
1
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 6. Пусть г = 0 - произвольный элемент К. Построим по нему функции
2
г = — Ь — —
соотв. д = —а —
Если г = 0 (соотв. д = 0), тогда ПД с М = Дх + г + Ь (соотв. с М = Ду + д + а) существует тогда и только тогда, когда
(СЩ
V гг Л
соотв.
С(г)\
у
гд
(3.2)
1 Не обязательно частное решение = 0.
2В случае, если г - частное решение = 0, эти
функции являются важными инвариантами и изучены в [7].
Доказательство. Подставив М = Дх — —1 и М1 = Дх + т1 в (2.1) и последовательно приравнивая коэффициенты в этом равенстве при ДхДу, Д^, Дх, Ду, выражаем коэффициенты Ь1,а1,с1,т1 через остальные. Остается только одно соотношение между коэффициентами а, Ь, с исходного оператора и г, то есть необходимое и достаточно условие для существования ПД, соответствующего оператору М = Дх — —1:
Т
г(Ьг + гх)
(3.3)
где
Т = агхгЬх + агхЬ — гх ах гЬ — аггххЬ — гхгу Ьх+
I гхгуЬ I гххгуЬ I сг Ьх I сггхх Схг Ь
схггх гхс гхах + гху гЬх + гху гхх
- гхугЬ2 - гххугЬ - гххугх
С другой стороны, подставляя г = —Ь — —- в выражение Е = , вычисляем, что
Е =
Т
(Ьг + гх)2
где в числителе стоит то же самое выражение Т, что и в (3.3).
По условию леммы, г = 0, то есть —Ь — —- = 0, и, следовательно, равенство (3.3) верно тогда и только тогда, когда Е = 0, что и требовалось доказать.
Аналогично проходит доказательство для ПД с М = Ду + д + а. □
Замечание 7. Эта лемма обеспечивает достаточное и необходимое условие существования ПД, построенного с помощью
М = Дх — - ,
г
(соотв. М = Ду---
0
1
г
у
г
г
0
где г не обязательно принадлежит ядру оператора С.
Теорема 8. Пусть ПД оператора С = БХВУ + аБХ + ЬБУ + с € К [Б] определено с помощью оператора М вида БХ + т (соотв. БУ + т), т € К. Тогда либо это преобразование Лапласа, либо
M(0) =
Wi,o(0i,0) 0i
соотв. М. =
Wo,i(0i,0)
■0!
для некоторого 0i G Ker L.
Доказательство. Докажем утверждение для M вида Dy + m, m G K. Положим
f -mdy
тогда
z = e
M = Dy — zy z
(3.4)
где, z = 0. Если z G Ker L, то все доказано. Пусть z не принадлежит Ker L. Рассмотрим
zy
q = -a--- .
z
Если q = 0, то по Лемме 6 получаем, что ' L(z) \
zq
V,
= 0 ,
Ф
Фу = гу
ф г '
что означает, что ф = f (х)г для некоторого /(х). Вычислим, попутно упрощая,
С(ф) = Щ(х)г) = -(f(х)*(х) - fx)(az + гу)
Так как ц = 0, то второй множитель не ноль. Положим
f (х) = е^1(Х)ЛХ ,
тогда верно, что С(ф) =0 и теорема доказана в случае ц = 0.
Пусть теперь ц = 0, тогда
гу
— = -а .
г
Тогда то же равенство верно для каждого ф € Кег Ь задающего то же М. Используя это, пытаемся найти ф лежащее в ядре. Известно [1], что оператор С можно записать в виде неполного произведения операторов первого порядка:
где
L = (Dx + b) о (Dy + a) - h ,
h = ab + ax — c
(3.5)
то есть для некоторого t(x) G K
L(z) — t(x)zq = 0 ,
Последнее равенство можно рассматривать как линейное уравнение на c. Так как коэффициент при c в этом уравнении равен z, и так как z = 0, то c может быть выражен через a,b и t(x), z.
Нам нужно найти 0 G Ker L такое, что M = Dy — ТУ, а значит
- функция коэффициентов оператора, известная как Н-инвариант Лапласа (функция не меняется при калибровочных преобразованиях С ^ д(х, у)-1 о С о д(х, у)). Теперь видно, что
С(ф) = -Нф .
Заметим, что ф = 0 и Н не зависит от ф.
Таким образом, если Н = 0, то не существует таких ф, что М = Бу — ^ и ф € Кег С. Вспомним, что рассматривается случай ц = 0, то есть М = Бу + а. Известно [1], что если Н = 0, то такое ПД существует. Это ПД есть преобразование Лапласа по определению.
Если же Н = 0, то оператор С разложим на множители, и
С = БХ Бу + аБХ + ЬБУ + аЬ + аХ .
ПД, соответствующее оператору М существует и соответствующие операторы М1 и С1 имеют вид
Li = DxDy + miDx + bDy + mib + by Mi = Dy + mi ,
(3.6)
где т1 € К - любое. Так как инвариант Лапласа к равен нулю для о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.